數(shù)學更需要想象

幾乎所有的同學都知道，文學創(chuàng)作需要豐富的想象力，真正名篇杰作的誕生無不與詩人和文學家豐富的想象力有關。，

比如詩仙李白用“飛流直下三千尺，疑是銀河落九天”來描繪瀑布從險峻山上傾瀉而下的奇景，詩圣杜甫用“詞源倒流三峽水，筆陣獨掃千人軍”來形容筆力雄健文氣磅礴，著名詩人賀知章用“不知細葉誰裁出，二月春風似剪刀”來巧妙描繪春風催發(fā)柳葉的動人景象等，其中詩人們超凡脫俗的想象力令人折服。

我國古代名作吳承恩的《西游記》與蒲松齡的《聊齋志異》更是用奇特的想象，描繪出現(xiàn)實中根本不存在的神奇情境和匪夷所思的故事情節(jié)，讓人讀罷心馳神往嘆為觀止。

其實，不只是文學需要想象，數(shù)學同樣也需要想象，甚至具有抽象性特征的這門學科更需要想象。

兩個人往一張普通的圓桌上輪流放一枚硬幣，交替進行。規(guī)則是每一枚硬幣都必須平放在桌上而且不許重疊，誰在桌上放下最后一枚硬幣，誰就獲勝。

現(xiàn)在有一個問題：有沒有方法判斷哪一方一定能獲勝呢?這個問題的答案是：選擇先放的一方必獲勝。

有的同學會問：“為什么呢?”，最容易的方法是，想象硬幣慢慢地大起來，最后極端的情況就是“硬幣與圓桌一樣大”，那么顯然先放的那個人必獲勝。因為這個人放了以后，另一個人就不好再放了。

類似地，對于下面的這則據(jù)說是微軟公司的面試題：如果你有兩個桶，一個裝的是紅色的顏料，另一個裝的是藍色的顏料。你從藍色顏料桶里舀一杯，倒入紅色顏料桶，再從紅色顏料桶里舀一杯捌入藍顏料桶。兩個桶中紅藍顏料的比例哪個更高?也可以利用大膽的想象進行簡潔的解答。

即假定兩個桶中都只各有一杯紅藍顏料，顯然，完成第一次操作后，紅桶中有兩杯混合顏料，紅藍或藍紅比例完全相同，這時再進行第二次操作，也就是把兩杯比例相同的混合顏料一分為二，顯然最后兩桶中的紅藍顏料的比例一樣。

另外下面這個至今仍為廣大數(shù)學愛好者津津樂道的關于勾股定理的巧妙證明，更能夠充分反映出想象力的特點，即想象力是在過去感知材料的基礎上，重新創(chuàng)造出新事物形象的能力。

大家都知道“勾股定理”的內容是：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方(a²+b²＝c²。古往今來，因“勾股定理”證明的多樣性，許多數(shù)學家和廣大數(shù)學愛好者對其研究興趣不減，各種巧妙證明也層出不窮，令人賞心悅目。

而其中12世紀印度著名的大數(shù)學家婆什迦羅的證明最為奇特，他只畫出了如下兩個圖，就把勾股定理證完了。

原來，婆什迦羅是用(1)、(2)兩圖表示了一個巧妙的轉換，從而進行直觀明了的簡潔證明。具體的思路是：圖(1)中的四個直角三角形即陰影部分圖形，可拼成圖(2)中的兩個矩形也是陰影部分，且圖(1)中剩余的小正方形，直接移到圖(2)的左上角，說明圖(1)與圖(2)面積相等。

同時注意到，在圖(2)上補上虛線AB之后；圖(2)中那“階梯”圖形就自然分割為兩個正方形，面積分別為a2和b2；而圖(1)的面積顯然為C：因此有c²＝a²+b²。從中不難發(fā)現(xiàn)，婆什迦羅大膽想象轉化圖形是巧妙證明的關鍵。

而最具代表性的則是我國古代算術趣題“雞兔同籠”問題的解答。這里為了說明想象的重要與靈活，我們對于它的常用解答“假設置換法”不作贅述，只對其中具有奇趣和奇妙特點的解答進行描述。“籠中有雞和兔若干只，它們共有50個頭和120只腳，問雞和兔子各有多少只?”

假設雞兔都受過特殊訓練，一聲令下，雞收起一條腿成金雞獨立狀，使兔抬起兩只腳成玉兔拜月狀。如此變化成雞1只腳兔2只腳，則總腳數(shù)減少了一半為60只，而總頭數(shù)不變仍為50只，兩數(shù)相減，由雞兔的頭數(shù)與對應的腳數(shù)的關系式：雞頭＝雞腳，兔腳＝2兔頭，不難發(fā)現(xiàn)差(雞腳+兔腳)一(雞頭+兔頭)＝60－50＝10正是兔頭數(shù)，即兔為10只，則雞的只數(shù)為50－10＝40只。

假定兔子成玉兔拜月狀，則籠中的兔子和雞都成了一個頭兩條腳的動物，這時籠中的腳為50×2＝100只，比事實上的120只腳少去120－100＝20只。少去的腳數(shù)就是兔子起立時，減少的兔子腳數(shù)，因此兔子的數(shù)量為20÷2＝10只，則雞的只數(shù)為50－10＝40只。

假定每只雞的翅膀也是腳，則籠中的雞和兔都是一個頭四條腳的動物，這時籠中的腳為50×4＝200只，比事實上的120只腳多出200－120＝80只腳，多出的腳數(shù)就是因為把雞的翅膀當作了腳計數(shù)，從而說明這80只腳實際上是雞的翅膀。因為每只雞有兩只翅膀，所以雞有80÷2＝40只，則兔有50－40＝10只。

假定每只兔再長出一只頭，再把每只變異的兔從中剖開，這樣每只雞和兔就都是一個頭兩只腳的動物了，根據(jù)題意雞兔的總腳數(shù)為120只，則這樣的雞兔應有120÷2＝60只，比事實上的50只多了60－50＝10只，這多出lO只是因為每只兔又長出了一只頭，從而說明原有10只兔，則雞有50－10＝40只。

假定雞兔都被“砍去”兩只腳，則剩余腳為120－50×2＝20只，雞的腳去完了，則剩下的20只腳全是兔腳，這時每只兔只有兩只腳，于是兔有20÷2＝10只，則雞的只數(shù)為50－10＝40只。

從上面層出不窮的巧妙解答可以發(fā)現(xiàn)，憑借想象。原本枯燥的問題立刻變得生動有趣，原本復雜的問題立即變得簡單易解。

想象力是人類獨有的才能，是人類智慧的生命。在創(chuàng)造發(fā)明和探索新知識的過程中，想象力是一切希望和靈感的源泉。愛因斯坦曾說過：“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力是無限的，它概括著世界的一切，推動著進步，并且是知識進化的源泉……”

曾獲“菲爾茨獎”的日本京都大學的森重文教授內向少言，回答記者的每一個問題，他都要沉吟半晌，但當記者問他“您認為學習數(shù)學最重要的是什么”時，森重文教授的答案幾乎是脫口而出：“是想象力和創(chuàng)造性。”這也驗證了一句老話：“不怕做不到，就怕想不到。”

那么豐富的想象力從何而來呢?它既不可能從天上掉下來，也不是頭腦中固有的，而是在我們的學習和實踐中逐步培養(yǎng)和鍛煉起來的。

我們應勤學博覽，擴大知識面，接受各種新的信息，獲得啟發(fā)，從而豐富和增強自己的想象力。這樣，在合適的時機，合理的想象就能不斷產生新觀點新方法。