直達滑模控制

姜玉憲 周尹強 趙 霞

(北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院,北京 100191)

直達滑模控制

姜玉憲 周尹強 趙 霞

(北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院,北京 100191)

用傳統到達條件綜合而成的滑模控制系統不能保證所有出發于滑動模態鄰域的相軌線都能直接到達鄰近的滑動模態分支,導致狀態轉移過程超調,這對于某些控制工程是不允許的.為使滑模控制過程單向收斂,提出了直達滑模控制方法.通過對傳統到達條件表述中的不足的分析,介紹了直達函數的定義和直達條件的建立.直達條件是用直達滑模控制法綜合滑模控制系統的依據.直達滑模控制系統由指令模態及開關型直達滑模控制組成.與傳統到達條件不同,滿足直達條件的控制,可保證所有出發于滑動模態鄰域的相軌線都能直接到達鄰近的滑動模態分支,沿滑動模態趨向零態,狀態轉移過程快速而無超調.將直達滑模控制應用于示例系統并進行仿真,仿真結果符合對直達滑模控制性能的預期.

滑模控制;到達條件;直達條件

滑模控制具有許多優點,也存在一些問題,例如滑模控制過程的非單向收斂性(或稱之為超調).這對于某些控制工程是不允許的,例如飛機著陸、航天器對接、機器人裝配等.現有研究認為,產生這一現象的原因有:①到達條件太簡單,僅僅一個到達條件可能導致到達過程的正常運動段歷時很長、超調量很大等不良品質[1],因而提出了“趨近律”的概念[1-2];②開關型滑模控制不連續,改進措施是把控制改為連續-開關混合型控制[3-4].此類研究收到了一定的效果,但未找到真正原因.滑模吸引區的研究與滑模非單向收斂有關,卻未發現滑模非單向收斂與到達條件表述之間的聯系[5-7].

經研究發現,滑模控制過程非單向收斂的產生是由于傳統到達條件所選擇的控制不能保證出發于滑動模態鄰域的相軌線都能直接到達滑動模態的鄰近分支,而是有的先離開鄰近的分支、反向繞到另一個分支而后到達.此現象稱之為繞達,繞達必然導致超調的出現.本文對繞達現象的成因進行了分析.由于直達無超調,是研究滑模控制系統綜合所期望達到的目標之一.實現直達滑模控制的首要任務是建立直達條件.以直達條件為依據綜合滑模控制系統的方法叫直達滑模控制.本文介紹了直達條件的建立、直達滑模控制方法和仿真結果.

1 相軌線的直達和繞達

滑模控制問題的被控對象是

其中 x∈ Rn,其初值為 x(0)=x0,A∈ Rn×n,B∈Rn×m,u∈Rm是非連續且無界(依據需要任意界定)控制.滑模控制由 2部分組成,即滑動模態 s和控制 u.

1.1 滑動模態

通常 s是狀態變量線性組合而成的函數等式:

式中,σ(x)為切換函數;C∈ Rm×n為 σ(x)的線性組合系數.式(2)給定后,C為常數.如滑模控制中被控對象為

假定期望的系統鎮定動態過程是指數衰減的,則對應的 s是

依據 x(t)的漸近穩定性要求,c1的允許取值范圍是:0≤c1＜∞.式(4)所限定的 x1和 x2的取值范圍稱為 s的存在區域,記作 Ω.根據x1可能變化的范圍(例如:-2＜x1＜2)和對系統動態過程的要求,若指定 c1=0.5,則系統式(3)的 s定義為

它是 s的存在區域 Ω中斜對稱于零點的兩條線段sP和 sN,如圖 1所示.圖中 ΩNH為 s的鄰域.

1.2 直達與繞達

u將 x從 x0拉到 s上的途徑有兩條:x10＞0將 x拉到 sP上,或 x10＜0將 x拉到 sN上,為直達;x10＞0將 x拉到了 sN上,或 x10＜0將 x拉到了 sP上,則為繞達.雖然它們都到達了 s,但動態過程x1(t)不同,直達過程中 x1(t)單向收斂無超調,繞達過程中 x1(t)有超調.直達還是繞達,取決于 u的選擇方法.圖 2為直達和繞達的相軌跡示意圖.

圖1 s的存在域和鄰

圖2 直達和繞達的相軌跡示意圖

1.3 傳統到達條件下的滑模控制

依據傳統到達條件:

選擇u,在C為常數的前提條件下,有σ·(x)=Cx·,將式(1)中的x·代入得σ·(x)=CA(x)+CB(x)u.假定(CB(x))-1存在,開關型滑模控制u為

其中,U滿足(CB(x))-1CA(x)?U的要求,sgn x為符號函數.

由式(7)的 u與式(1)形成了閉環滑模控制系統.

u與式(3)形成閉環滑模控制系統.

2 滑模控制的直達和繞達雙重性

對于用傳統到達條件綜合出來的開關型滑模控制系統,從 s鄰域中 x0出發的相軌線存在著直達和繞達 s的兩種可能性,以下將復現這種現象并分析其產生的原因.

2.1 s的鄰域

到達條件:

滿足式(9)的 x0所在子空間叫 s的鄰域,記作ΩNH.對式(3)系統,到達條件的有關公式為

因此,符合式(9)要求的 x0為 -2＜x10＜2,-1＜x20＜1,如圖 1中的 ΩNH.

2.2 滑模控制系統的直達和繞達現象

表 1是式(3)系統 ΩNH中符合式(9)要求的 4個 x0及其對應的

表 1 s鄰域的 x0及其到達條件

雖然它們都符合式(9)的要求,但它們的動態過程仿真結果卻不同,其中 1,2,3為直達,而 4為繞達,如圖 3所示.

圖3 滑模控制的直達和繞達現象

2.3 繞達原因的分析

滑模控制 u(式(7))是依據到達條件式(6)選擇出來的.式(6)中,σ(x)＞0,σ(x)＜0,這意味著 x必不在 s上,因而 xj+1與 xj之間的比值就不應仍然保持為常數 Cij,應該是一個變量,例如表示為 dij.dij是隨 x的變化而變化的,如示例系統中 1,2,3,4號 x0,其對應 d的值分別為 -4.5,-0.6,0.6,4.5,可見它們的值不是固定的 d=0.5,而是各不相同.而到達條件中的 σ·(x)的表達式卻是σ·(x)=Cx·.不言而喻,該式等于把x的變化限制在了 s上,因為只有在 s上,xj+1與 xj之間的比值才是 Cij.所以傳統滑模控制的到達條件的表述有誤,致使滑模控制綜合的結果錯誤,這是造成繞達現象的真正原因.

3 滑模控制的直達條件

滑模控制直達條件是選擇開關型滑模控制的準則,按這種準則選擇出來的控制,可使從 s鄰域內 x0出發的相軌線直接到達其鄰近的 s,相應的狀態轉移過程快速而無超調.

3.1 直達函數

定義 σd(x)=dx為直達函數,其中 d∈Rm×n是直達函數的狀態變量之間的線性組合系數,每個組合系數表示為

其中,din=1.當 x的變化使得 d→C時,則有σd(x)→σ(x)=0.如果 d→C的過程中 d是單調變化的,則 σd(x)對于 s是直達的.

3.2 直達條件

容易證明,從 x0出發的相軌線到達 s的過程中,若不等式:

總是成立的(即存在改變的可能性),則該相軌線對于 s是直達的.對于式(3)所示系統,有 m=1,n=2,代入式(10)和式(11)分別得

直達條件是

其中,Δd＞0和 Δd＜0稱為切換條件.它與傳統滑模控制的切換函數中的 σ(x)＞0和 σ(x)＜0不等價.前者是 σd(x)繞相空間原點的正反方向旋轉,后者是 σ(x)相對 σ(x)=0的平移.

4 直達滑模控制

直達滑模控制由指令運動模態及開關型直達滑模控制組成.

4.1 指令模態

指令模態 sc的形式多種多樣,漸近穩定(或穩定)是它們共同的屬性,等式 σc(x)=Cx=0是其中的一種.sc的動態品質完全取決于 C.

4.2 開關型直達滑模控制設計與仿真

滿足不等式(11)的開關型控制 u,可將出發于 ΩNH的相軌線直接引導到 sc,并在 sc上趨向原點,稱為開關型直達滑模控制 uDR.對式(3)所示系統,滿足直達條件式(12)的控制是

將 1,2,3,4號 x0的相關參數代入式(13),分別計算 Δd=d-C及滿足直達條件的控制 uDR,列于表2.

表 2 滿足直達條件的控制uDR

表 2中數據表明,不同的 x0,uDR不同.如果選擇開關型滑模控制:

其中,UDR幅值滿足條件

則 uDR可以使所有出發于以上 x0的相軌線直達sc.例如,對于式(3)所示系統取 UDR=3.2,則對于從 1,2,3,4號 x0出發的相軌線都可以直達 sc.

用式(13)檢查到達條件開關型滑模控制的直達性.由于到達條件開關型滑模控制式(8)的U=0.5,而 4號 x0的 uDR＞3.15,4號相軌線不應該是直達的.而 1,2,3號 x0的 uDR都滿足不等式-0.5＜uDR＜0.5,它們的相軌線當然都是直達的,這與相軌線的仿真結果一致.

把式(3)和式(14)合并在一起,對應1,2,3,4號 x0,x1(t)的仿真結果如圖 4所示,可看出所有x1(t)均單向收斂.

圖4 直達滑模控制的動態過程

5 結束語

綜上所述,導致滑模控制過程非單向收斂的原因是傳統滑模控制到達條件表述不準確,致使對滑動模態的鄰域界定有誤.開關型直達滑模控制方法的核心組成是指令模態及開關型直達滑模控制,后者是通過指令模態的直達條件獲取的.對于控制有界的直達滑模控制,需要界定滿足直達條件的初始狀態子空間.采用上述方法設計直達滑模控制系統,可保證滑模控制過程的單向收斂.

References)

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[2]Gao Weibing,Hung J C.Variable structure control of nonlinear system:a new approach[J].IEEE Transactions on Industrial electronics,1993,40(1):45-55

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[5]Kuo K S,Shang Ruchen.Estimation of asymptotic stability region and sliding domain of uncertain variable structure systems with bounded controllers[J].Automatica,1996,32(5):797-800

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[7]李文林.一種新的滑動模態到達條件[J].控制與決策,1995,10(4):322-326 Li Wenlin.A new reaching condition of sliding mode[J].Control and Decision,1995,10(4):322-326(in Chinese)

(編 輯:趙海容)

Direct reaching sliding mode control

Jiang Yuxian Zhou Yinqiang Zhao Xia

(School of Automation Science and Electrical Engineering,Beijing University of Aeronautics and Astronautics,Beijing 100191,China)

Sliding mode control(SMC)system synthesized by traditional reaching condition can not grantee all phase trajectories from the neighborhood of the sliding mode to direct reach the nearby sliding mode branch.It will cause the state transition to be slow and overshooting which are not allowed in some engineering.In order to make the dynamic procedure of a SMC system unidirectional convergent,the direct-reaching SMC(DRSMC)was presented.By analyzing the shortcomings in the expression of traditional reaching condition,the definition of direct-reaching function and the establishment of direct-reaching condition were introduced.Direct-reaching condition(DRC)is the basis of using DRSMC to synthesizea SMC system.ADRSMC system is composed ofa command mode model and an on-off type DRSMC model.Different from the traditional reaching condition,the control which satisfies the DRC can guarantee all phase trajectories from the neighborhood of sliding mode to direct reach the nearby branch of the sliding mode and then go to zero state.Therefore the state transition process will be fast and monotonous.The DRSMC was applied to an example system and was simulated.The simulation resultaccords with the performance expectation of DRSMC.

sliding mode control;reaching condition;direct-reaching condition

TP 273

A

1001-5965(2011)02-0132-04

2009-11-27

姜玉憲(1937-),男,山東東阿人,教授,Jiangyuxian@buaa.edu.cn.