數(shù)學(xué)應(yīng)用問題教學(xué)“三步曲”

摘要：為全面提高學(xué)生的解題能力，我在近年來的教學(xué)實(shí)踐中，通過有關(guān)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的審題、建模、解模的教學(xué)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行了思維訓(xùn)練的探索，取得了較好效果。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)應(yīng)用問題；審題；建模；解模

一、審題

審題是解答應(yīng)用問題的起點(diǎn)，只有有效地審題才能準(zhǔn)確理解題意，弄清題目所反映的實(shí)際背景，弄清每一個(gè)名詞、概念的含義，分析已知條件，明確所求的結(jié)論，才能把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。我引導(dǎo)學(xué)生用加點(diǎn)劃線的方法強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵性語(yǔ)句，再連續(xù)讀出來，形成完整的基本問題；也可用劃分層次，歸納大意的方法從背景材料中提煉出需要解決的實(shí)際問題；或?qū)Χ鄠€(gè)數(shù)量進(jìn)行匯集、歸類，借助圖形顯現(xiàn)出已知量與未知量，體現(xiàn)出需要解決的數(shù)學(xué)問題；或者用改寫的方法對(duì)應(yīng)用問題去掉枝葉，抓住主干，保留題中的數(shù)量關(guān)系和空間形式。例1：某學(xué)生從一塔形建筑物邊經(jīng)過，只見這個(gè)建筑物基部以北是一片平坦的空地，建筑物的影子清楚地映在地面上，這位同學(xué)想估算一下這座建筑物高度，但身邊未帶任何測(cè)量工具，他忽然想起了自己身高為168厘米，而雙腳長(zhǎng)度為25厘米。于是他利用這些條件把問題解決了，請(qǐng)你說明這位學(xué)生上如何解決這個(gè)問題的？（寫出估算過程及計(jì)算原理）。審題時(shí)，不妨先畫出關(guān)鍵性語(yǔ)句，它是要求我們利用這位同學(xué)身高和雙腳長(zhǎng)度來求出建筑物的高度。例2：一公司各部門提供如下信息：人事部：明年生產(chǎn)工人不多于800人，每人每年按2400工時(shí)計(jì)算。

市場(chǎng)部：預(yù)測(cè)明年產(chǎn)品銷量是10000~12000件。

技術(shù)部：該產(chǎn)品平均每件需120工時(shí)，每件需4個(gè)某種主要部件。

供應(yīng)部：今年年終庫(kù)存某種主要部件6000個(gè)，明年可采購(gòu)到這種部件60000個(gè)。

請(qǐng)決策：（1）工廠明年生產(chǎn)量至少應(yīng)多少件？（2）為了減少積壓，至多可裁減多少工人用于新品開發(fā)？

審題時(shí)，仍先畫出關(guān)鍵性語(yǔ)句，它實(shí)際上告訴我們四個(gè)信息：人事部最多提供800名工人，每人每年按2400工時(shí)，市場(chǎng)部銷量是在10000~12000這個(gè)范圍，技術(shù)部提供了該產(chǎn)品每件需120工時(shí)，需4個(gè)主要部件，供應(yīng)部提供了可供某種部件6000~60000個(gè)，求明年生產(chǎn)量至少多少件及至多可裁減多少工人轉(zhuǎn)到新品開發(fā)。這樣就將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題從而培養(yǎng)了學(xué)生分析問題的能力，也培養(yǎng)了學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度。

二、建模

數(shù)學(xué)模型是指對(duì)于客觀世界的某一特定現(xiàn)象，做出一些必要的簡(jiǎn)化和假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個(gè)以數(shù)學(xué)方式給予表示的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模就是找出具體課題的數(shù)學(xué)模型。建立數(shù)學(xué)模型是解答應(yīng)用問題的最關(guān)鍵步驟。通過建模培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力。在掌握多種類型的問題特點(diǎn)的基礎(chǔ)上將應(yīng)用問題與數(shù)學(xué)問題聯(lián)系起來，從已知的數(shù)量關(guān)系推理、聯(lián)想、判斷出屬于哪類問題。如現(xiàn)實(shí)生活中，廣泛存在的用料最省、造價(jià)最低、利潤(rùn)最大等優(yōu)化問題歸于函數(shù)的最值問題，通過建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，確定變量的限制條件，運(yùn)用函數(shù)知識(shí)和方法解決；產(chǎn)量增長(zhǎng)（降低）、存款利率、股市跌漲。等與時(shí)間相關(guān)問題常通過建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型求解；天體運(yùn)行軌道，彈道曲線、橋梁形狀及航海等問題歸于解析幾何模型解決。如例1這一問題是把學(xué)生帶到了沒有測(cè)量工具測(cè)量塔高情景中，要求學(xué)生通過閱讀理解測(cè)量方法，把實(shí)際問題抽象出一個(gè)幾何相似三角形圖形，這是一個(gè)利用相似三角形解決實(shí)際應(yīng)用問題典型例子。它考查了學(xué)生動(dòng)腦、動(dòng)手、抽象、概括和解決實(shí)際問題的能力。例2是一道設(shè)計(jì)新穎，包含了等式和不等式的實(shí)際問題，它最終可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題。它讓學(xué)生用自己的知識(shí)和智慧作出決策，學(xué)生面對(duì)的不是枯燥、單調(diào)的數(shù)學(xué)，而是活生生的與人的生計(jì)息息相關(guān)問題，讓每個(gè)學(xué)生都盡可能施展自己的才華，找出合理答案，激發(fā)學(xué)生的興趣。這些現(xiàn)實(shí)問題的解決有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。

三、解模

在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型后，就要運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法來解答純數(shù)學(xué)問題。解答應(yīng)用題的過程就是在閱讀教材理解題意的基礎(chǔ)上，把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，化繁為簡(jiǎn)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型、再利用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析研究，得到數(shù)學(xué)答案如例1中，要求學(xué)生先站在一個(gè)與塔影同方向的選定地點(diǎn)，用自己的雙腳分別測(cè)量出塔影和自己影子長(zhǎng)度，然后利用建筑物高度與自己身高之比等于測(cè)量出塔影與自己身影長(zhǎng)度之比，求出建筑物的高度。例2中建立相應(yīng)的等式和不等式，確定未知量取值范圍，轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題，運(yùn)用函數(shù)知識(shí)的方法來求得最值。找出合理答案：（1）16000件；（2）200人。然后再把數(shù)學(xué)答案返回到實(shí)際問題中去，既滲透了相應(yīng)數(shù)學(xué)思想方法，也符合數(shù)學(xué)課程生活化改革的趨勢(shì)，這一過程更正是對(duì)學(xué)生思維訓(xùn)練的過程。