高等代數中一道習題的不同解法

高 英

(重慶師范大學數學學院代數與幾何教研室，重慶 400047)

高等代數是大學數學專業的一門重要基礎課程,其特點是抽象嚴謹,解題方法又靈活多變。因此,如何在教學中引導學生在做題的過程中自覺的體會總結，運用本課中常用的方法，并聯系所學知識和已證明的習題，就顯得尤為重要。

1 預備知識

定義1：在n維歐氏空間中，由n個向量組成的正交向量組稱為正交基；由單位向量組成的正交基稱為標準正交基。

引理1：n維歐氏空間的子空間V1的正交補V1┷由所有與V1正交的向量組成。

引理2：在歐氏空間中必存在標準正交基。

引理3：(線性映射的維數公式)設σ是線性空間V到線性空間V1的線性映射，則σ的像空間的維數+σ的核空間的維數=dimV.即σ的秩+σ的零度=dimV。

2 主要結果

教材[1]的習題中有如下一道題：

設V是n維歐氏空間，α≠0是V中的一個固定向量,

(1) 證明：V1={x/（x，α）=0，x綴V}是 V 的子空間；

(2)證明：V1的維數等于n-1。

問題(1)的證明一般情況下就用子空間的定義證明即可，即對數乘和加法運算封閉。下面主要給出問題(2)的不同證明方法。

證法1:為證明結論首先證明V1是L（α）(表示由向量α生成的子空間)的正交補。

事實上，由引理 1 可知 L（a）┷={x∈V/（x，β）＝0，坌β∈L（α）}，而容易證明：{x∈V/（x，β）＝0，坌β∈L（α）}=V1。

從而 L（α）┷=V1，所以 V=V1+L（α）=V1L（α），因此,由直和的判定定理可知 n=dinV=dimV1=dimL（α）=dimV1+1。

這表明dimV1=n-1

證法2：由引理2可知任意歐氏空間必存在標準正交基，故不妨設 α1，Λ，αn為 V 的標準正交基。 設 α=k1α1+Λ+knαn，其中 k1，Λ，kn∈R 則對坌β=x1α1+Λ+xnαn∈V1，其中 x1，Λ，xn∈R,由α1，Λ，αn為 V 的標準正交基可知（α，β）=x1k1+Λ+xnkn=0.因此,線性方程組 x1k1+Λ+xnkn=0的解就是 V1中的向量在 α1，Λ，αn下的坐標向量，其解空間的維數就是V1的維數。因為α≠0，故（k1，Λ，kn）≠0，從而 x1k1+Λ+xnkn=0 的解空間的維數為 n-1，即dimV1=n-1。

證法3：考慮實數集R按數的加法和數乘在實數域R上構成的的線性空間，定義映射 σ：V→R 為 σ（x）=（x，α），坌x∈V，則易驗證 σ 是線性映射，σ 的核空間就是 V1{x/σ（x）=（x，α）=0，x∈R}，σ的像空間為R。由線性映射的維數公式有：σ的核空間的維數+σ的像空間的維數=dimV=n，而σ的像空間的維數=dimR=1,故的核空間的維數=dimV1=n-1，故結論成立。

3 結語

以上利用不同的方法給出了一道習題最終將班集體建設成為和諧、民主、祥和的大家庭。

4 因人制宜，因材施教

想要更好的提高班級管理工作質量，就必須深入了解學生內心需要，了解每一位學生的家庭狀況以及社會交往情況，針對每位學生的特長、愛好、性格等建立一套完整的個人檔案，并隨時觀察每位學生的學情狀態，為他們分別制定合適的教學目標，必要時開展個別教育。在具體教學中，教師要全方位看待學生，不要僅僅看到學生的優點或缺點，要根據“尺有所短、寸有所長”的原則，看到學生身上的閃光點，比如有的學生比較自信；有的學生集體觀念較強；有的學生心態很好；還有的學生具有堅強的意志等。但是人無完人，每位學生身上不可避免的存在一定缺陷，如心理素質較差、容易自大或自負、自控能力差、組織紀律性不強等。班主任教師不能只看到優等生的優點，后進生的缺陷，否則，只能使后進生產生逆反心理，加深了他們的自卑心態，很有可能會從此一蹶不振。因此，班主任教師要因材施教、因人制宜，注重發揮學生的優勢，幫助學生改善自身的缺點，促進學生身心的健康發展，提高班級團隊的整體素質。

5 堅持“以人為本”的科學發展觀

班主任教師要轉變自身的教育理念，尊重學生的主體地位，發揮自身的主導作用，看到存在于學生身上的個體差異，認識到個體差異的不同造就了他們不同的思維方式與接受能力，根據他們喜好、習慣的不同，采取個別交談的方式對他們進行思想教育。要知道，學生是一個個鮮活獨立的個體，并不是工廠按照統一標準生產出來的產品，因此，班主任教師除了要對學生進行共性教育以外，還應該特別注重學生之間的個體差異性，運用感情疏導、誠懇交談等方式，站在朋友的立場上為學生排憂解難，盡量遵循“表揚與啟發并用”的原則，讓學生理解班主任話語的弦外之音，感受到班主任的一番苦心。這種方式不但有利于化解所有問題與矛盾，還有助于增進學生與教師之間的感情。

總而言之，在當今社會科技發展日新月異的背景下，班主任教師也要不斷提高自身道德修多樣與專業水平，以適應新社會對教師的更高要求，順利歷史發展潮流。作為班主任教師，要肩負起社會賦予的重要使命，不斷改進教學方法、提高自身綜合素質、了解學生心理狀況，采取因材施教、因人制宜的管理方式，樹立教書與育人共進的教學理念，注重調動學生積極性、主動性與創造性的學習精神，全面提高高職學生的綜合能力，為其將來的順利就業奠定基礎。

[1]邵嫻.淺談高職班主任的工作藝術[J].吉林省教育學院學報(學科版)，2009，(1).

[2]邊巍.高職班主任工作的幾點體會[J].科技信息，2009，(35).

[3]臧健.做好高職班主任的幾點體會[J].職業技術，2006，(18).