基于最小方差模型的自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)研究

覃貴禮，潘澤鍇

QIN Gui-li,PAN Ze-Kai

（廣西職業(yè)技術(shù)學(xué)院，南寧 530226）

0 引言

在工業(yè)過程控制中，采用的自適應(yīng)校正調(diào)節(jié)器用是一個(gè)參數(shù)緩慢變化的過程，在原理上是按系統(tǒng)輸出的最小方差自校正控制，被調(diào)量通常指受隨機(jī)擾動(dòng)影響過程的輸出(如紙張單位面積的重量、軋機(jī)輸出的鋼板厚度、反應(yīng)器工值的出口溫度等)，這些過程的輸出都要求對(duì)其定值的波動(dòng)盡可能小，就是說，其控制目標(biāo)是使輸出的穩(wěn)態(tài)方差盡可能小，而最小方差控制是按最小輸出方差為目標(biāo)設(shè)計(jì)的自校正控制律。它能有效地抑制隨機(jī)干擾，算法簡單，易于實(shí)現(xiàn)，在實(shí)際工業(yè)過程中具有重要的應(yīng)用。

1 最小方差控制模型[1]

在自動(dòng)控制范疇里，最小方差控制的基本思想是先假定u(t)=0，并根據(jù)t時(shí)刻數(shù)據(jù)，即已經(jīng)得到的輸出信息Yt=(y(0),y(1),...,y(t))來預(yù)報(bào)(t+k)時(shí)刻的輸出Y'=(t=k|Yt)，以預(yù)報(bào)隨機(jī)擾動(dòng)ζ(t+k)對(duì)輸出的影響。由于有延遲k，t時(shí)刻的控制輸入u(t)，以補(bǔ)償對(duì)輸出的影響，算出的u(t)即為最小方差控制律。通過不斷地進(jìn)行采樣、預(yù)報(bào)和控制，最后達(dá)到輸出量的穩(wěn)態(tài)值方差為最小。

假設(shè)被控對(duì)象(過程)模型為受控的自回歸滑動(dòng)平均差分方程模型(CARMA模型)，下式差分方程可表示單輸入單輸出對(duì)象：

式(1)可以用另一種形式變換為：

在式(2)中參數(shù)多項(xiàng)式包括：v(z-1)、H(z-1)、L(z-1)三項(xiàng)，ma、mb、mc依次是它們的階次。其中，上式中的包涵有輸入、輸出的白噪聲序列：{u(t)}、{y(t)}、{w(t)}，p在實(shí)際應(yīng)用中是采用周期的整數(shù)倍，這里用作對(duì)象延遲。

被控對(duì)象單輸入單輸出的差分方程情形仍可用式(2)表示，并可改寫成

圖1 差分變量對(duì)象之間的關(guān)系

基于以上公式，針對(duì)最小方差控制方法的求解過程，被控對(duì)象(過程)作下述假定[2]：

1）{w(t)}是一個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)序列，它的方差為δ2，均值為0；

2）隨機(jī)擾動(dòng)過程ζ(t)=L(z-1){w(t)}/v(z-1) ，v(z-1)、H(z-1)為穩(wěn)定多項(xiàng)式，它們和F(z-1)的所有零點(diǎn)都分布在單位圓之內(nèi)，這樣可以保證ζ(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程。

3）在自校正過程種系統(tǒng)參數(shù)是不變的或稱“凍結(jié)的”。

在假定基礎(chǔ)上，根據(jù)式(2)可知，輸出u(t)、輸出y(t)和w(t)之間關(guān)系，可用圖1來表示。

2 最小方差控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)被控對(duì)象的差分方程式(2)，在推導(dǎo)最小方差預(yù)報(bào)律時(shí)有下列的假設(shè)[1,3]：

1）被預(yù)報(bào)的過程，即由隨機(jī)擾動(dòng)說產(chǎn)生的輸出是一個(gè)具有有理譜密度的平穩(wěn)隨機(jī)過程；

2）最優(yōu)的性能指標(biāo)是穩(wěn)態(tài)預(yù)報(bào)誤差的方差最小；

3）預(yù)報(bào)律應(yīng)當(dāng)是線性的和物理上可以實(shí)現(xiàn)的，即預(yù)報(bào)律應(yīng)當(dāng)是有y(t),y(t+1),… 的線性函數(shù)。

在假設(shè)的前提下，可以把最小預(yù)報(bào)誤差的方差改寫為[4,5]：

由形成濾波器L(z-1)/v(z-1)可得到ζ(t+k)和w(t+k)的關(guān)系式：

若最小方差預(yù)報(bào)值ζ'(t+k|t)給定為：ζ'(t+k|t)=ζ2(t+k|t)，把Diophantine方程L(z-1)=v(z-1)D(z-1)+z-1E(z-1))代入式(6)，令ζ'(t+k|t)=ζ(t+k)-ζ'(t+k|t)為y(t)預(yù)報(bào)誤差，可知：

在輸出函數(shù)為y(t+k)，給定值為yr(t)的情況下，最小方差控制的目標(biāo)就是使兩者偏差的方差是最小的。在公式表現(xiàn)出來就是：

若假設(shè)yr(t)=0，則上式變成

而式(8)中的y(t+k)由式(5)表示，并且考慮到式(6)、(7)的關(guān)系，可以得到

考慮到上式右邊括號(hào)中第一部分和第二、第三部分是無關(guān)的，并且w(.)的均值為零，因而上式可進(jìn)一步改寫為

考慮到上式右邊第一項(xiàng)在t時(shí)刻是未知的不可控項(xiàng)，因此，要使價(jià)值函數(shù)R為最小，只有使上式右邊的第二項(xiàng)為零，可得

此即為最小方差控制律。由價(jià)值函數(shù)R關(guān)系式可知，當(dāng)最小方差控制達(dá)到時(shí)，輸出的最小方差E{y2(t+k)}和輸出誤差y(t+k)分別為

式(10)中δ2為白噪聲序列w(.)的方差。

由此最小方差控制所構(gòu)成的控制系統(tǒng)如圖2所示。

圖2 最小方差控制系統(tǒng)

3 模型仿真研究

考慮控制系統(tǒng)非線性不確定隨機(jī)性,仿真對(duì)比最小方差模塊對(duì)整個(gè)控制系統(tǒng)輸出特性的影響，取受控系統(tǒng)為[6]：

w(t)為高斯白噪聲序列N(0,1)，(即均值為0，方差δ2=1),設(shè)延遲k=1。D(z-1)的階次為k-1=0，所以D(z-1)，Diophantine方程C(z-1)=A(z-1)D(z-1)+z-1E(z-1)代入具體數(shù)據(jù)得：

根據(jù)自校正調(diào)節(jié)器的最小方差控制策略理論，對(duì)上述受控方程的最小方差控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真[7]，如圖3所示。

圖3 最小方差控制系統(tǒng)仿真

在這個(gè)系統(tǒng)中，yr(t)的以正弦波形式輸入，幅值調(diào)節(jié)為3，w(t)為帶限白噪聲。在時(shí)間參數(shù)t=0～10s時(shí)，y(t)和u(t)都是以示波器形式輸出。采用最小方差算法，控制效果如圖4所示。如果僅用對(duì)象和變量的關(guān)系，即是在仿真中缺少最小方差控制Discrete Filter模塊，而輸入的方式和參數(shù)都沒有發(fā)生改變，在相同的時(shí)間范圍內(nèi)，y(t)和u(t)都是以示波器形式輸出，控制效果如圖5所示。

圖4 含最小方差控制模塊仿真輸出圖

比較圖4和圖5同樣的y(t)輸出可以看出，圖4的曲線變換范圍大約為[-4.27.2]，圖5的曲線變化約為[-1117]。僅采取對(duì)象和變量的關(guān)系控制的系統(tǒng)振蕩很大，而加入最小方差控制環(huán)節(jié)后系統(tǒng)的穩(wěn)定性明顯的增強(qiáng)。

圖5 缺少最小方差控制仿真輸出圖

由仿真結(jié)果可以看出，本文由原理推導(dǎo)出來的方法應(yīng)用是有效地，具有較快的響應(yīng)速度。隨著自適應(yīng)機(jī)理的建立，改變參數(shù)一般化的最小方差控制系統(tǒng)，顯示出較好的跟隨性；再者，改變輸入方式，可以得出不同的輸出效果，使系統(tǒng)具有相關(guān)領(lǐng)域的兼容性。

4 結(jié)束語

最小方差控制是基于最優(yōu)化原理，即基于某種模型通過使某一目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化而設(shè)計(jì)出所需要的控制作用的控制算法。在本文的敘述，理論分析和仿真結(jié)果都表明了所提出最小方差自校正控制方法是簡單易行且有效的，它在自校正控制器應(yīng)用具有更高的控制精度、更快的響應(yīng)速度、更好的魯棒性，且適用于離散控制對(duì)象。

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