求變截面梁位移方法的研究

賈建國(guó),李長(zhǎng)輝,武振亞

(1.中鐵六局集團(tuán)天津鐵路建設(shè)有限公司,天津300232;2.天津大學(xué),天津300072)

在求解梁的位移時(shí),對(duì)于抗彎剛度EI為常量的等直梁,求解的方法很多,而對(duì)于變截面梁國(guó)內(nèi)外的文獻(xiàn)研究很少。本文提出了求變截面梁位移的單位力法、積分法、最小勢(shì)能原理法,這對(duì)于實(shí)際工程應(yīng)用以及理論研究都具有很好的參考價(jià)值。

1 求變截面梁位移的方法

1.1 單位力法求位移

式中1—廣義力;△—與廣義力相對(duì)應(yīng)的廣義位移;M0(x),M(x)—單位力及荷載作用下引起的任意x截面的彎矩。

1.2 積分法求位移

在用積分法求梁的撓曲線方程時(shí),所有的材料力學(xué)教材中闡述的均為抗彎剛度EI為常量的等直梁。但是,在實(shí)際工程中往往遇到變截面梁,即EI(x)為變量的梁。下面給出求解變截面梁撓曲線方程的一般方法。對(duì)于變截面梁,撓曲線近似微分方程為EI(x)=M(x)因此

對(duì)式(2)連續(xù)積分二次,可得到變截面梁撓曲線方程的一般表達(dá)式y(tǒng)(x)

依據(jù)上式,就可以求出變截面梁任一截面的撓度和轉(zhuǎn)角,從而可進(jìn)行梁的剛度校核。由上述變截面梁的撓曲線方程的求解過(guò)程可見(jiàn)與等直梁類似,只不過(guò)任一截面對(duì)中性軸的慣性矩I(x)是個(gè)變量,積分時(shí)比等直梁復(fù)雜。

1.3 最小勢(shì)能原理求位移

變截面梁的總勢(shì)能為

式中U—變截面梁的應(yīng)變能;W—變截面梁上的荷載所做的功;Π—Cm的函數(shù),(m=1,2,3,…,n)。

根據(jù)最小勢(shì)能原理有

變截面梁在荷載作用下?lián)锨€方程可預(yù)先定為y(x)

y(x)必須滿足變截面梁的位移邊界條件,當(dāng)同時(shí)滿足力的邊界條件時(shí),求出的臨界力就逼近精確解。將式(6)代入式(5),將給出Cm的m個(gè)線性代數(shù)方程,這樣,就可以求出C1,C2,C3,…,Cn,從而得到y(tǒng)(x)的表達(dá)式。n值越大,y(x)的值就越接近于精確解。

變截面梁的應(yīng)變能U的計(jì)算公式為

U的計(jì)算與等截面梁不同的I(x)是個(gè)變量,求解較復(fù)雜。

2 算例

如圖1所示的變截面懸臂梁,在自由端受到外力偶矩m作用,試分別用單位力法、積分法求該梁自由端的撓度。

2.1 單位力法求圖1梁的撓度

這就是其精確解。

2.2 積分法求圖1梁的撓度

2.3 最小勢(shì)能原理求圖2梁的撓度

設(shè)y(x)=C2x2,在邊界上滿足變截面梁的位移邊界條件,由所假設(shè)的位移函數(shù),按下式可求出該變截面梁的總勢(shì)能為

為了提高計(jì)算精度,設(shè)y(x)=C2x2+C3x3,在邊界上滿足變截面梁的位移邊界條件,將y(x)對(duì)x求二階導(dǎo)數(shù)代入Π的計(jì)算公式進(jìn)行運(yùn)算,得該變截面梁的總勢(shì)能為

由(11)、(12)兩式解得

所以,該變截面梁的撓曲線方程為

利用式(13)求解就比利用式(10)求解更接近精確解。

當(dāng)h1=2h0,x=l時(shí),由式(13)求得變截面梁自由端的撓度為

3 結(jié)論

本文所給出的單位力法、積分法、最小勢(shì)能原理法,都是求解變截面梁很好的方法,其中單位力法、積分法為精確的方法,最小勢(shì)能原理法為近似方法。單位力法可以很快求出變截面梁的某個(gè)截面的撓度和轉(zhuǎn)角的精確解;積分法可以求出變截面梁精確的撓曲線方程,根據(jù)撓曲線方程可求出任一截面的撓度和轉(zhuǎn)角的精確解,對(duì)理論研究很有意義。

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