凹透鏡焦距測定實驗中的誤差分析

鄧鋰強 方運良

（廣東石油化工學院理學院 廣東 茂名 525000）

1 引言

透鏡是光學儀器中最基本的光學元件，而焦距是透鏡的重要參量之一，透鏡的成像位置及性質均與其有關．在測量凹透鏡焦距的實驗中，產生誤差的原因有很多，在盡量消除由于光學元件不同軸及光學元件之間不平行引起的誤差之外，產生誤差的主要因素就是景深引起的誤差．由于人眼對成像的清晰度的分辨能力不是很強，像屏在一個小范圍Δs′內移動時，人眼所見的像是同樣清晰的，此范圍為景深．由于凹透鏡成像的景深較大，如果不采取一定的措施，將引起很大的誤差．現分析凹透鏡成像的景深跟哪些因素有關，可以采取哪些措施減小由此引起的誤差．

2 凹透鏡焦距的測量

在近光軸的條件下，透鏡置于空氣中，當第一焦距與第二焦距相等時，透鏡成像的高斯公式［1］為

式中s′為像距，s為物距，f′為第二焦距，對薄透鏡，因透鏡的厚度比球面半徑小得多，因此透鏡的兩個主平面與透鏡的中心可看作是重合，s′，s，f′皆可視為像、物、焦點與透鏡光心的距離．對于公式（1）中各物理量的符號，我們規定：以薄透鏡的光心為原點，與光的傳播方向一致者為正，反之為負，運算時，已知量需添加符號，未知量則根據求得結果中的符號判斷其物理意義．對于凹透鏡，其焦距為負．由文獻［2］中負透鏡的成像規律可知，要使凹透鏡成實像，要滿足條件0＜s＜f，物為虛物；這時像的位置0＜s′＜#，像為放大正立實像．由此可利用輔助透鏡法測凹透鏡的焦距，光路如圖1［3］所示，物P發出的光經輔助透鏡L1后成實像于A，把待測焦距的凹透鏡L插入L1與實像A之間的適當位置，這時實像A對于凹透鏡L而言為虛物A，將像屏向外移，使屏上重新得到清晰的像A′，即虛物A經L成一實像于A′，測定物距s，像距s′，代入公式（1）即可求出凹透鏡的焦距f′．

圖1 輔助透鏡法測凹透鏡的焦距

3 凹透鏡焦距測量的誤差分析

此實驗產生誤差的原因很多．除了各光學元件不嚴格同軸、不平行引起的誤差以及測量誤差之外，最大的誤差是由于景深的存在而不能準確判斷實像的位置而引起的．如圖2所示，虛物點A經凹透鏡L成實像于光軸上A′，理論上講只有像屏放于A′點觀察到的像是清晰的，該位置前后，像屏所成的像不是一個點，而是一個光斑，即彌散圓［4］．由于人眼的最小分辨角約為1′，只要分辨角不超過這個限度，人眼就不能分辨出真正的像點與彌散圓之間的區別，因而把彌散圓也認為是真正的像點．由文獻［2］可知，視力正常者在光線充足、觀察距離約為25 cm的條件下，人眼的最小可分辨物點間距為0．072 5 mm．雖然人眼的最小分辨角約為1′，但在實用上人們常取為2′～4′，最小分辨物點間距取0．150～0．300 mm．由于實驗的觀察條件不是太理想，這里取最小分辨物點間距δ＝0．200 mm，把直徑為最小可分辨物點間距δ的彌散圓稱為可容許彌散圓．像屏在點A′左右的一個小范圍Δs′內移動時，只要彌散圓的直徑不超過可容許彌散圓，人眼所見的像是同樣清晰的，此范圍Δs′為景深．這樣觀察到的像在一段較長的距離內都是清晰的，這就引起了較大的誤差．

如圖2，凹透鏡L的焦距為f2′，d為凹透鏡L的有效光闌，B，C處為可容許彌散圓，δ為最小可分辨物點間距，則景深H為B，C之間的距離．

圖2 凹透鏡虛物成實像

由相似三角形性質可得

由透鏡成像的高斯公式（1）可得

把（3）式代入（2）式可得

由（4）式可見景深 H 是δ，d，s，f′的函數，δ在一般情況下可以看作常數，把H分別對d，s，f′求偏導，可得

考慮到f2′＜0，（s2＋f2′）＜0，s2＞0，d＞0．由上面三個偏導式可得H是d的單調減函數，景深隨凹透鏡L的有效光闌的增大而減小．0，H是s2的單調增函數，景深隨虛物物距的增大而增大．是f2′的單調增函數，景深隨凹透鏡L的焦距的增大而增大，因f2′＜0，故景深隨凹透鏡L的焦距的絕對值的增大而減小．

從以上的結論可知，凹透鏡L成像的景深受到有效光闌d，虛物物距s2，焦距f2′三個因素的影響．由景深而引起焦距的誤差也受到這三個因素的影響．由圖3可知，有效光闌d受到凸透鏡成像的影響．下面分析d與凸透鏡成像的關系，如圖3所示，A是物點P經凸透鏡所成的實像，也是凹透鏡成像的虛物點，D1是凸透鏡的光闌，s1是凸透鏡成像的物距，s1′是凸透鏡成像像距，d是凹透鏡的有效光闌，s2是凹透鏡成像物距，由相似三角形性質可得

圖3 凸透鏡實物成實像

由透鏡成像的高斯公式（1）可得

把（9）式代入（8）式可得

把（10）式代入（4）式可得

4 結論

在用輔助透鏡法測凹透鏡的焦距時，景深與凸透鏡成像、凹透鏡成像的參數都有關．在實驗時為了使成像較清晰，通常取凸透鏡成像的物距較大，常取s1＝900 mm，凸透鏡焦距為f1′＝190 mm，凹透鏡焦距為f2′＝－60 mm，凸透鏡光闌D1＝30 mm，最小分辨物點間距δ＝0．200 mm，這時凹透鏡成像的物距取不同值時的景深如表1所示．

表1 凹透鏡成像景深數據

從表1可知，由于輔助透鏡法測凹透鏡焦距時的景深較大，在景深范圍內觀察像點都是清晰的，很難判斷像點A′，對測量像距s2′的影響很大，對實驗結果產生較大的影響，需要想辦法減小景深所產生的誤差．這時可以采用二次測量法來減小誤差，如圖2所示，景深對于像點A′對稱，要找出像點A′的像距s2′，只要測出B，C相對凹透鏡的距離，取平均值就可得到實際的像距s2′．實測表明，這樣能極大地減小測量結果的誤差．

1 周殿清．大學物理實驗．武漢：武漢大學出版社，2002．223～227

2 李良德．基礎光學．廣州：中山大學出版社，1987．48～49，257～258

3 張昌莘，王德明，方運良．三級物理實驗教程．北京：化學工業出版社，2010．79～81

4 鄧強．攝影教學中景深及其影響因素的分析．湘潭師范學報（自然科學版），2008，30（4）：90～92