Matlab在中學物理教學中的應用初探

2011-03-20 03:42:04周小奮

物理通報 2011年10期

關鍵詞：程序

周小奮

（鎮江市第四中學江蘇鎮江 212000）

目前，在中學物理教學與研究中常用到Powerpoint，Excel，幾何畫板等輔助教學軟件．這些軟件在教學中體現出直觀性、趣味性、大容量的優點；其中的Excel軟件處理數據更具有快捷、簡易的優點．但對于精度要求較高的作圖或是比較復雜的數據計算，上述軟件就不能滿足需要了．

Matlab是美國Mathworks公司開發的計算及分析軟件．這個軟件具有如下特點：（1）作圖功能強大，能夠準確而科學地反應物理問題的本質．（2）運算功能強大，語句簡潔清晰．目前這個軟件在中學物理教學和研究中應用較少，本文通過實例介紹矩陣實驗室（Matlab）在作圖和求解極值問題中的應用．

1 利用Matlab畫出共線點電荷系統的電場線分布

【例1】如圖1所示為三個點電荷所構成的系統，其中一個點電荷－2q位于坐標原點，一個－q位于（0，a）點，一個＋3q位于（0，－a）點，畫出x Oy平面內的電場線．

圖1

解析：在x Oy平面內，電場強度應滿足

解得

在上式中，常量C取不同數值時將得到不同的電場線方程．如果用常規方法解出y＝f（x）的表達式再去作圖難度很大．用Matlab語言即能輕松地做到這一點．依據上述表達式，編制的Matlab程序如下：

clc；clear； %清除內存

syms x y ； % 定義符號變量x y

for C＝0：0．2：5； % 常數c取0，0．2，0．4，

0．6，…，5．0

h＝ezplot（3＊（y＋1）／sqrt（（y＋1）?2＋2）－2＊y／sqrt（2＋2）－（y－1）／sqrt（（y－1）?2＋2）－C，［－2，2，0．1］）； % 在規定的區間上畫出滿足方程的函數圖像

set（h，′color′，′r′，′LineWidth′，1）%設置電場線的寬度為1，顏色為紅色

title（′＼fontname｛宋體｝＼fontsize｛11｝三個共線電荷周圍的電場線分布′）；%加標題

hold on； %保持已經畫出的電場線

end %循環結束

grid on； %加網格線

運行程序，得出的電場線分布如圖2所示，由于常數C的取值對所畫出的圖像影響較大，而程序中所設定的取值點覆蓋面有限，所以在圖2中有部分區域沒有畫出電場線．

圖2 三個共線電荷周圍的電場線分布

【例2】如圖3所示為兩個點電荷所構成的系統．其中一個點電荷＋q位于（0，a）點，一個＋q位于（0，－a）點．畫出x Oy平面內的電場線．

圖3 兩個點電荷系統

解析：根據例1中三個電荷的電場線方程，可以得到本題中的電場線方程為

根據方程編制的Matlab程序如下：

clc；clear； %清除內存

syms x y ； % 定義符號變量x y

for C＝－3：0．1：3； % 常數c取－3，－2．9，

－2．8，－2．7…，3．0

h＝ezplot（（y＋1）／sqrt（（y＋1）?2＋x?2）＋（y－1）／sqrt（（y－1）?2＋x?2）－C，［－2，2，0．1］）；%畫出滿足方程的函數圖像

set（h，′color′，′r′，′LineWidth′，1）%電場線的寬度為1．

title（′＼fontname｛宋體｝＼fontsize｛11｝兩個正點電荷周圍的電場線分布′）；%加標題

hold on； %保持已經畫出的電場線end %循環結束

運行程序，得出的電場線分布如圖4所示．此時可以發現，有一條電場線位于兩電荷連線的垂直平分線上（對應的C的取值為零）．這與課本上的電場線分布圖（圖5）不同，課本上沒有這一直線，這是什么原因呢？

圖4 兩個正點電荷周圍的電場線分布

在兩個等量正點電荷連線的中點上，場強為零，因此在中點處不能畫出電場線．而該點的鄰域有電場存在，只是越靠近中點場強越弱，所以畫出的電場線將在該中點處中斷，中點可以看作是一個使電場線不連續的奇點．文獻［1］建議，最好不要沿這兩個電荷的中垂線畫電場線，如果一定要畫，那這兩根電場線只能趨近于中點，而不能到達中點．因此，教材中沒有畫入這兩條惹麻煩的電場線，采用了圖5所示的畫法．

圖5 兩個正點電荷周圍的電場線分布

2 利用Matlab的作圖功能求解極值問題

【例3】如圖6所示，一水槍需將水射到離噴口的水平距離為3．0 m的墻外，從噴口算起，墻高為4．0 m．若不計空氣阻力，取g＝10 m／s2，求所需的最小初速及對應的發射仰角．

圖6 水槍噴水高度與水平距離示意圖

解析：水流做斜上拋運動，以噴口O為原點建立如圖6所示的直角坐標，本題的任務就是求出水流能通過點A（d，h）的最小初速度和發射仰角．根據平拋運動的規律，水流的運動方程為

把A點坐標（d，h）代入以上兩式，消去t，得

依據上述表達式，編制的Matlab程序如下：clc；clear； % 清除內存

syms p alpha q； %定義符號變量p alpha q q＝atan（4／3）＊180／pi； %發射仰角的最小值q p＝q：0．01：90； % 發射仰角從q開始每次增加0．01°

alpha＝p＊pi／180； %將發射仰角轉換為弧度v＝3＊（5）?0．5＊（（cos（alpha）．?2）．＊

（3＊tan（alpha）－4））．?（－1／2）；%算出每一個發射角對應的速度

h＝plot（p，v）； % 畫出發射仰角－速度圖像

set（h，′color′，′r′，′LineWidth′，2）%設置圖像曲線為紅色，寬度為2

xlabel（′發射仰角（°）′）； % 橫坐標標簽ylabel（′發射速度（m·s－1）′）； % 縱坐標標簽title（′＼fontname｛宋體｝＼fontsize｛11｝發射速度及對應的發射仰角的關系′）；%加標題

grid on； % 加網格線

圖7 發射速度與發射仰角關系

因為在Matlab的三角函數運算中，只能使用弧度，所以在上述程序中首先要將角度轉化成弧度．運行程序，得出的速度與發射仰角關系如圖7所示（橫坐標為角度，縱坐標為速度）．在圖像上取出的最小速度約為9．487 m／s，對應的發射仰角約為71．6°，和理論計算的結果完全一致．

【例4】如圖8所示，水平地面上的物體m2質量為2 kg，與水平地面右側邊緣間的距離為2 m，m2與水平地面間的動摩擦因數μ＝0．5，繩子末端懸掛著一個質量為1 kg的物體m1，兩個物體之間通過一根繞在滑輪上的輕質細繩相連．滑輪頂端距離地面1 m，滑輪的輪軸之間沒有摩擦．當m2的速度最大時，m2向右移動了多遠？