開(kāi)發(fā)學(xué)生“錯(cuò)誤”資源提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

摘要：學(xué)習(xí)的過(guò)程是一個(gè)“試誤”的過(guò)程，開(kāi)發(fā)學(xué)生“錯(cuò)誤”資源，使學(xué)生知錯(cuò)、改錯(cuò)、防錯(cuò)。

關(guān)鍵詞：試誤；錯(cuò)誤資源；知錯(cuò)；改錯(cuò)；防錯(cuò)

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程，是一個(gè)在不斷修正不足的過(guò)程中變得越來(lái)越活躍、越來(lái)越成熟的過(guò)程。“犯錯(cuò)”是普遍的、必然的，那么在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中讓學(xué)生完全避免錯(cuò)誤是不可能的。有時(shí)候，正面的灌輸未必有效果，而通過(guò)學(xué)生自我嘗試，哪怕走彎路，甚至犯錯(cuò)，最后體會(huì)到的反而是更深入的、更具體驗(yàn)性的數(shù)學(xué)情感。可以這樣說(shuō)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程是一個(gè)“試誤”的過(guò)程。

所謂數(shù)學(xué)“試誤”，就是嘗試數(shù)學(xué)錯(cuò)誤。指有選擇性地對(duì)數(shù)學(xué)的某些知識(shí)，不是直接傳授，而是讓學(xué)生通過(guò)嘗試、猜想、探究、體驗(yàn)、感受，把發(fā)現(xiàn)的知識(shí)通過(guò)分析、綜合、比較、分類(lèi)、抽象、概括等，最后得到正確的知識(shí)和思想方法。讓學(xué)生在嘗試、猜想、探究、體驗(yàn)、感受等過(guò)程中，暴露知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程和歷經(jīng)的挫折，破除學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的神秘感，啟迪學(xué)生的思維，教會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思想方法；暴露學(xué)生的思維過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生全方位、多角度地思維，促成思考方法不斷優(yōu)化，使學(xué)生學(xué)會(huì)合理地調(diào)整思維方向，提高思維的準(zhǔn)確性和靈活性。

通過(guò)“試誤”，一方面可以充分暴露學(xué)生思維過(guò)程的薄弱環(huán)節(jié)，有利于對(duì)癥下藥；另一方面，錯(cuò)誤是正確的先導(dǎo)，有時(shí)錯(cuò)誤比正確更具有教育價(jià)值，正如當(dāng)代科學(xué)家、哲學(xué)家波普爾所說(shuō)：“錯(cuò)誤中往往孕育著比正確更豐富的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造因素，發(fā)現(xiàn)的方法就是試誤方法”。因此，通過(guò)暴露學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維過(guò)程中的錯(cuò)誤，提供以錯(cuò)誤為源泉的學(xué)習(xí)反應(yīng)刺激，通過(guò)學(xué)生“試誤”的過(guò)程，可使學(xué)生從中審視、體驗(yàn)和反思，從而引起知錯(cuò)、改錯(cuò)、防錯(cuò)的良性反應(yīng)。當(dāng)然，“試誤”不是鼓勵(lì)和誘導(dǎo)學(xué)生重蹈覆轍，而是力圖通過(guò)“試誤”這種“催化劑”來(lái)增強(qiáng)學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤的“免疫力”，進(jìn)一步提高學(xué)生的自辨能力，提高他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)。

一、通過(guò)試誤過(guò)程，深刻理解定理（概念）

案例1 在學(xué)習(xí)利用“AAS”判定三角形全等時(shí)，為了進(jìn)一步鞏固“AAS”的判定方法，一位教師設(shè)置了以下問(wèn)題：“在兩個(gè)三角形中，有兩個(gè)角和一條邊相等，這兩個(gè)三角形一定全等嗎？為什么？”

讓筆者始料不及的是幾乎全班學(xué)生的回答都是肯定的。一位學(xué)生慷慨陳詞：“因?yàn)槔蠋熞呀?jīng)告訴我們，有兩個(gè)角相等，那么根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，另外一個(gè)角肯定也相等，再加上一條邊相等，用‘ASA’或‘AAS’都能判定它們?nèi)龋　睅讉€(gè)調(diào)皮的學(xué)生還添油加醋：“對(duì)，講得完全有道理，我同意！”……怎么辦？面對(duì)這種狀況，這位教師并不是一吐為快，直接把正確答案告訴學(xué)生，而是請(qǐng)學(xué)生分組討論、交流后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題與書(shū)本的判定方法有區(qū)別：在這個(gè)問(wèn)題中沒(méi)有“對(duì)應(yīng)”兩個(gè)字，判定方法中有“對(duì)應(yīng)”兩個(gè)字。這時(shí)筆者聽(tīng)到學(xué)生在嘀咕：“‘對(duì)應(yīng)’兩個(gè)字寫(xiě)與不寫(xiě)有什么區(qū)別？”這時(shí)，這位教師因勢(shì)利導(dǎo)：你們是怎樣理解“對(duì)應(yīng)”這個(gè)詞的？教室里頓時(shí)一片安靜，大多數(shù)學(xué)生拿起筆試著用畫(huà)圖來(lái)幫助理解。過(guò)了許久，一個(gè)學(xué)生回答了：“對(duì)應(yīng)相等是指相等角所對(duì)的邊相等，相等的邊所對(duì)的角也必須相等！”于是教師追問(wèn)：“沒(méi)有對(duì)應(yīng)兩個(gè)字會(huì)怎樣？”這時(shí)，學(xué)生面面相覷，有學(xué)生畫(huà)出圖形（如圖1）說(shuō)：“三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，那就可以使45°所對(duì)的邊BC與55°所對(duì)的邊DF相等，這樣就不會(huì)全等了！”

可見(jiàn)，當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤具有典型性時(shí)，教師不要急于做出評(píng)價(jià)，而要充分暴露學(xué)生錯(cuò)誤的思維過(guò)程，將錯(cuò)就錯(cuò)，巧妙地利用學(xué)生的錯(cuò)誤答案，引導(dǎo)他們進(jìn)行驗(yàn)證，讓他們自己發(fā)現(xiàn)矛盾，解決問(wèn)題，加深理解。

二、通過(guò)試誤過(guò)程，熟練掌握公式（法則）

案例2 數(shù)學(xué)課上做作業(yè)時(shí)，教師多次強(qiáng)調(diào)利用公式（a+b）2=a2+2ab+b2計(jì)算題目時(shí)，不要漏掉“積的2倍”，即2ab，可有的學(xué)生還是在計(jì)算時(shí)漏掉了“積的2倍”。面對(duì)學(xué)生這種“不應(yīng)該”犯的錯(cuò)誤，一位教師立即讓學(xué)生停止作業(yè)，在黑板上并排寫(xiě)上

①（5+4）2=52+42；②（5+4）2=52+2×5×4+42.然后組織學(xué)生計(jì)算、討論、判斷。

教師：同學(xué)們，請(qǐng)你們計(jì)算黑板上的兩個(gè)算式，然后對(duì)此討論一下，看看它們有什么區(qū)別？

（學(xué)生仔細(xì)地計(jì)算、觀察之后，有學(xué)生舉手）

學(xué)生1：①式的左邊值是81，右邊值是41，所以等式不成立；②式的左邊值是81，右邊值也是81，所以等式成立。

學(xué)生2：我同意學(xué)生1的看法。①式的錯(cuò)誤是在用完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2計(jì)算展開(kāi)（a+b）2時(shí)，漏掉了a、b積的2倍，即2×5×4.

學(xué)生3：我同意學(xué)生1、學(xué)生2的意見(jiàn)。今后我們計(jì)算類(lèi)似（a+b）2的題目時(shí)，千萬(wàn)要正確使用公式，不要漏掉“積的2倍”了！

教師：同學(xué)們說(shuō)得都很好，我也同意大家的意見(jiàn)。下面繼續(xù)做作業(yè)。

這位教師，面對(duì)學(xué)生在自己多次強(qiáng)調(diào)之處仍然出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，和藹有加、不慍不怒，立即對(duì)原來(lái)課堂上灌輸式的教學(xué)方法（教師反復(fù)、不厭其煩地強(qiáng)調(diào)教學(xué)要點(diǎn)）進(jìn)行反思，并快速采取措施、調(diào)整預(yù)設(shè)，組織學(xué)生討論，讓學(xué)生自己去做、去看、去想、去說(shuō)、去比照、感悟，使學(xué)生通過(guò)自主合作學(xué)習(xí)的方式對(duì)容易出錯(cuò)的地方加深了印象，牢固建構(gòu)了知識(shí)。這樣，學(xué)生再做作業(yè)時(shí)，類(lèi)似的錯(cuò)誤率肯定會(huì)大大下降，這比起教師不厭其煩地強(qiáng)調(diào)、反復(fù)叮嚀，效果不知要好多少倍。

三、通過(guò)試誤過(guò)程，提高解題能力

案例3 學(xué)習(xí)完“一元二次方程”后，一位教師在第一節(jié)復(fù)習(xí)課上出示了這樣一道練習(xí)題：已知關(guān)于x的方程（3k+1）x2-2■x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍。

當(dāng)時(shí)有一部分學(xué)生這樣認(rèn)為，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以必須滿(mǎn)足b2-4ac＞0，即（-2■）2-4（3k+1）×（-1）＞?搖0?搖，解得k＞-■.聽(tīng)完學(xué)生的分析，這位教師不但沒(méi)有指責(zé)學(xué)生，而且還予以鼓勵(lì)，請(qǐng)同學(xué)們發(fā)表自己的看法。一位學(xué)生提出，由題意可知，此方程是一元二次方程，故還須保證二次項(xiàng)系數(shù)3k+1≠0，即k≠-■，故本題k的取值范圍為k＞-■且k≠-■.這時(shí)再看同學(xué)們的反應(yīng)，好多學(xué)生都向他投去了贊許的目光。這時(shí)班上又有學(xué)生馬上站起來(lái)發(fā)表自己的看法，認(rèn)為剛才這位同學(xué)的分析是對(duì)的，但最后的結(jié)論是錯(cuò)誤的，因?yàn)閗≠-■在k＞-■的范圍內(nèi)，因此k的取值范圍為k＞-■.教師立即表示有道理，這時(shí)課堂的氣氛開(kāi)始活躍起來(lái)，教師趁機(jī)又問(wèn)，還有不同意見(jiàn)嗎？（在此期間，學(xué)生又進(jìn)入了積極的思考狀態(tài)，教師在教室里來(lái)回巡視，并進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)）

過(guò)了一會(huì)兒，教室里傳來(lái)幾位同學(xué)的聲音：丟了k≥0這個(gè)條件。教師立即加以肯定，于是教師請(qǐng)其中一位學(xué)生發(fā)言，學(xué)生經(jīng)過(guò)深思后說(shuō)：“?搖?搖的取值范圍應(yīng)同時(shí)滿(mǎn)足k＞-■且k≠-■且k≥0，故本題?搖?搖的取值范圍為k≥0”.

這個(gè)過(guò)程緊扣學(xué)生可能產(chǎn)生的困惑，經(jīng)過(guò)一波三折的討論，將易錯(cuò)、易混的知識(shí)通過(guò)學(xué)生的積極參與，分析得一清二楚，從而使學(xué)生從更高層次上深化了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解。

案例4 有這樣一道題，已知a=2，b=5，且a＞b，求a-b的值。

一位學(xué)生是這樣做的。

解：∵a=2，b=5，∴a=±2，b=±5.

（1）當(dāng)a=2，b=5時(shí)，a+b=2+5=7；

（2）當(dāng)a=2，b=-5時(shí)，a+b=2+（-5）=-3；

（3）當(dāng)a=-2，b=5時(shí)，a+b=-2+5=3；

（4）當(dāng)a=-2時(shí)，a+b=-2+（-5）=-7；

∴a+b=±3或a+b=±7.

學(xué)生做完后，教師問(wèn)：“這樣做對(duì)嗎？”下面的學(xué)生有的說(shuō)“對(duì)”，有的說(shuō)“錯(cuò)”。教師說(shuō)：“再仔細(xì)看看。”這時(shí)有位學(xué)生站起來(lái)說(shuō)：“他解答的結(jié)果不是題目中要求的‘a(chǎn)-b’的值。”教師又問(wèn)：“還有問(wèn)題嗎？”于是又有一位學(xué)生回答：“題目還有一個(gè)條件‘a(chǎn)＞b’她沒(méi)有考慮到。如果加上了這個(gè)條件，就不需要做得這么復(fù)雜。”于是，教師就讓這位學(xué)生上黑板演示。

解：∵a=2，b=5，∴a=±2，b=±5.

又∵a＞b，∴a=2，b=-5或a=-2，b=-5；

∴（1）當(dāng)a=2，b=-5時(shí)，a-b=2-（-5）=7；

（2）當(dāng)a=-2，b=-5時(shí)，a-b=-2-（-5）=3；

故?搖a-b=7或3.

這次做得十分正確。教師又引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)：“前一位同學(xué)的解答過(guò)程是正確的，只是不符合題目的要求。那么根據(jù)她所做的，應(yīng)該是一個(gè)什么樣的題目呢？”

一位學(xué)生回答：“已知a=2，b=5，求a+b的值”。

這位學(xué)生剛一說(shuō)完，同學(xué)們都異口同聲地說(shuō)：“對(duì)！”教師又總結(jié)性地說(shuō)：“很好！這就說(shuō)明大家將知識(shí)徹底掌握了。第一位同學(xué)雖然做得不好，但對(duì)家來(lái)說(shuō)也是一個(gè)極好的教訓(xùn)。那這個(gè)教訓(xùn)又在哪里呢？”

學(xué)生答：“要認(rèn)真審題，一定要弄清題意后再做題”。

通過(guò)以上講解，學(xué)生感覺(jué)收獲很大，那位做錯(cuò)了的學(xué)生也覺(jué)得有面子，彼此之間都感到很開(kāi)心。

案例5 一次聽(tīng)課，一位教師叫一名學(xué)生上黑板去做課后練習(xí)冊(cè)中的一道計(jì)算題，題目本來(lái)是-52+(-■)2-（-3）2，結(jié)果他抄成了-52+(-■)-（-3）2，原題的答案應(yīng)該是-33■，而這位學(xué)生計(jì)算的結(jié)果是-34■.教師帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)真檢查了他演算的過(guò)程，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤。究竟錯(cuò)在哪里呢？

教師又讓學(xué)生看看書(shū)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)是將題目抄錯(cuò)了，將(-■)2抄成了(-■)，而且像(-■)這樣的計(jì)算，學(xué)生很難掌握好。于是教師將錯(cuò)就錯(cuò)，將原來(lái)題目和現(xiàn)在抄錯(cuò)了的題目進(jìn)行比較分析。列舉了(-■)2、?搖-(■)2、?搖-■三者的區(qū)別及計(jì)算方法。(-■)2表示兩個(gè)-■相乘的積，結(jié)果應(yīng)為(-■)2=(-■)×(-■)=■；?搖-(■)2表示兩個(gè)■相乘的積的相反數(shù)，結(jié)果應(yīng)為-(■)2=-(■×■)=-■；而-■表示只對(duì)分子“1”進(jìn)行平方，分母“2”沒(méi)有平方，平方的底數(shù)是1，而不是■，其結(jié)果為-■=-■=-■.

通過(guò)這樣處理，學(xué)生不但注意到以后抄題要細(xì)心，更重要的是懂得了像(-■)2、-(■)2、-■這些題的計(jì)算方法。

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