中小口徑次鏡支撐結構的動力學性能分析

賈慶蓮，鄧文淵

（中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，長春 130033）

在現代望遠鏡系統中，卡塞格林系統由于在主鏡和次鏡之間沒有中間像，具有結構緊湊、尺寸小、筒長短以及軸上分辨率高等特點得到廣泛的應用［1，2］。對次鏡支撐結構而言，一般要求結構簡單、易于裝配、有良好的剛性及穩定性，而且要求遮攔比小。在實際使用過程中，既有口徑在幾百毫米的小口徑系統，也有口徑多達幾米的大型望遠鏡系統［3］，這就對次鏡的支撐結構提出了很多要求，選擇合適的支撐結構成為影響望遠系統性能的一個關鍵因素。

在常用的次鏡支撐結構中，典型的有三翼對稱結構、三翼偏置結構、四翼十字型對稱結構以及四翼十字型偏置結構等［4-7］。這些結構的共同點是在次鏡與次鏡支架之間采用薄片梁連接，這種筋板式的薄片梁如果設計合理即可以保證整體結構的穩定性，又可以盡量減小遮攔比。

圖1 次鏡支撐結構Fig.1 Supporting structure of second mirror

圖2 次鏡支撐結構的一階振型Fig.2 First order resonant model for the structure of second mirror

在影響結構穩定性的因素中，梁片的厚度和寬度越大，則穩定性越好，主、次鏡的口徑差越大，遮攔比越小，有利于光學系統優質成像，但也同時加長了梁片長度，降低了支撐結構的剛度及諧振頻率。

因此分析梁片的厚度變化及系統的口徑變化對支撐結構的諧振頻率及軸向變形的影響，并由此針對一定的口徑選取合適的梁片及結構是望遠鏡優化設計的前提，也正是本文的研究重點。

1 次鏡支撐結構的動力學模型

目前典型的光機結構中，次鏡支撐結構如圖1所示。為了使問題簡化，假定次鏡組件的質量沿圓周方向和光軸方向均勻分布，那么連接次鏡支撐座與次鏡之間的薄片梁在支撐端就會受到均勻載荷的作用而產生振動，假定次鏡支撐端固定，而薄片梁與次鏡連接處為固定約束，在由于薄片梁的抗彎曲能力較差，由此造成次鏡支撐結構的一階振型主要是薄片梁的彎曲振動，如圖2所示。

在對稱結構中取任意一條薄片梁，基于彈性力學理論［8］，建立其動力學分析模型，如圖3所示。梁片在x、y方向的變形分別為x、y，對應的變形角為 。

圖3 薄片梁的動力學分析模型Fig.3 Dynamic analysis model for the plate

其諧振頻率為［5］：

式中，r為次鏡的關徑，E為梁片材料的彈性模量，I為梁片的慣性矩，A為梁片面積，l為梁片的長度（l=D/2 ），J為次鏡及其組件的轉動慣量。

2 次鏡支撐結構的有限元分析及一階諧振頻率的計算結果

針對小口徑中波紅外測量系統，其D=220mm，d=40mm，t=3mm，取其偏置 h=6mm，材料為鑄鋁，針對上述四種結構，其一階諧振頻率為三翼對稱結構為1139Hz，三翼偏置結構為1601Hz，四翼十字型對稱結構 1129Hz，四翼十字型偏置結構為1805Hz。從結果可以看出，這種小口徑的光學系統，一階諧振頻率最高的結構為四翼偏置結構，其次為三翼偏置結構，最小的為四翼十字型對稱結構。無論哪種次鏡支撐結構其一階諧振頻率都很高，因此綜合加工工藝及制造成本等多方面因素，選取結構最簡單的三翼對稱結構就能良好的滿足要求。

當系統口徑增加到為650mm時，其一階諧振頻率為三翼對稱結構為 197Hz，三翼偏置結構為277Hz，四翼十字型對稱結構170Hz，四翼十字型偏置結構為297Hz。結果可以看出，一階諧振頻率最高的結構為四翼偏置結構，其次為三翼偏置結構，最小的為四翼十字型對稱結構，其規律與口徑為220mm時完全一致。

如果保證遮攔比一致，材料選為 A3鋼，針對三翼對稱結構，通光口徑從220mm到800mm，其一階諧振頻率變化曲線如圖4所示。

從圖4中可以看出，隨著通光口徑的增加，次鏡組件的一階諧振頻率下降很快，當系統口徑達到800mm時，一階諧振頻率已經降到129Hz，如果再增加系統口徑，這種三翼對稱支撐結構就不能滿足系統高穩定性的要求了。

針對系統口徑為800mm的四翼偏置支撐結構，改變梁片的厚度，其一階諧振頻率的變化曲線如圖5所示，其沿軸向的變形量如圖6所示。

從圖5可以看出隨著梁片厚度的增加，次鏡支撐組件的一階諧振頻率也在增加，對四翼偏置結構當梁片厚度為 4mm時，其諧振頻率已經達到208Hz。而對三翼對稱結構當梁片厚度為4mm時，其諧振頻率為96Hz，當梁片厚度增加到9mm時，其諧振頻率才為198Hz，比四翼偏置結構的小很多。

從圖6可以看出，隨著梁片厚度的增加，次鏡組件沿光軸方向的變形量在減小，當梁自厚度為3mm時，軸向變形達到0.077mm，而當梁片厚度增加到9mm時，軸向變形量已經減小到0.037mm。

從圖5和圖6結果可以看出，隨著梁片厚度的增加，次鏡支撐結構的剛度增加，結構穩定性加強，由此造成了一階諧振頻率的提高和軸向變形量的減小。

3 結論

本文針對口徑在800mm以內的中小口徑卡塞格林系統的次鏡支撐結構進行了動力學分析，分析了次鏡支撐結構中薄片梁的剛度及其變形。經過有限元分析，利用Ansys軟件分析了幾種常用結構的一階振型。

有限元仿真結果表明當系統通光口徑為220mm時，幾種結構的一階諧振頻率都達到一千Hz以上，因此選用加工工藝簡單、成本較低的三翼對稱支撐結構就能很好的滿足要求。但當系統口徑達到650mm時，幾種不同結構的一階諧振頻率都已經下降到300Hz以下，其中四翼對稱結構只有170Hz。

當保證系統遮攔比一致時，針對三翼對稱支撐結構，當通光口徑達到800mm時，其一階諧振頻率已經下降到129Hz。

圖4 通光口徑對一階諧振頻率的影響Fig.4 Influence of telescopic aperture on first order resonant frequency

圖5 梁片厚度對一階諧振頻率的影響Fig.5 Influence of width of plate on first order resonant frequency

圖6 梁片厚度對次鏡軸向變形的影響Fig.6 Influence of width of plate on the optical-axis deformation of second mirror

當增加梁片厚度時，一階諧振頻率都會提高，但相比較而言，三翼對稱結構的頻率增加速率較大，而四翼偏置結構的增加速度率較小。同樣當梁片厚度從3mm增加到9mm時，次鏡組件的軸向變形減小了兩倍。

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