考慮P－Δ效應(yīng)的彈塑性反應(yīng)譜歸一化

蔡志恒，童根樹(shù)

(浙江大學(xué)土木工程系，310058杭州，czh1984@139.com)

結(jié)構(gòu)在遭遇達(dá)到設(shè)防烈度的地震作用下，能經(jīng)受一定程度的塑性變形，對(duì)結(jié)構(gòu)的安全并沒(méi)有不利的影響.因此，現(xiàn)有的抗震規(guī)范，都允許結(jié)構(gòu)在遭受本地區(qū)抗震設(shè)防烈度的地震影響時(shí)進(jìn)入塑性階段.但非線性分析較為復(fù)雜和耗時(shí)，此時(shí)，對(duì)簡(jiǎn)化的彈塑性地震力計(jì)算便出現(xiàn)了2種研究方向:間接法和直接法.間接法是通過(guò)對(duì)彈性地震力折減來(lái)獲得彈塑性地震力;直接法是建立與彈性反應(yīng)譜類似的彈塑性動(dòng)力放大系數(shù)譜βμ譜，彈塑性地震力可以利用公式Fμ=kβμG直接獲得，其中k為地震區(qū)域系數(shù)，G為結(jié)構(gòu)質(zhì)量.已有研究［1－5］表明:震中距和震級(jí)對(duì)強(qiáng)度折減系數(shù)R影響較小，而場(chǎng)地條件、阻尼比、滯回模型對(duì)R存在著不可忽視的影響.文獻(xiàn)［6］首次用特征周期TgR對(duì)R譜進(jìn)行歸一化處理，很好地保留了R譜的峰值特性.文獻(xiàn)［7－8］對(duì)特征周期作了進(jìn)一步研究，分析了修正克拉夫模型和雙折線模型的R譜.在大震作用下，結(jié)構(gòu)的塑性變形將比彈性極限變形大好幾倍，此時(shí)結(jié)構(gòu)受重力二階效應(yīng)的影響將變得尤為明顯，因此，折減系數(shù)R和彈塑性動(dòng)力放大系數(shù)β都應(yīng)考慮二階效應(yīng)的影響.文獻(xiàn)［9］建議在設(shè)計(jì)中采用強(qiáng)度需求放大系數(shù)α=1/(1－μθ)，以考慮P－Δ效應(yīng)的影響，并被1977年的墨西哥抗震規(guī)范采用;而我國(guó)的建筑工程抗震性態(tài)設(shè)計(jì)通則［10］給出的樓層剪力放大系數(shù)則為α= 1/(1－θ);二者存在巨大的差異.文獻(xiàn)［11－12］的研究也認(rèn)為應(yīng)該考慮P－Δ效應(yīng)的影響.由于2個(gè)特征周期Tga(彈性動(dòng)力放大系譜峰值對(duì)應(yīng)周期)和TgR(R譜峰值對(duì)應(yīng)周期)并不一致，本文基于EPP滯回模型，進(jìn)一步研究2個(gè)周期標(biāo)準(zhǔn)化的R譜和β譜，同時(shí)考慮二階效應(yīng)的影響.

1 分析方法

對(duì)單自由體系，由底部彎矩動(dòng)力平衡得

式(1)等價(jià)為

式中:m為系統(tǒng)質(zhì)量;x為系統(tǒng)相對(duì)位移;F(kt，x，˙x)為結(jié)構(gòu)恢復(fù)力;c為系統(tǒng)阻尼;kt為切線剛度; K0為初始彈性剛度;ag為地震加速度;θ為二階效應(yīng)系數(shù)，θ=P/hK0.

2 地震力折減系數(shù)

2.1 不考慮P－Δ效應(yīng)的地震力折減系數(shù)

采用EPP滯回模型，各類場(chǎng)地條件下，ξ= 0.05時(shí)的R平均譜(即具有50%保證率的R譜)見(jiàn)圖1(a)、1(b).橫軸周期經(jīng)過(guò)2個(gè)特征周期Tga與TgR的標(biāo)準(zhǔn)化后，很好地保留了R譜在Tga與TgR附近的峰值特性.而且，不同場(chǎng)地情況下的R譜形狀與數(shù)值都比較接近，主要是由于橫軸已經(jīng)包含了與場(chǎng)地類別相關(guān)的特征周期.R變化規(guī)律也相仿:當(dāng)T接近于0時(shí)，R都趨近于1;T＜Tga時(shí)，R基本隨T線性增加;Tga＜T＜TgR時(shí)，R大致先降后升;Tga＜T＜2TgR時(shí)，R逐漸下降;當(dāng)T＞2TgR時(shí)，R趨近于μ，滿足等位移準(zhǔn)則.

2.2 考慮P－Δ效應(yīng)的地震力折減系數(shù)

二階效應(yīng)系數(shù)θ=0.05時(shí)的地震力調(diào)整系數(shù)平均譜見(jiàn)圖1(c)、1(d)，考慮二階效應(yīng)系數(shù)后，對(duì)比圖1(a)、1(b)可見(jiàn):1)地震力調(diào)整系數(shù)下降.由于P－Δ效應(yīng)，結(jié)構(gòu)容易出現(xiàn)偏振現(xiàn)象，位移增大，意味著在相同調(diào)整系數(shù)情況下，延性需求增大，為了獲得與不考慮二階效應(yīng)時(shí)相同的延性需求，必須減小調(diào)整系數(shù)，以減小位移;2)地震力調(diào)整系數(shù)依然在Tga與TgR處呈現(xiàn)峰值;3)整體的變化趨勢(shì)有略微的改變，隨周期延長(zhǎng)和延性增大調(diào)整系數(shù)有增大現(xiàn)象.

3 動(dòng)力失穩(wěn)

圖1 周期標(biāo)準(zhǔn)化的R譜

考慮P－Δ效應(yīng)后，當(dāng)折減系數(shù)過(guò)大時(shí)，結(jié)構(gòu)容易發(fā)生動(dòng)力失穩(wěn)，其本質(zhì)在于位移過(guò)大，因此定義如下動(dòng)力失穩(wěn)參數(shù):Δmax1為不考慮二階效應(yīng)的彈塑性最大位移，μ1為延性開(kāi)展系數(shù);Δmax2為考慮二階效應(yīng)時(shí)的彈塑性最大位移，μ2為延性開(kāi)展系數(shù).當(dāng)Δmax2≤Δmax1/(1－μ1θ)=Δlim時(shí)，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)反應(yīng)是穩(wěn)定的;當(dāng)Δlim＜Δmax2≤2Δlim時(shí)，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)反應(yīng)是半穩(wěn)定的;當(dāng)Δmax2＞2Δlim時(shí)，結(jié)構(gòu)容易發(fā)生動(dòng)力失穩(wěn)，是不穩(wěn)定的.

4 動(dòng)力放大系數(shù)

4.1 不考慮P－Δ效應(yīng)時(shí)的動(dòng)力放大系數(shù)譜

圖2為A類場(chǎng)地，θ=0、ξ=0.05時(shí)，不考慮P－Δ效應(yīng)時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)化的動(dòng)力放大系數(shù)平均譜，可見(jiàn)，彈性狀態(tài)(μ=1)時(shí)在Tga與TgR附近，較好地保留了峰值特性，尤其是Tga處，峰值最為明顯，但隨著延性系數(shù)μ的增加，峰值越來(lái)越不明顯，也可以從這里解釋折減系數(shù)譜中峰值特性的來(lái)源:結(jié)構(gòu)保持彈性狀態(tài)(μ=1)時(shí)，在2個(gè)特征周期處發(fā)生共振，反應(yīng)劇烈，隨著延性增加，塑性耗能增大，共振反應(yīng)趨于平緩，延性越大，耗能越大，動(dòng)力放大系數(shù)譜越平緩，而折減系數(shù) Rμ=Fe/Fu= βe/βμ，此時(shí)就可以保留彈性譜的峰值特性，延性越大，峰值特性越明顯.

圖2 周期標(biāo)準(zhǔn)化的β譜

4.2 考慮P－Δ效應(yīng)時(shí)的動(dòng)力放大系數(shù)譜

考慮P－Δ效應(yīng)后的彈性動(dòng)力放大系數(shù)平均譜見(jiàn)圖3(a)、3(b)，二階效應(yīng)系數(shù)對(duì)其影響主要集中在T＜Tga時(shí)，二階效應(yīng)系數(shù)越大，動(dòng)力放大系數(shù)β越大;而當(dāng)T＞Tga后，二階效應(yīng)的影響開(kāi)始變得不明顯，尤其是當(dāng)T＞TgR時(shí)，幾乎沒(méi)有差異.但從圖3(c)、3(d)中可以發(fā)現(xiàn)，在延性系數(shù)μ=6時(shí)，無(wú)論是T＜Tga或是T＞Tga，動(dòng)力反應(yīng)平均譜受二階效應(yīng)的影響都非常明顯，二階效應(yīng)系數(shù)越大，動(dòng)力放大系數(shù)β也越大，這是由于允許結(jié)構(gòu)發(fā)生塑性變形后，其位移增大，那么二階效應(yīng)的影響肯定增大.在彈性動(dòng)力反應(yīng)譜及μ=6的動(dòng)力反應(yīng)譜中，Tga附近的峰值特征都很明顯，只是延性增大后，TgR處的峰值特性逐漸消失.

圖3 不同二階效應(yīng)系數(shù)時(shí)的β譜

4.3 動(dòng)力放大系數(shù)擬合譜

由以上分析可知，不同二階效應(yīng)系數(shù)及不同延性系數(shù)時(shí)的動(dòng)力放大系數(shù)是不一樣的，兩者都對(duì)動(dòng)力放大系數(shù)產(chǎn)生顯著影響，擬合關(guān)系為

1)平均譜參數(shù)的取值.T=Tga時(shí)，βTga=1 +2μθ);T = T時(shí)，β=gRTgR1+3(μ－1)θ］;κa在A、B、C、D類場(chǎng)地分別為0.62、0.62、0.59、0.59;κR在A、B、C、D類場(chǎng)地分別為 0.575、0.505、0.605、0.725;p= 0.12μ+0.67，q=0.28μ－0.97－1.6(μ－1)θ(A類場(chǎng)地);p=0.10μ+1.15，q=0.26μ－0.76－(μ－1)θ(B、C、D類場(chǎng)地);m=0.3(TgRT)/(TgR－Tga)+0.2－0.1μ.

2)90%保證率譜的取值.T=Tga時(shí)，βTga=(1 +2μθ);T = T時(shí)，β=gRTgR+3(μ－1)θ］;κa在A、B、C、D類場(chǎng)地分別為0.52、0.52、0.52、0.485;κR在A、B、C、D類場(chǎng)地分別為 1.07、0.80、0.98、1.03;p = 0.10μ+0.38，q=0.20μ－1.00－(μ－1)θ(A類場(chǎng)地);p=0.16μ+0.74，q=0.60μ－1.20－2(μ－1)θ(B、C、D類場(chǎng)地);m =0.3(TgRT)/(TgR－Tga)+0.2－0.1μ.

4.4 阻尼比對(duì)動(dòng)力放大系數(shù)的影響

為了反映阻尼比對(duì)動(dòng)力放大系數(shù)的影響，本文引入?yún)?shù)η=βξ≠0.05/β，因此獲得阻尼比ξ= 0.05的動(dòng)力放大系數(shù)后，可以利用η對(duì)其調(diào)整來(lái)獲得不同阻尼比時(shí)的動(dòng)力放大系數(shù).圖4為不同場(chǎng)地類別、不同二階效應(yīng)系數(shù)、不同阻尼比時(shí)的η值，從圖中可以得到:1)彈性狀態(tài)下的η較塑性時(shí)大，此時(shí)在Tga與TgR處也呈現(xiàn)峰值;2)彈性狀態(tài)時(shí)的η基本不受二階效應(yīng)系數(shù)影響，而塑性時(shí)的η隨著二階效應(yīng)系數(shù)增大而增大;3)場(chǎng)地類別對(duì)η影響不大.

圖4 不同條件的η譜

5 結(jié)論

1)對(duì)理想彈塑性(EPP)滯回模型的單自由度體系在4類場(chǎng)地，370條地震波下的地震響應(yīng)進(jìn)行分析，研究彈塑性地震力計(jì)算中所需的折減系數(shù)R和動(dòng)力放大系數(shù)β，考慮了延性、阻尼比和二階效應(yīng)的影響.結(jié)果表明:周期用Tga與TgR標(biāo)準(zhǔn)化的R譜能很好地保留Tga與TgR附近的峰值特征;P－Δ效應(yīng)對(duì)R影響非常明顯，考慮P－Δ效應(yīng)的R值要明顯小于不考慮P－Δ效應(yīng)的R值，在抗震設(shè)計(jì)中不容忽視.

2)提出了判斷EPP彈塑性體系動(dòng)力穩(wěn)定、半穩(wěn)定和動(dòng)力不穩(wěn)定的標(biāo)準(zhǔn).用所建立彈塑性動(dòng)力放大系數(shù)譜β譜來(lái)計(jì)算彈塑性地震力，要比采用R來(lái)對(duì)彈性地震力折減的結(jié)果更加理想.

3)給出了考慮二階效應(yīng)的50%保證率和90%保證率β譜的擬合公式.從公式可以看出，P－Δ效應(yīng)大致使地震力增大到1+2μθ倍，近似于1/(1－2μθ).

4)阻尼比對(duì)β的影響，與場(chǎng)地類別關(guān)系不大.對(duì)βe譜的影響與二階效應(yīng)系數(shù)無(wú)關(guān)，隨阻尼比增大，βe值減小;對(duì)βμ的影響與延性無(wú)關(guān)，隨二階效應(yīng)系數(shù)增大，影響增強(qiáng).阻尼比對(duì)βe的影響要大于對(duì)βμ的影響，但隨著二階系數(shù)的增大，對(duì)兩者的影響趨近.

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