確定圓心的矢量算法及其橢圓脈沖增量法的研究與實現(xiàn)

李 偉，趙玉剛，張來賓，李科展，張 輝

LI Wei1,ZHAO Yu-gang1,ZHANG Lai-bin2,LI Ke-zhan3,ZHANG Hui4

（1. 山東理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，淄博 255049；2.滕州市產(chǎn)品質(zhì)量監(jiān)督檢驗所，滕州 277500；3. 中國重汽集團(tuán) 濟(jì)南橋箱有限公司，濟(jì)南 250116；4. 中國石化齊魯石油化工公司 熱電廠，淄博，255400）

0 引言

插補是數(shù)據(jù)密化的過程。在數(shù)控系統(tǒng)明確起點和終點后，系統(tǒng)根據(jù)線段的特征（直線、圓弧、漸開線等），運用一定的算法，在起終點之間計算出一系列的數(shù)據(jù)，從而自動地對各坐標(biāo)軸進(jìn)行分配，使機床加工出所要求的輪廓曲線[1]。

文獻(xiàn)[1]提出了一種最小偏差法，改進(jìn)的算法雖然精度有所提高，但只能用于要求不高的開環(huán)控制系統(tǒng)中。文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[3]只是基于數(shù)控插樸特征原理，提供了數(shù)控加工橢圓曲線的有益方案，沒有具體實現(xiàn)數(shù)控加工及仿真；文獻(xiàn)[4]介紹了脈沖增量式插補算法的特點，基于vHDL語言編程實現(xiàn)了多種常用脈沖增量式插補算法的硬件插補器。

本文運用矢量法解決了起點、終點、半徑確定圓心的問題，簡化了計算過程，使計算值有了明確的取舍；基于脈沖增量插補原理推導(dǎo)出了橢圓的逐點比較法的判別函數(shù)，并在C++ Builder開發(fā)環(huán)境下，編制出橢圓的插補計算程序，實現(xiàn)了橢圓的數(shù)控加工仿真。

1 橢圓插補的算法

逐點比較法是脈沖增量插補方法的一種，其特點是每經(jīng)過一個插補周期僅產(chǎn)生一個行程增量，在插補計算過程中不斷向各個坐標(biāo)發(fā)出相互協(xié)調(diào)的進(jìn)給脈沖，驅(qū)動各個坐標(biāo)的電動機運動。

1.1 偏差判別式的確定

1）若點P正好在橢圓弧上，則：

2）若P在橢圓弧外側(cè)，則：

3）若P在橢圓弧內(nèi)側(cè)，則：

取加工偏差判別式：

1.2 下一步新的加工偏差函數(shù)

當(dāng)P在橢圓弧外側(cè)或橢圓弧上時Fi,j≥0，需向X軸負(fù)方向進(jìn)給一個脈沖當(dāng)量，到新的加工點上P（xi+1，yj）；其加工偏差為：

若P在橢圓弧內(nèi)側(cè)時Fi,j＜0，需向Y軸正方向進(jìn)給一個脈沖當(dāng)量；其加工偏差為：

由此可看出，新一點的偏差值可以用前一點的偏差值遞推出來，計算簡單，可實現(xiàn)高速插補。在橢圓插補過程中，動點坐標(biāo)的絕對值總是一個增大，另一個減小。如第一象限逆插補時，x減小，y增大。

2 插補前預(yù)處理過程

偏差判別公式是基于圓心在原點的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出的，因此在進(jìn)行插補前要對輸入的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。預(yù)處理的工作包括：起點終點的處理，圓心的確定，優(yōu)劣弧的判斷，判別函數(shù)的確定等。

2.1 矢量法確定圓心

已知圓弧起點 A（x1，y1），終點 B（x2，y2），半徑為R，求圓心坐標(biāo)（x，y）。

圖1 插補程序框圖

聯(lián)立方程組

得到的圓心坐標(biāo)有兩個，圓心的取舍與起點、終點所在的象限、優(yōu)劣弧有關(guān)。

矢量法確定圓心的思想：先任意選定計算出的一個圓心O1，設(shè)O1A是圓心到起點的向量，AB是起點到終點的向量，然后把這兩個向量做叉乘，若 O1A×AB＞0，則 O1是 A到 B逆圓弧劣弧的圓心，同時也是A到B順圓弧優(yōu)弧的圓心；若O1A×AB＜0， 則 O1是 A 到B順圓弧劣弧的圓心，同時也是A到B逆圓弧優(yōu)弧的圓心。程序框圖如圖1右預(yù)處理部分。其中，R代表是劣弧，-R代表優(yōu)弧。

2.2 插補加工的實現(xiàn)

根據(jù)以上算法，在C++Builder環(huán)境中編寫代碼實現(xiàn)了橢圓插補。插補程序框圖如1所示，輸入?yún)?shù)，就可以插補計算，并且可以實現(xiàn)動畫效果。

3 結(jié)束語

圖2 插補仿真圖

本文在C++ Builder開發(fā)環(huán)境下，編制出橢圓的插補計算程序。推導(dǎo)出了橢圓的插補判別公式，可以有效的實現(xiàn)橢圓的逼近，并進(jìn)行了模擬。在牽扯到圓心坐標(biāo)的取舍的問題上，本文采取一種矢量法，使簡化了計算過程，使計算值有了明確的取舍，使繁瑣過程變得簡單，簡化了計算量，具有較高的使用價值。

[1] 欒芝蕓,孫雷,等. 一種新型的插補方法——自動過象限卡諾圖最小偏差法[J]. 測控技術(shù),2000,(11)：51-52.

[2] 逄啟壽,楊杰,等.數(shù)控加工中兩種插補原理及對應(yīng)算法[J].機械工程師,2007,(2)： 121-122.

[3] 李衛(wèi)京,李文斌.橢圓曲線插補算法研究[J].山西機械,20033,(1)： 18-19.

[4] 朱昊,劉化君,等. 基于VHDL的脈沖增量式多功能插補器的設(shè)計與實現(xiàn)[J]. 中國制造業(yè)信息化,2007,10,(19)： 38-42.

[5] 趙玉剛,宋現(xiàn)春. 數(shù)控技術(shù)[M]. 北京： 機械工業(yè)出版社,2003.