“量”與“率”的較量

安徽省六安市霍山縣下符橋鎮地稅希望小學 吳緒益

【問題背景】

【歸因探索】

分數的意義的理解是小學數學中的重點，也是難點，當然，北師大教材循序漸進的編排旨在對難點的分散，如在《分數的初步認識》中，學生已經結合情景和直觀操作，經歷了分數產生的過程，初步理解了分數的意義；《分數的再認識》又從多角度進一步抽象分數的意義。然而即便如此，在教學中也給我們的一線老師帶來了很大的困擾，學生在學習過程中最大的思維障礙是對“量”與“率”的理解。上例就能充分說明如果對“量”與“率”認知混淆，將會給解決現實問題帶來極大的困難。自然數是人類對自然界的第一次抽象，分數與自然數都是數，但是分數是“分出來的數”，其含義包括：量的含義是分數單位的累積，率表達的是量與量之間比的關系。而分數“率”的理解是第二次抽象。因學生的抽象思維層面沒有達到一定的高度，致使認識不清，產生錯誤。

【對策探尋】

對量與率的深度認知不充分是二者混亂的根本原因，因而只有從理解二者的含義的角度出發才是教學的起點。率的含義：表達的是兩個量之間的關系，如大豆占了這塊地的，表示把這塊地作為“單位1”，并將其平均分成4份，而大豆的面積占其中的1份。同理可知將這塊地重新平均分成2份，棉花的面積占了其中的1份，即，所以這里的和表達的是棉花、大豆面積與這塊土地面積之間比的關系。顯然，這兩個分數表示的是“率”的含義。而公頃表示的是具體數量，“量（liàng）”來自測量（liáng），測量需要工具，而這里的測量工具是將1公頃平均分成8份，其中的1份，即公頃作為度量單位，經過測量，這塊土地是7個 公頃的累積，即公頃，表示具體土地面積的大小，也就是具體的數量。基于上述認知，現采取以下環節幫助孩子們理解。

一、直觀認識，明晰關系

通過直觀示意圖，讓學生感受具體量與分數“率”的區別，實現對二者概念的深度理解。

（1）引導觀察 公頃表示的是具體土地面積的大小，它比1公頃要小一些。

（2）大豆面積是將整塊地平均分成4份，而大豆面積占了其中的1份。棉花面積是將整塊地平均分成2份，而棉花面積占了其中的1份。（用不同的顏色進行區分）

（3）對接問題：種玉米的面積占這塊地的幾分之幾？這個問題關注的是種玉米的土地占整塊土地的份數，問的是二者之間的關系，表達的是“率”，所以本題的正確解答是：

（4）將算式與上面的直觀圖進行對接，感受其合理性。

二、對比練習，深化認知

（1）請根據下面兩題的題干信息，連接合適的數學問題。

（2）引導學生觀察與思考，這兩個問題有什么不同？

題A：所有分數都有單位，表示的是具體的數量，問題是面積的大小。

題B：所有分數沒有單位，表示的是整體與部分的關系，跟這塊地的大小沒有關系。

由此看來，分數有兩個現實背景：“量”的含義以一個事物的量為基準，對另一個事物的量進行度量，此時用分數表達度量的結果，本質上就是商的含義。“率”的含義則是比較的結果，表達是比例關系。與被分對象的大小、形狀無關，從而得到分數是一種無量綱的數，本質上是比的含義。只有將二者從本源上區分開，“量”與“率”的較量才會休止，否則將始終困擾著孩子們的分數學習。