凹透鏡焦距測(cè)定實(shí)驗(yàn)中的誤差分析

鄧鋰強(qiáng) 方運(yùn)良

（廣東石油化工學(xué)院理學(xué)院 廣東 茂名 525000）

1 引言

透鏡是光學(xué)儀器中最基本的光學(xué)元件，而焦距是透鏡的重要參量之一，透鏡的成像位置及性質(zhì)均與其有關(guān)．在測(cè)量凹透鏡焦距的實(shí)驗(yàn)中，產(chǎn)生誤差的原因有很多，在盡量消除由于光學(xué)元件不同軸及光學(xué)元件之間不平行引起的誤差之外，產(chǎn)生誤差的主要因素就是景深引起的誤差．由于人眼對(duì)成像的清晰度的分辨能力不是很強(qiáng)，像屏在一個(gè)小范圍Δs′內(nèi)移動(dòng)時(shí)，人眼所見的像是同樣清晰的，此范圍為景深．由于凹透鏡成像的景深較大，如果不采取一定的措施，將引起很大的誤差．現(xiàn)分析凹透鏡成像的景深跟哪些因素有關(guān)，可以采取哪些措施減小由此引起的誤差．

2 凹透鏡焦距的測(cè)量

在近光軸的條件下，透鏡置于空氣中，當(dāng)?shù)谝唤咕嗯c第二焦距相等時(shí)，透鏡成像的高斯公式［1］為

式中s′為像距，s為物距，f′為第二焦距，對(duì)薄透鏡，因透鏡的厚度比球面半徑小得多，因此透鏡的兩個(gè)主平面與透鏡的中心可看作是重合，s′，s，f′皆可視為像、物、焦點(diǎn)與透鏡光心的距離．對(duì)于公式（1）中各物理量的符號(hào)，我們規(guī)定：以薄透鏡的光心為原點(diǎn)，與光的傳播方向一致者為正，反之為負(fù)，運(yùn)算時(shí)，已知量需添加符號(hào)，未知量則根據(jù)求得結(jié)果中的符號(hào)判斷其物理意義．對(duì)于凹透鏡，其焦距為負(fù)．由文獻(xiàn)［2］中負(fù)透鏡的成像規(guī)律可知，要使凹透鏡成實(shí)像，要滿足條件0＜s＜f，物為虛物；這時(shí)像的位置0＜s′＜#，像為放大正立實(shí)像．由此可利用輔助透鏡法測(cè)凹透鏡的焦距，光路如圖1［3］所示，物P發(fā)出的光經(jīng)輔助透鏡L1后成實(shí)像于A，把待測(cè)焦距的凹透鏡L插入L1與實(shí)像A之間的適當(dāng)位置，這時(shí)實(shí)像A對(duì)于凹透鏡L而言為虛物A，將像屏向外移，使屏上重新得到清晰的像A′，即虛物A經(jīng)L成一實(shí)像于A′，測(cè)定物距s，像距s′，代入公式（1）即可求出凹透鏡的焦距f′．

圖1 輔助透鏡法測(cè)凹透鏡的焦距

3 凹透鏡焦距測(cè)量的誤差分析

此實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生誤差的原因很多．除了各光學(xué)元件不嚴(yán)格同軸、不平行引起的誤差以及測(cè)量誤差之外，最大的誤差是由于景深的存在而不能準(zhǔn)確判斷實(shí)像的位置而引起的．如圖2所示，虛物點(diǎn)A經(jīng)凹透鏡L成實(shí)像于光軸上A′，理論上講只有像屏放于A′點(diǎn)觀察到的像是清晰的，該位置前后，像屏所成的像不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)光斑，即彌散圓［4］．由于人眼的最小分辨角約為1′，只要分辨角不超過(guò)這個(gè)限度，人眼就不能分辨出真正的像點(diǎn)與彌散圓之間的區(qū)別，因而把彌散圓也認(rèn)為是真正的像點(diǎn)．由文獻(xiàn)［2］可知，視力正常者在光線充足、觀察距離約為25 cm的條件下，人眼的最小可分辨物點(diǎn)間距為0．072 5 mm．雖然人眼的最小分辨角約為1′，但在實(shí)用上人們常取為2′～4′，最小分辨物點(diǎn)間距取0．150～0．300 mm．由于實(shí)驗(yàn)的觀察條件不是太理想，這里取最小分辨物點(diǎn)間距δ＝0．200 mm，把直徑為最小可分辨物點(diǎn)間距δ的彌散圓稱為可容許彌散圓．像屏在點(diǎn)A′左右的一個(gè)小范圍Δs′內(nèi)移動(dòng)時(shí)，只要彌散圓的直徑不超過(guò)可容許彌散圓，人眼所見的像是同樣清晰的，此范圍Δs′為景深．這樣觀察到的像在一段較長(zhǎng)的距離內(nèi)都是清晰的，這就引起了較大的誤差．

如圖2，凹透鏡L的焦距為f2′，d為凹透鏡L的有效光闌，B，C處為可容許彌散圓，δ為最小可分辨物點(diǎn)間距，則景深H為B，C之間的距離．

圖2 凹透鏡虛物成實(shí)像

由相似三角形性質(zhì)可得

由透鏡成像的高斯公式（1）可得

把（3）式代入（2）式可得

由（4）式可見景深 H 是δ，d，s，f′的函數(shù)，δ在一般情況下可以看作常數(shù)，把H分別對(duì)d，s，f′求偏導(dǎo)，可得

考慮到f2′＜0，（s2＋f2′）＜0，s2＞0，d＞0．由上面三個(gè)偏導(dǎo)式可得H是d的單調(diào)減函數(shù)，景深隨凹透鏡L的有效光闌的增大而減小．0，H是s2的單調(diào)增函數(shù)，景深隨虛物物距的增大而增大．是f2′的單調(diào)增函數(shù)，景深隨凹透鏡L的焦距的增大而增大，因f2′＜0，故景深隨凹透鏡L的焦距的絕對(duì)值的增大而減小．

從以上的結(jié)論可知，凹透鏡L成像的景深受到有效光闌d，虛物物距s2，焦距f2′三個(gè)因素的影響．由景深而引起焦距的誤差也受到這三個(gè)因素的影響．由圖3可知，有效光闌d受到凸透鏡成像的影響．下面分析d與凸透鏡成像的關(guān)系，如圖3所示，A是物點(diǎn)P經(jīng)凸透鏡所成的實(shí)像，也是凹透鏡成像的虛物點(diǎn)，D1是凸透鏡的光闌，s1是凸透鏡成像的物距，s1′是凸透鏡成像像距，d是凹透鏡的有效光闌，s2是凹透鏡成像物距，由相似三角形性質(zhì)可得

圖3 凸透鏡實(shí)物成實(shí)像

由透鏡成像的高斯公式（1）可得

把（9）式代入（8）式可得

把（10）式代入（4）式可得

4 結(jié)論

在用輔助透鏡法測(cè)凹透鏡的焦距時(shí)，景深與凸透鏡成像、凹透鏡成像的參數(shù)都有關(guān)．在實(shí)驗(yàn)時(shí)為了使成像較清晰，通常取凸透鏡成像的物距較大，常取s1＝900 mm，凸透鏡焦距為f1′＝190 mm，凹透鏡焦距為f2′＝－60 mm，凸透鏡光闌D1＝30 mm，最小分辨物點(diǎn)間距δ＝0．200 mm，這時(shí)凹透鏡成像的物距取不同值時(shí)的景深如表1所示．

表1 凹透鏡成像景深數(shù)據(jù)

從表1可知，由于輔助透鏡法測(cè)凹透鏡焦距時(shí)的景深較大，在景深范圍內(nèi)觀察像點(diǎn)都是清晰的，很難判斷像點(diǎn)A′，對(duì)測(cè)量像距s2′的影響很大，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生較大的影響，需要想辦法減小景深所產(chǎn)生的誤差．這時(shí)可以采用二次測(cè)量法來(lái)減小誤差，如圖2所示，景深對(duì)于像點(diǎn)A′對(duì)稱，要找出像點(diǎn)A′的像距s2′，只要測(cè)出B，C相對(duì)凹透鏡的距離，取平均值就可得到實(shí)際的像距s2′．實(shí)測(cè)表明，這樣能極大地減小測(cè)量結(jié)果的誤差．

1 周殿清．大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)．武漢：武漢大學(xué)出版社，2002．223～227

2 李良德．基礎(chǔ)光學(xué)．廣州：中山大學(xué)出版社，1987．48～49，257～258

3 張昌莘，王德明，方運(yùn)良．三級(jí)物理實(shí)驗(yàn)教程．北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2010．79～81

4 鄧強(qiáng)．?dāng)z影教學(xué)中景深及其影響因素的分析．湘潭師范學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008，30（4）：90～92