通向“兒童數學\"的途中

[摘要]“兒童數學”的現象學意蘊是以現象學的態度——“回到事物本身”來研究數學，追求“數學思想”的敞亮和兒童“數學之思”的顯發與弘揚。實踐中，通過兒童“生命·實踐”的數學化活動——兒童的生命實踐活動體驗、生命實踐活動建構、生命實踐活動創造、生命實踐活動表達，達成“兒童數學”的現象學旨趣——“面向思的事情”。由此，現象學所帶給“兒童數學”的絕不僅僅是某種特定的教育實踐與研究方法，而是一種“兒童數學”的現象學精神——回歸兒童“生命·實踐”的路徑。

[關鍵詞]兒童數學 現象學 生命·實踐

基于現象學視野，兒童數學的核心信念是相遇哲學。相遇信念時刻提醒數學教師：兒童數學教學即是兒童、數學、教師之間的真實相遇，課堂即是他們相遇的場域。數學教學就是“兒童帶著數學走向教師”的過程。如果兒童、數學、教師只是共同在場而沒有相遇，本真意義上的兒童數學教學就沒有發生。換言之，兒童數學誕生于兒童、數學、教師間的真實相遇!

一、回到事物本身：“兒童數學”的現象學態度

1.兒童：一種新的可能性。

馬克斯·范梅南說：“何謂兒童?看待兒童其實是看待可能性，看待一個正在成長中的人。”教學中，經過時間的累積，教師逐漸積淀了對孩子的某種“看法”——好學生、差生等，教師總是沿著那種特定的“看法”去看學生。

與兒童相遇首先意味著數學教學的現象學態度：懸置。教師應該而且必須回到每一次與孩子相遇的實事本身，而且，每一次相遇都要求教師從“陌生人”的視角來關照：將班上數學學習的“弱勢群體”看作新面孔，以探究、驚奇的眼光來對待。作為“陌生人”的教師，最能給每一個孩子以公平的機會，這是兒童數學教學公平的內在訴求。

其次。兒童的數學認知結構不僅包括已有的“結構性”知識，更重要的是包括大量的“非結構性”經驗背景，兒童數學是兒童“街頭數學”的繼續和延伸。兒童獨特的先天生理遺傳和不同的生活閱歷，尤其是在日常生活、游戲等活動中所積淀下的前數學“民俗經驗”，使得每個兒童的數學學習背景都是如此地豐富而獨特。兒童獨特的數學“前理解”主張：教師要直面兒童的數學經驗方式、思維方式、認知傾向等等，要細膩地、科學地去剖析、研究兒童到底是怎樣學習數學的。

再次，由于數學教學活動建立在兒童的認知發展水平和已有知識經驗基礎之上，因此。教師要對每一個兒童的知識起點、能力起點、態度起點、年齡特征等做出準確的解讀，以便為實現兒童的各種可能性敞開道路。

2.數學：一門動態成長的科學。

秉持數學教學的現象學態度還必須追問數學的學科本質：數學是什么?“問題不在于教學的最好方式是什么。而在于數學到底是什么……如果不正視數學的本質問題，便永遠解決不了教學上的爭議。”數學的學科性質、知識性質規定著數學的教與學的方式。

按照英國數學家歐尼斯特的觀點，教師所具有的數學觀大致存在3種類型：工具主義數學觀(即把數學看作適用于不同場合的事實性結論、法則和技巧的匯集而構成的一套工具)、靜態的絕對主義數學觀(即把數學看作一個靜態的、無可懷疑的真理的集合)和動態的可誤主義數學觀(即把數學看作是一個動態的、由問題推動而發展的學科)。盡管教師對自我的數學觀未必有清醒的意識。但數學觀作為一種“隱蔽觀念”卻時刻用“看不見的手”牽引著教師的數學教學。如果一位教師秉持工具主義或絕對主義的數學觀，那他(她)就會有意無意地把兒童的頭腦作為貯存知識的倉庫，不斷地往兒童的頭腦里增加定理的數目。讓兒童無條件地接受“數學真理”。而如果一位教師秉持可誤主義數學觀，承認數學知識的不確定性，那么，他(她)就會引領兒童去探究數學知識的來龍去脈，讓兒童經歷公理化、形式化、數學化的過程，數學教學就會因此而展現智慧的光彩，兒童就能體驗到理智成長的愉悅。

3.活動：兒童智慧的數學學習方式。

“活動是智慧的根源”(皮亞杰語)，也是兒童的經驗建構方式。“數學教學是數學思維活動的教學”(斯托利亞爾語)，是兒童根據自己的體驗，用自己的思維方式去“再創造”數學知識的活動。數學活動不僅僅指外顯的“形動”(肢體活動)，更重要的是內隱的“心動”、“思動”，誠如著名數學教育家斯托利亞爾所指出的，“數學知識的獲得，主要不是靠實物實驗，而是通過思想上的實驗，進行緊張的思維活動。”研究表明，兒童數學心智的發展正是兒童在主客體的交互作用中實現的。而活動正是主體身心參與的、主客體交互作用的過程，“是兒童與客觀世界(自然、社會、伙伴)的全面、廣泛、豐富的締結”(馬克思語)。數學活動的內涵有三：其一，數學活動應該是“數學的”，即活動要蘊含數學本質，應該與數量關系、圖形關系、統計關系緊密相連：其二。“數學活動”應該是“活動的”，這種活動不僅包括對數學材料的具體操作和形象探究，更重要的是讓兒童經歷“數學化”。即數學地組織現實材料的過程；其三，“數學活動”應該是“自主的”，教師應該給兒童預留充分的探究時空。充分激發兒童的數學潛能。

二、回歸“生命·實踐”：“兒童數學”的現象學路徑

敞亮“兒童”與“數學”的現象學路徑是從教育的原點去思考的。數學教育。無論它處于什么層次。都應致力于通過兒童的“生命·實踐”活動去豐盈兒童的精神生命與生活，這是“兒童數學”的應有之義。“兒童數學”就是要實現書本知識與兒童的經驗世界與生活世界的溝通，實現書本知識與數學整體的內在知識結構的溝通，實現書本知識與兒童發現問題、解決問題過程的溝通，由此豐富和拓展數學學科的育人資源。回歸兒童的“生命·實踐”是“兒童數學”的應然選擇。

1.返回“生活世界”，豐盈兒童的生命實踐活動體驗。

“生活世界”是“數學世界”的根基，是數學的意義之源，也是兒童的經驗之源。數學中的許多概念、原理都可以在“生活世界”中找到原型。返回“生活世界”，可以讓兒童獲得多重表征：操作性表征(兒童在做數學中的直接體驗)、映象性表征(兒童生活或活動中的視覺映象或其他映象)、符號性表征(兒童生活經驗的抽象與概括)，這些表征能讓兒童獲得豐富的體驗，即完整的數學意義建構。

例如，教學“角的認識”(蘇教版《數學》二年級下冊)時，我先讓學生到生活中去找尋“角”。第二天課堂上的匯報交流讓我既喜又驚。但學生對角的認識只是停留在具體物體上，如何將“生活角”提升為“數學角”呢?我發現學生對“角”的認識有兩種情形：一種是認為角就是一個“點”，另一種是認為角是物體拐角的“一部分”。接著，我讓大家用最簡潔的方式將剛才指的“角”畫下來，結果沒有一位學生是只畫“點”的。學生知道，“角是需要一個點的，除了這個點還要有支撐這個點的東西。”

生1：只點一個點就叫角，那任何物體身上都有角，包括皮球上。

生2：角需要一個點，沒有這個點就不是角了……

于是我請學生思考：支撐這個點還要畫上什么?

根據他們的回答，我先是畫上黑板的面、桌子的面、門的面，逐步過渡到這些物體面的一部分。我把原先畫好的一個個面擦去兩條線，再請他們觀察，你看到的這個“角”由哪幾部分組成?至此，學生逐漸領悟到“角”的數學模型：角是從一點引出兩條射線組成的圖形。接著我又出示一個平角，它也符合角由一個頂點、兩條邊組成，但它的頂點不是尖的，沒有刺人的感覺。由此，學生彌補了經驗中對角的不完全認識，科學完整地理解了“角”的數學內涵。

生活的邊界就是學生的數學邊界。因此，數學教學要從學生的生活經驗和已有體驗開始，從直觀的和容易引起想象的問題出發，通過“數學化”。逐步地將“生活數學”提升為“科學數學”。進而實現對兒童生活經驗的發展、改造，讓學生在經歷中感悟，在體驗中成長。

2.探尋數學知識的本原，引領兒童的生命實踐活動建構。

探尋數學知識的“本原”意味著：對兒童而言，要考慮什么是某個數學問題最為根本的、本質的、基本的認知要素或構成。其來源有二：一是教師在備課過程中精心設計的反映學科本性的問題：二是在課堂教學活動中由學生所提出的涉及數學內容實質的問題。前者要求教師把學科本質問題“教學法化”：后者則意味著教師要善于在充滿不確定性的課堂中，從數學知識的生發處、生長處、生成處，捕捉到學生的某個樸素的數學想法并加以發展。數學教學中的本原問題不一定是推動數學史發展的“原初問題”，也不一定是數學家們邏輯建構起來的“數學科學的發現問題”，而是兒童在數學原創性生學習中自然誕生的問題。

例如，教學“平行四邊形面積”(蘇教版《數學》五年級上冊)，多數老師從平行四邊形與長方形的關系人手，通過割補平移將平行四邊形轉化成長方形。推導出平行四邊形面積公式，然后就是讓學生進行運用。這種形式化的邏輯演繹造成學生因為缺少面積度量的意義支撐而“知其然卻不知其所以然”。學生不知道平行四邊形的面積推導為什么一定要通過割補平移轉化成長方形。為此。筆者在教學中刻意弱化平行四邊形與長方形在對應邊關系上的直接比較，而側重于從突出面積度量意義的視角引導學生自覺產生轉化的動機，獲取圖形轉化的直接經驗和對平行四邊形面積計算本原意義的理解。讓學生明白：因為平行四邊形不可以直接用單位面積的小正方形去度量，所以只能轉化成長方形，而且轉化的前提是面積大小不能變化，與線段長度的變化無直接聯系。引導學生通過擺一擺單位面積、說一說算法、找一找底和高的度量意義等學習過程，從本原意義上來體驗這種轉化。在隨后的練習中，筆者也并不強調公式的提煉運用，而是讓學生基于各自的理解程度來表述面積計算的思考過程，能概括的用抽象的算法公式，不能概括的則用頭腦中的操作過程來描述。這樣讓面積公式在學生豐富的數學操作體驗中逐步運用并明晰，由此而發展學生的數學理解和數學抽象能力。

3.還原數學知識的“過程形態”，誘發兒童的生命實踐活動創造。

數學“客觀知識”是人類生命實踐活動的智慧結晶，是前人通過辨析比較大量材料、提煉抽取本質屬性、歸納概括命名的活動過程而形成的。經過簡約化提煉和符號化表達，數學知識凝結為一種符號化知識，它遮蔽了前人生命實踐活動過程中的真實復雜性和豐富生動性。兒童可能只是“占有”著這些數學符號，卻無法感受和獲得前人的生命實踐智慧。教學中，如果我們只關注到這些表面的符號化知識，我們就會僅僅注重數學知識的傳遞價值，學生就容易被“工具化”，數學對兒童來說也就會成為抽象的概念和遙遠的歷史。為此，必須讓數學知識恢復到其產生時的鮮活狀態，讓其成為一種“動姿化”的“過程形態”的知識。要引領兒童用自己的認知方式和思維方式去經歷、去體驗、去復演人類創造知識的生動歷程，讓他們在數學知識的創造活動中與生產知識的人和歷史進行對話。由此，兒童把他人生命實踐活動的結果轉化為自己生動的“再創造”活動歷程，把他人生命實踐中的經驗和智慧。轉化為自己生命成長的精神能量和重要資源。

例如，教學“乘法和加、減法的兩步混合運算”(蘇教版《數學》四年級上冊)。如果按照教材上購物情境的兩個實際問題，結合數量關系分析，學生也可能直觀地、樸素地體會到運算順序的合理性，但卻無法真正理解“算理”。為此，教學中我們應該追問運算順序的“人為規定”：到底為什么先算乘法?一位教師在教學中首先從“13＋8＋3”開始，然后把“3”變成“8”，得到“13＋8＋8”；再在此算式后面加上3個8。得到“13＋8＋8＋8＋8＋8”。連續兩次動態呈現。三道相關的算式構筑了一個鮮活的變化情境。伴隨學生口算時簡便因素的不斷增大，其口算方法逐步由“從左往右”轉向“先用乘法算相同加數的和”。進而催生“簡便”體驗(先算乘法，后算加法)。通過這樣的數學化活動，學生掌握了數學獨特的思考與創造模式，體驗了數學的價值。

4.賦予數學知識文化與心理意義。催生兒童的生命實踐活動表達。

兒童的數學化過程是兒童“自組織”數學學習素材的過程。也是兒童對客觀的“數學知識”進行主觀“意義賦予”的過程。所謂“意義賦予”是指兒童依據自身已有的知識經驗(認知結構)、生活經歷對數學知識所作的“非正規解釋”。這些“非正規解釋”承載了兒童思維中生動活潑的意念。展現了兒童對數學的“創造性理解”。灑滿了人性的光輝。

例如，一名學生通過計算得出結論“周長相等的平面圖形中圓的面積最大”(蘇教版《數學》五年級下冊)后。這樣解釋：“同樣一些人手拉手圍成一個圈(即周長相等)，要使它盡可能大，每一個人都應盡力向后退。如果每個人力量相同，這樣形成的圖形便是圓。而圍成其他圖形只需部分的人用勁。像正方形，可以看成是只有四個角的人在使勁后退。當然是圓的面積最大了，‘團結力量大’嘛。”正是由于兒童豐富的“非正式數學經驗”，由于兒童獨特的“數學視界”，使得兒童對數學知識進行了主觀的獨特闡釋，產生了如此個性化的表達。

值得注意的是，一方面。在教學中我們要尊重兒童對數學知識的“非正規解釋”，尊重兒童對數學知識所賦予的文化與心理意義。讓數學學習成為兒童的生命實踐活動表達：另一方面，當學生用富有個性的“兒童化語言”表達自己的生命實踐活動體驗時，教師應發揮其引領作用，引領他們逐步用準確、凝練、簡潔的“數學化語言”(文字術語、符號、圖形等)去表達自己的生命實踐，即“數學地說”與“數學地寫”。幫助學生逐步學會“數學地談論”、“數學地交流”。換言之，我們既要尊重兒童對數學的“非正規解釋”。又要維護數學的正式意義，要幫助兒童由原先的對數學的“非正式表達”逐步過渡到“數學式表達”。特別是，學會“數學地表達”可以看成是兒童數學素養得以提升的一個重要標識，即由日常語言逐步轉向數學的符號語言，由對數學的“非正規解釋”逐步過渡到“正規解釋”，以及由較為初等的數學語言逐步過渡到較為高級的數學語言。

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