確定圓心的矢量算法及其橢圓脈沖增量法的研究與實現

李 偉，趙玉剛，張來賓，李科展，張 輝

LI Wei1,ZHAO Yu-gang1,ZHANG Lai-bin2,LI Ke-zhan3,ZHANG Hui4

（1. 山東理工大學 機械工程學院，淄博 255049；2.滕州市產品質量監督檢驗所，滕州 277500；3. 中國重汽集團 濟南橋箱有限公司，濟南 250116；4. 中國石化齊魯石油化工公司 熱電廠，淄博，255400）

0 引言

插補是數據密化的過程。在數控系統明確起點和終點后，系統根據線段的特征（直線、圓弧、漸開線等），運用一定的算法，在起終點之間計算出一系列的數據，從而自動地對各坐標軸進行分配，使機床加工出所要求的輪廓曲線[1]。

文獻[1]提出了一種最小偏差法，改進的算法雖然精度有所提高，但只能用于要求不高的開環控制系統中。文獻[2]和文獻[3]只是基于數控插樸特征原理，提供了數控加工橢圓曲線的有益方案，沒有具體實現數控加工及仿真；文獻[4]介紹了脈沖增量式插補算法的特點，基于vHDL語言編程實現了多種常用脈沖增量式插補算法的硬件插補器。

本文運用矢量法解決了起點、終點、半徑確定圓心的問題，簡化了計算過程，使計算值有了明確的取舍；基于脈沖增量插補原理推導出了橢圓的逐點比較法的判別函數，并在C++ Builder開發環境下，編制出橢圓的插補計算程序，實現了橢圓的數控加工仿真。

1 橢圓插補的算法

逐點比較法是脈沖增量插補方法的一種，其特點是每經過一個插補周期僅產生一個行程增量，在插補計算過程中不斷向各個坐標發出相互協調的進給脈沖，驅動各個坐標的電動機運動。

1.1 偏差判別式的確定

1）若點P正好在橢圓弧上，則：

2）若P在橢圓弧外側，則：

3）若P在橢圓弧內側，則：

取加工偏差判別式：

1.2 下一步新的加工偏差函數

當P在橢圓弧外側或橢圓弧上時Fi,j≥0，需向X軸負方向進給一個脈沖當量，到新的加工點上P（xi+1，yj）；其加工偏差為：

若P在橢圓弧內側時Fi,j＜0，需向Y軸正方向進給一個脈沖當量；其加工偏差為：

由此可看出，新一點的偏差值可以用前一點的偏差值遞推出來，計算簡單，可實現高速插補。在橢圓插補過程中，動點坐標的絕對值總是一個增大，另一個減小。如第一象限逆插補時，x減小，y增大。

2 插補前預處理過程

偏差判別公式是基于圓心在原點的基礎上推導出的，因此在進行插補前要對輸入的數據進行預處理。預處理的工作包括：起點終點的處理，圓心的確定，優劣弧的判斷，判別函數的確定等。

2.1 矢量法確定圓心

已知圓弧起點 A（x1，y1），終點 B（x2，y2），半徑為R，求圓心坐標（x，y）。

圖1 插補程序框圖

聯立方程組

得到的圓心坐標有兩個，圓心的取舍與起點、終點所在的象限、優劣弧有關。

矢量法確定圓心的思想：先任意選定計算出的一個圓心O1，設O1A是圓心到起點的向量，AB是起點到終點的向量，然后把這兩個向量做叉乘，若 O1A×AB＞0，則 O1是 A到 B逆圓弧劣弧的圓心，同時也是A到B順圓弧優弧的圓心；若O1A×AB＜0， 則 O1是 A 到B順圓弧劣弧的圓心，同時也是A到B逆圓弧優弧的圓心。程序框圖如圖1右預處理部分。其中，R代表是劣弧，-R代表優弧。

2.2 插補加工的實現

根據以上算法，在C++Builder環境中編寫代碼實現了橢圓插補。插補程序框圖如1所示，輸入參數，就可以插補計算，并且可以實現動畫效果。

3 結束語

圖2 插補仿真圖

本文在C++ Builder開發環境下，編制出橢圓的插補計算程序。推導出了橢圓的插補判別公式，可以有效的實現橢圓的逼近，并進行了模擬。在牽扯到圓心坐標的取舍的問題上，本文采取一種矢量法，使簡化了計算過程，使計算值有了明確的取舍，使繁瑣過程變得簡單，簡化了計算量，具有較高的使用價值。

[1] 欒芝蕓,孫雷,等. 一種新型的插補方法——自動過象限卡諾圖最小偏差法[J]. 測控技術,2000,(11)：51-52.

[2] 逄啟壽,楊杰,等.數控加工中兩種插補原理及對應算法[J].機械工程師,2007,(2)： 121-122.

[3] 李衛京,李文斌.橢圓曲線插補算法研究[J].山西機械,20033,(1)： 18-19.

[4] 朱昊,劉化君,等. 基于VHDL的脈沖增量式多功能插補器的設計與實現[J]. 中國制造業信息化,2007,10,(19)： 38-42.

[5] 趙玉剛,宋現春. 數控技術[M]. 北京： 機械工業出版社,2003.