從一道題的錯解說彈簧振子

馮德強 黃 雄

（江陰市南菁高級中學 江蘇 江陰 214400）

1 對原題分析

【原題】如圖1（a）所示，一根輕彈簧左端固定，右端系一物塊，物塊置于摩擦不能忽略的水平面上．現將彈簧壓縮到A點后釋放，物塊運動到B點時速度變為零，O為彈簧處于自然長度時的位置，AB距離為x0．物塊從A到B的過程中，彈簧彈力的大小F，物塊加速度的大小a，物塊速度的大小v，物塊和彈簧組成的系統機械能E隨物塊的位移x變化的圖像可能是圖1（b）中的

圖1

原答案為選項B，C，D．

解析：事實上正確答案只有D．

以彈簧為原長時物塊的位置O為坐標原點，物塊運動軌跡為x軸，向右運動時，物塊在O1處所受合外力為零；向左運動時，物塊在O2處所受合外力為零．當物塊處于O1O2之間的區域時，所受彈力的大小應小于最大靜摩擦力，在此區域物塊一旦速度為零，便永久停止在那里．

現在，物塊由A處靜止釋放向右運動，由于滑動摩擦力應為常量，物塊做簡諧運動，其中心點為O1，設為x＝－x0，如圖2所示（圖像中的箭號表示過程進行方向）．物塊一直運動到最右端B1，這時其速度變為零，B1和A關于O1對稱．

圖2

物塊由B1向左運動時不再是上述的簡諧運動，因為這時摩擦力反向，平衡位置變為O2，其坐標x＝x0，直到運動到左端B2．依此類推，直至速度為零時，物塊落在O1O2之間．由于最大靜摩擦力通常大于滑動摩擦力，所以物塊最后靜止不動時所處的范圍通常大于O1O2．

物塊每次振動過程均為周期相同的簡諧振動的一部分，一個振動過程歷時半個周期；每次單向振動的振幅遞減2x0．物塊加速度與位移的關系圖像如圖2所示．無論物塊最后停在彈簧原長O的左側抑或右側，圖線總關于過O1（O2）的縱軸對稱，故原圖B不成立．

若取平衡位置O1為坐標原點，設物塊在位置x時的速度為v，簡諧運動的振幅為A，則由動能定理得

顯然物塊的速度v和位置坐標x的關系不是線性的，不論坐標原點取在哪里，都不會改變速度與位置坐標兩者的非線性關系，如圖3所示，其中ω2＝．故原圖C不可能成立．

圖3

2 彈簧振子

水平方向的彈簧振子，物體所受回復力與位移成正比．豎直方向的彈簧振子，系統雖受恒力（重力）作用，但仍然是簡諧振動．如果以靜平衡位置為原點，則振動系統如同沒受重力作用的水平方向的彈簧振子．該題雖有摩擦力作用，但單向運動可等效于豎直向的彈簧振子，從全過程看僅是平衡位置不斷變換，振幅不斷減弱，振動周期保持不變．

以下再看雙振子的彈簧振子．

【例1】一輕彈簧兩端固連著兩個小球A和B（圖4），若將小球B固定，測得小球A的振動頻率為fA．若將小球A固定，測得小球B的振動頻率為fB．現將此系統自由地放在光滑水平面上，則此系統的自由振動頻率為多大？

圖4

解析：假如兩小球的距離在初始時刻偏離一下平衡位置，以后不再加外力，那么兩個小球就會振動起來，兩個小球振幅不同（與其質量成反比），以質心為基準，以同頻率做反相的振動．

設兩小球質量分別為mA和mB，引入系統的折合質量μ，令

當mAmB，質心基本上與mA重合，只看到mB在振動，而其折合質量μ→mB，這就回到了一端固定的單振子的情形．

單振子的振動頻率

因此雙振子的振動頻率

3 彈簧振子與碰撞

【例2】如圖5所示，一個彈簧的兩端分別固定著質量為m的物體A和質量為2m的物體B，置于光滑水平面上．水平向左的力F把它們擠在豎直墻邊．撤去F，在相對地面靜止的坐標系中，物體B首先開始運動，后來物體A也開始運動．此后，當A的運動速度達到最大值時

A．彈簧的彈性勢能是零

B．物體A和B的速度相等

C．物體B的速度最小

D．處在彈簧的長度正在縮短的過程中

圖5

解析：撤去F，物體B首先開始運動，彈簧恢復原長時其速度為v，這時A離開豎直墻邊開始運動，以后A，B和彈簧組成雙振子系統．與上述同頻率反相的諧振動不同的是，系統的質心速度不為零

物體A開始運動后，由于系統不受外力作用，質心速度保持不變．以質心為參考系，A，B仍是同頻率反相的諧振動，且在此參考系中，系統的總動量恒等于零，兩物體的速度與質量成反比．據此作出地面參考系下，物體A和B的速度圖像，如圖6所示．從圖像可得到如下的信息：

（1）物體A，B振動周期，由前述（3）式決定；速度的最值由對質心系的零動量確定；以及每一時刻物體A，B在地面參考系中的速度．

（2）系統在某一時刻，彈簧對應的狀態，拉伸或是壓縮，原長、最長還是最短．

這樣容易得到本題的正確答案為A，C，D．

圖6

還可引發碰撞問題的類比思考．如圖6所示，從t＝0到t＝t1，彈簧由原長到最長，如果此刻彈簧鎖定，就相當于兩個相互碰撞的物體，在碰撞后結合在一起，并以一個整體進行運動，動能損失最大，這部分動能轉變為勢能，形變完全不恢復，形成完全非彈性碰撞．從t＝0到t＝t2，彈簧由原長到原長，如果此刻兩物體分離，相當于物體碰撞時儲存的彈性勢能在分離時又全部釋放出來，形成彈性碰撞．實際碰撞應在t1t2之間某時刻鎖定形變，形變部分得到恢復，損失一部分動能．

4 偶極振子與電磁波及光的散射

設有兩個小球質量各為mA，mB，分別帶有相反的等量電荷，之間有一個“虛擬”的彈簧相連，這個系統稱偶極振子，如圖4所示．偶極振子是一個最簡單的發射電磁波的“天線”模型．帶電小球的振動形成頻率f的周期振蕩，f由（1）、（3）式決定．這時便會向空間發射電磁波．

天空為什么是亮的？因為大氣把陽光向四面八方散射；組成大氣的分子中的電子受到強回復力的作用，就有一個確定的固有頻率，這個固有頻率，一般在紫光和紫外線的范圍內．在可見光的驅動下，這些電子做受迫振動，藍光的頻率比紅光的頻率更接近束縛電子的固有頻率，因此藍光的散射更強．所以天空看起來是藍色的．而在清晨或傍晚，陽光穿過較厚的大氣層，一路上那些藍、紫光都被散射了，透射過來的主要是紅光，所以我們才能看到絢麗似火的朝霞或晚霞．

可見，一個簡單的彈簧振子模型，可推廣到不同的題型，應用到不同的領域．