妙用微積分知識解決一個物理疑難

李小棣

（安徽省巢湖一中 安徽 巢湖 238000）

現行高中數學課本選修內容中已有了導數與微積分知識．筆者在物理教學和競賽輔導中用微積分知識為學生解決疑難，收到了非常好的效果；同時也使學生認識到數學知識在解決物理問題中的重要作用．本文僅舉兩例說明．

【例1】在光滑的水平面上放著一個上部為半圓形光滑槽的木塊，開始時木塊是靜止的，把一個小球放到槽邊從靜止開始釋放，關于兩個物體的運動情況，下列說法正確的是

A．當小球到達最低點時，木塊有最大速率

B．當小球的速率最大時，木塊有最大速率

C．當小球再次上升到最高點時，木塊的速率為最大

D．當小球再次上升到最高點時，木塊的速率為零

筆者所見的資料中給出的答案都是A，B，D．筆者認為此題的B選項是錯誤的，下面作一推導．

圖1

為簡化起見，可假設小球和木塊質量相等均為m，如圖1．小球下滑至某點B時相對木塊的速度為v2，木塊對地速度為v3，小球對地速度為v1．由系統水平方向動量守恒知小球此時對地水平分速度大小亦為v3，小球與球心連線與豎直方向夾角為θ，由系統機械能守恒得

又由幾何關系易知

聯立（1）、（2）兩式得小球對地速率

將（4）式求導數并令導數為零，即

由此可見在小球和滑塊質量相等時，小球速率最大是下滑至如圖1所示θ≈35．26°位置，原題B選項錯誤．本題中小球下滑至底部時木塊的速率最大，而小球速率不是最大．故此題正確答案應為A，D．

下面一題是筆者在競賽輔導中遇到的，用常規解法十分復雜，學生也容易出錯，筆者用微積分知識給出題解非常簡潔．

【例2】由粗細均勻的同一種電阻絲制成的半徑為R的圓環置于勻強磁場中，磁感應強度為B，方向與環面垂直，并指向紙面內．現以速度v將環以垂直于磁場方向勻速拉出磁場，磁場邊界圖中用虛線表示，v的方向與邊界垂直，如圖2所示．求此過程中環中發熱量為多少．設電阻絲單位長度的電阻值為r0，環電感忽略不計．

解析：設圓環勻速拉出在時間t～t＋d t時間內產生的感應電動勢為E，則此時環切割磁感線的有效長度為，感應電動勢

回路中感應電流

由焦耳定律，利用微積分知識易知以速度v將環以垂直于磁場方向勻速拉出磁場過程中環的發熱量為

圖2

這一結果說明：

（1）若用相同的電阻絲制成的圓環，且B，v相同，則Q∝R2；

（2）若為同一電阻絲圓環，且B相同，則Q∝v．

1 程稼夫．中學奧林匹克競賽物理教程·電磁學篇．合肥：中國科學技術大學出版社，2009．341