牛頓求解第一宇宙速度思想的啟示

竇文浩

（廣州市第二中學 廣東 廣州 510530）

在講解“萬有引力定律”的內容時，計算星球的第一宇宙速度是一個重點．計算的方法通常是由萬有引力提供向心力，根據勻速圓周運動的規律求解．而牛頓在求解星球的第一宇宙速度的時候，用了巧妙的比例和幾何方法，體現了微分的思想；同時，是對“月 －地檢驗”思考的結果．在中學物理教材中，都會提到牛頓的“月－地檢驗”，而在教學中沒有能很好地闡述這一思想的光輝之處．很好地理解牛頓的原始思想，對認識萬有引力以及牛頓第一定律具有很大啟示意義．同時，在求解高中常常涉及的萬有引力習題時，也能開拓新的思路．

1 常規方法求解星體的第一宇宙速度

【例1】求解一質量為M，半徑為R的球形星體的第一宇宙速度．

解析：如圖1所示，設衛星質量為m，繞星球做勻速圓周運動，軌道半徑為r，則有

解得

圖1

根據第一宇宙速度的意義知，v應當是衛星繞球形星體做勻速圓周運動剛好不落地時的速度，則r＝R，于是

2 牛頓的思想求解第一宇宙速度［1］

【例2】在地球上，一個物體做平拋運動時，至少需要多大的初速度才不會落回地面？

解析：首先要假定地球是一個半徑為R的球體，如圖2．假設在A點平拋一物體，平拋運動豎直方向的分運動是自由落體運動．當水平方向位移為x，即半個弦長DB，而豎直方向恰好下落s，即AD高度；平拋的物體恰好不碰到地面，此平拋的初速度即為第一宇宙速度．如下求解此速度．

圖2

取1 s的時間，則物體的運動即為嚴格的平拋運動，而各數量關系依然如圖2所示，則由幾何關系知△ADB∽ △BDC ，故有

在地球表面，1 s內物體自由下落的高度約為5 m，即s＝5 m；2R是地球的直徑，遠遠大于s，故

所以

所以平拋的初速度（即第一宇宙速度）

牛頓利用其發現的“牛頓第一運動定律”推斷，若月球不受外力，則其將沿軌道的切線運動下去，而它卻下落了（只是沒有落到地球上），軌跡是一段圓弧，類似平拋的軌跡．那么反過來，在地球上一物體的平拋，如果速度恰當（足夠大），則其軌跡將如月球的軌跡一樣，是一個圓，這個恰當的速度就是第一宇宙速度．這就是牛頓“月－地檢驗”的思考．上述的解題步驟正是依據這一思想．當然，在1 s內月球“下落”的高度與地球表面平拋物體“下落”的高度是不同的，但成比例，比例關系正是滿足牛頓所總結出的平方反比定律．

點評：

（1）牛頓的方法看似比常規方法復雜，卻體現了最一般的推理過程：利用牛頓第一定律，揭示了圓周運動所蘊涵的力的作用特點—— 指向有心力的力心．

（2）在計算的處理中，利用微分近似代替的思想，將看似兩種不同的運動即平拋運動與圓周運動統一起來，化曲為直．同時，略去無窮小量，體現了微分近似代替思想的精髓．

（3）用最簡單的規律，加上巧妙的數學處理手段，是物理競賽中常常應用的方法，正是物理所要培養的思維品質．

3 牛頓的方法在常規教學中的體現

3． 1 平拋運動的實質

如圖3［2］所示，從地球上某一高塔處平拋一小球，初速度分別為v1，v2，v3和v4，則其運動的軌跡分別為1，2，3和4；這些軌跡都是以地球的質心為一個焦點的橢圓．

（1）軌跡1，2是假定地球物質全部集中在質心處時才可能的軌跡．實際情況中，拋體不可能完整地進行這一橢圓運動，這一軌跡與地球表面的交點就是落地點．可見，物體平拋運動的軌跡實質上是此橢圓軌跡的一部分．

圖3

（2）軌跡3是一個圓軌跡，可以看做是兩焦點重合的一個橢圓，它是軌跡2向軌跡4過渡時即地球質心作為下焦點向作為上焦點過渡時，焦點在地球質心重合的情況．塔高相比地球的尺度，是可以忽略的，故軌跡3的半徑就是地球半徑，v3就是第一宇宙速度．

3． 2 牛頓思想的應用

【例3】如圖4所示，兩顆地球衛星運行軌道分別為1和2，兩軌道在P點相切，則在切點處，1號衛星和2號衛星的速度大小關系如何？

圖4

圖5

解析：可以把P點附近的軌跡放大，如圖5所示．根據牛頓的思想，則圖5所示的兩條軌跡即為兩平拋運動的軌跡（當然，這里的重力加速度g不再是地球表面的值）．那么，根據平拋運動的規律，在同一高度拋出的兩物體，初速度越大的，水平射程越大；可以得知，在P點2號衛星的速度大于1號衛星的速度．

1 （美）費恩曼．費恩曼物理學講義（第一卷）．上海：上海科學技術出版社，2005．70

2 （美）休D·楊，羅杰 A·費里德曼．西爾斯物理學（上冊）．北京：機械工業出版社，2008．367