關于ePSF模型的一個注記

朱麗莎，孟小華，張慶豐

（暨南大學 計算機科學系，廣東 廣州 510632）

有效點擴散函數ePSF(Effective Point-Spread Function)方法是由ANDERSON等[1]提出的用于測量哈勃空間望遠鏡HST(Hubble Space Telescope)星象的方法，該方法消除了長期困擾HST圖像測量的相位誤差效應，是一種有效而準確的方法，不僅可以廣泛用于欠采樣圖像的測量,甚至也可以用于非欠采樣圖像的測量[2,3]。該方法用于欠采樣星象的測量,首先必須建立圖像的ePSF模型，然后再利用該ePSF模型測量圖像中星象的位置。因此建立準確的ePSF模型是該方法的關鍵。

建立準確的ePSF模型的基本原理是對不夠精確的大量的單個星體的PSF模型逐漸精化得出統一的單個圖像的ePSF模型。雖然原則上選擇的星體越多得到的PSF模型應該越準確，但實際上星體越多，計算量越大，這將耗費大量的資源和時間，在實時觀測中，這是不能承受的。此外,采樣星體越多帶來的噪聲也越多，未必能夠得到很好的ePSF模型。反之,如果星體數目很小，ePSF模型則將失去準確性，那么選擇多少星體來得到該圖像的PSF模型就是一個需要討論的問題。本文對采樣星體的個數和ePSF模型的準確性關系進行了研究，指出了模型網格的細密度對準確性更重要，這對天文測量的實踐具有指導意義。本文首先介紹ePSF模型的計算過程和算法,然后詳細介紹所做的實驗，最后給出了實驗結論。

1 ePSF模型計算方法

ePSF算法的第一步是計算ePSF模型，第二步是由該模型擬合星體的光通量分布確定星體的位置。第二步的重點是PSF模型的計算，步驟如下：

(1)從星象圖中選取高性噪比的恒星作為采樣星體。

(2)獲取采樣星體中心周圍m×m個像素的方形區域內的光通量分布(如圖1所示)，每個星體的中心一般來說并不是整數的像素位置,所以，星體的中心相對于PSF模型的網格中心會有偏差，如圖1(a)所示，星體的中心(圖中的圓圈)并不一定落在圖中像素的中心(圖中的×)。

(3)將被采樣星體的區域疊加到PSF網格區域(圖1(b)顯示了一個星體的采樣區域疊加于PSF網格區域的情況)。在ePSF方法中一個圖像的PSF模型是用離散的規則網格點處的值來表達的,也就是說,PSF模型是一個離散網格模型。該方法認為,星象中的每個星體及其周邊的像素的灰度值是對PSF模型的一個采樣，星象中有多少星體,則對該星象的PSF模型采樣了多少次。

(4)當所有的采樣星體及其周邊像素值都疊加到PSF網格時，將得到如圖2所示的情況(圖中將PSF的網格進行了進一步的細分)，在每個PSF的細小網格內，將有許多星體采樣值，按照3σ準則，剔除異常采樣后再取平均，即可得到所有PSF細小網格上的灰度值，從而可以得到準確的實際PSF網格模型。

以上四步結束后，在實際處理中為保證PSF網格模型的光滑與對稱，還將采用一些措施對其進行光滑和網格中心位置的微調[1]。

2 實驗步驟

因為真實圖像的有效點擴散函數是未知的，所以計算出來的點擴散模型無法比較。本實驗采用人工圖像進行計算比較，包括3個步驟：(1)設定人工圖像的有效點擴散模型，按照該模型隨機生成若干星體，形成一個天文圖像；(2)用第二部分所述的方法對人工圖像進行PSF模型計算；(3)將設定的有效點擴散模型與計算所得的PSF模型進行比較，計算模型誤差。

2.1 人工圖像的生成

要生成人工圖像，首先要生成一個天空背景圖像，然后在此基礎上疊加許多星體。首先生成一個分辨率為2 024×2 024的圖像,該圖像設定天空背景灰度為 500，并疊加Poisson噪聲，以模擬真實天空背景。然后在這個圖像上疊加了2 500個具有隨機位置的星體。這2 500個星體的像素位置服從一種特殊的position分布，整數部分是隨機的，分數部分服從0～1的之間均勻分布，即所有星象的像素相位是均勻分布的。因為是人工生成的星象，所以可將每個星象的像素相位位置理想化，以利于PSF模型的計算，從而確保每網格內包含指定數量的采樣星體數據。

根據KING[4]的研究,星象的大部分通量都被包含在一個核中,這個核的灰度分布近似于Gaussian分布，或者接近于高斯函數，如Moffat函數等，這就是所謂的PSF函數。這里對于模擬星體的PSF函數采樣經典的二維高斯模型，即星體周圍每個像素點處的光通量f和星體的中心位置之間滿足二維高斯關系模型，對于模擬圖像來說，就是星體周圍的灰度分布滿足如下關系：

其中B代表背景;H代表高斯函數的峰值;R為高斯函數的標準差，它與視寧度有關(seeing≈2.355R);G(x,y)代表點(x,y)處的灰度值;(x0,y0)表示星體的中心位置。

實驗中設定R=0.6369,即視寧度為1.5,因為ePSF方法是用于欠采樣圖像的一種有效方法,而視寧度為1.5的星象被認為是標準的欠采樣圖像。另外實驗中H值在1 000～65 525之間隨機取值,是為了保證每顆星體都有較好信噪比，可以作為有效采樣星體。整體圖像中每個星體還添加了Poisson噪聲，這是在星象中最常見的噪聲。最終生成的點擴散函數是已知的且像素相位均勻分布的星象圖，以此作為實驗的數據，所生成的圖像局部如圖3所示，整體與此相若。

2.2 進行ePSF模型計算時的影響因素

在ePSF方法中，ePSF模型也與網格的精細程度有關，假定單位像素劃分為n×n個網格，n即標識了PSF網格的精細程度，實驗中對不同精細程度的網格進行了考察，即分別考察了n取4,5,…,10等7種情況。計算出來的ePSF數值模型還與星體采樣密度有關,用每網格內采樣星體數據的數量k來標識采樣密度。實驗中對每一個 n值都考察了 k取 1,2，…，20等 20種情況，因為是人工生成星象，所以可以嚴格保證每網格內有要求數量的采樣數據。

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2.3 有效點擴散模型與所得PSF模型比較

對 n、k不同取值總計 140種情況計算了 ePSF模型，并對這些模型數值進行了分析。圖4所示為n=10時，將 k取值為 1、5、10、15、20時所得的 5個 ePSF模型圖。其中圖 4(a)是三維網格圖，圖4(b)是三維圖在 y方向的投影圖。

事實上每個PSF模型和準確Gauss模型都是有差別的，圖 5顯示了 n=10、k=5時所得 PSF模型和準確的Gauss模型的差別。圖5是兩者之差的三維網格圖，可以看出其最大誤差處在網格中心,其峰值很小不超過0.05。其他PSF模型和準確模型的差值圖均與圖5形狀類似，當然其誤差峰值不同，因此采用準確模型和計算的PSF模型之間的最大差值來衡量計算模型的誤差。圖4、圖5大體反映了n=10時k取不同值所得的ePSF模型的情況及其誤差情況。當n取其他值時也有類似的情況。

圖6所示為 n、k取不同值時所得到 PSF模型的誤差，表1是這些模型誤差的數值表。

從圖6可以看出，PSF模型的誤差和網格的細密關系比較密切，網格越密，誤差值越小，在網格固定的情況下，k取不同的值，模型誤差變化不大。從表1的數據可以知道，對于固定的網格劃分，k取不同值時，模型誤差的絕對變化在0.01以內，相對變化在1%以內。理論上來說，k取值越大，相鄰模型變化就越小，極限情況下，模型應該收斂到一個統一模型，這種極限模型稱為穩定模型。一個網格劃分對應一個穩定模型。從圖6和表1可以看出，k取任何值，所得模型都很接近該網格劃分對應的穩定模型，考慮到k取1時所得模型不夠光滑，因此，認為k取2所得到模型很接近穩定模型。由此可以看出，在計算PSF模型時，網格的細密程度對計算模型的準確性影響很大，當網格劃分固定后，只要保證每網格內有兩個采樣數據就可以得到穩定的模型。總體來說，采樣星體數目達到2n2個就可以得到較好的穩定模型。

本文通過對模擬欠采樣星象的處理實驗，可知處理欠采樣星象使用ePSF方法計算PSF模型時，每個網格的采樣星體越多，計算結果越逼近一個穩定模型，這個穩定模型和真實模型的誤差主要由網格劃分的細密程度來決定，網格劃分越密，模型誤差越小。當網格劃分固定時，每網格內有兩個采樣數據時即可得到一個較精確的穩定模型，即采樣星體數目對ePSF網格模型的準確性影響不大。但在實際處理中，由于星體的相位差分布不均，因此平均每網格采樣星體數目應該大于2。該結論在實際應用ePSF方法時,對更精確的建模有一定的指導意義。

[1]ANDERSON J,KING I R.Toward high-precision astrometry with WFPC2.I.Deriving an Accurate Point-Spread Function[J].PASP,2000,112:1360-1392.

[2]ANDERSON J,BEDIN L R,PIOTTO G,et al.Groundbased CCD astrometrywith wide field images I.Oberservations just a few years apart allow decontamination of field objects from members in two globular clusters[J].A&A,2006,454:1029-1045.

[3]張志淵,彭青玉.ePSF擬合法與Gaussian擬合法的比較[J].Astronomical Research&Technology,2010,7(2):132-139

[4]KING I R.The profile of a star image[J].PASP,1971,83:199-201.

[5]李展,彭青玉,韓國強.CCD圖像數字定心算法的比較[J].天文學報,2009,50(3):340-348.