彈性能釋放率與應力強度因子之關系研究

任澤儉 朱海榮

0 引言

其中，σF為斷裂應力;a為裂紋長度;E為材料的彈性模量;Γ為材料的表面能。

在 Griffith理論提出了 30年以后，E.Orowan對金屬材料裂紋擴展過程進行了研究，指出裂紋擴展前在其尖端附近會產生塑性區，因而在裂紋擴展過程中不可避免的要產生塑性變形，并消耗一定量的形變功。所以在 1949年Orowan對 Griffith的研究成果進行了修正，提出了如下的修正公式:

其中，Up為裂紋在擴展過程中所消耗的形變功。

Griffith和Orowan的理論構成了斷裂力學中的能量理論基礎。根據能量理論，當裂紋發生擴展時，裂紋體內將有兩種能量發生變化。其一是裂紋體的位能將降低而釋放出一部分彈性能來;其二是由于裂紋擴展形成了新裂紋表面而增加了表面能，因而要吸收一部分能量。定義裂紋擴展單位面積彈性系統釋放的能量為裂紋擴展能量釋放率，用G表示。

構件的斷裂起源于裂紋，而裂紋的靜止、平衡或發展，都與裂紋尖端附近的應力場有直接關系。Irwin通過對裂紋尖端附近應力場的研究，提出了一個新參量——應力強度因子K，并建立了斷裂判據，這一判據在工程上得到了廣泛的應用。

1 基于能量平衡理論的 I型裂紋擴展能量釋放率

現在我們從能量守恒和功能轉換的關系來研究裂紋擴展過程，由此來定義能量釋放率的物理意義。很顯然，裂紋擴展過程要消耗能量。設有一塊具有中心穿透裂紋的平板試樣，裂紋的長度為 2a，在拉力P的作用下，裂紋發生了擴展，同時試樣也有了伸長，設裂紋兩端沿著原來的裂紋線方向各擴展了長度Δa，試樣伸長了 Δδ，如圖 1所示。

Design and Verification of Path Following Controller for USV …

設在擴展前，裂紋的面積為A，在外力 P的作用下，裂紋的面積擴展了 dA，在這個過程中拉力所做的功為dW，體系彈性應變能變化了 dU，塑性功變化了 dΛ，裂紋表面能的增加為 dT。不考慮熱功間的轉換，則根據能量守恒和轉換定律，體系內能的增加等于外力功，即:

其中，dΛ與 dT分別為裂紋擴展dA時所需要的塑性功和表面能，dΛ+dT可視為裂紋擴展所需要消耗的能量，也即是阻止裂紋擴展的能量。因此，要使裂紋擴展，系統必須提供能量，裂紋擴展dA時彈性系統釋放(耗散)的能量記為:

則由式(3)和式(4)可得:

定義裂紋擴展單位面積彈性系統釋放的能量為裂紋擴展能量釋放率，用G表示，則有:

設裂紋體的厚度為 B，裂紋長為 a，則 dA=Bda，式(6)可以寫為:

2 裂紋前端應力分布及裂尖區的局部應力

通常所用的裂紋尖端的應力強度因子和裂紋尖端應力的推導方法是由應力計算來確定的。如圖 2所示，在一個無限寬板中，存在一個尖銳的長為 2a的貫穿裂紋，裂紋前端的拉應力分布可由下式給出:

其中，σapp為遠場拉應力。

由式(8)可知:

在裂紋區附近:x→a，σ→∞;

在遠離裂尖區:x→∞，a/x→0，σ→σapp。

由式(8)得:

令 r=x-a，得 x=r+a，代入式(9)可得:

當 r?a時，(r+a)→a，(r2+2ar)→2ar，則有:

式(12)表示在靠近裂尖區的局部應力。這里 K被定義為應力強度因子，對于一個長度為 2a的中心穿透裂紋，這個應力強度因子的值為 K=σapp(πa)1/2。

3 基于虛功原理推導 G與 K之間的關系

在Griffith式(1)的推導過程中，運用了熱力學的方法來處理裂紋的擴展。即裂紋擴展時所釋放的彈性能與產生兩個新表面所需要做的功相平衡。當一個裂紋擴展量為 Δa時，計算能量變化轉換Δξ的最佳方法是采用虛功原理。即裂紋尖端應力場做的功因裂紋虛擴展所產生的位移減少為零。

由式(12)可知，在一個長度為 a的裂紋尖端前沿的應力為σ=K(2πr)-1/2。當裂紋擴展到(a+Δa)時的位移為:

此時r仍是從未擴展裂紋的尖端來計量的，那么在裂紋虛擴展過程中單位厚度所做的功為:

將 r=Δasin2θ代入式(14)中的積分部分得:

由式(15)得:

令 Δa→0，取極限得:

4 結語

G的臨界值即為斷裂韌性，它等效于 K的臨界值，而后者的數值通常被引用來作為材料的斷裂判據。

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