影子價(jià)格在露天礦卡車調(diào)度系統(tǒng)中的應(yīng)用研究

張永庫，王 晶

(遼寧工程技術(shù)大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，遼寧 葫蘆島 125105)

鋼鐵工業(yè)是國(guó)家工業(yè)的基礎(chǔ)之一，鐵礦是鋼鐵工業(yè)的主要原料基地，許多現(xiàn)代化鐵礦是露天開采。它的生產(chǎn)主要由電動(dòng)鏟車裝車，卡車運(yùn)輸來完成，而提高這些大型設(shè)備的利用率是增加露天礦效益的首要任務(wù)。露天礦卡車調(diào)度系統(tǒng)是近30年來世界范圍內(nèi)發(fā)展起來的一項(xiàng)新技術(shù)，它能夠使生產(chǎn)效益得到顯著提高，是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)在采礦工業(yè)的一項(xiàng)成功應(yīng)用[1]。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)、現(xiàn)代通信技術(shù)及其他相關(guān)技術(shù)的迅猛發(fā)展，計(jì)算機(jī)調(diào)度系統(tǒng)將發(fā)揮越來越大的作用。通過采運(yùn)設(shè)備的實(shí)時(shí)調(diào)配進(jìn)行生產(chǎn)計(jì)劃指標(biāo)任務(wù)的完成及生產(chǎn)過程中是否合理地組織、實(shí)施卡車調(diào)配，將直接影響露天礦整個(gè)生產(chǎn)系統(tǒng)的生產(chǎn)效率和經(jīng)濟(jì)效益。然而影子價(jià)格可反映資源得到的最佳配置價(jià)格，能夠指導(dǎo)企業(yè)經(jīng)營(yíng)管理者進(jìn)行合理地調(diào)度。

在線性規(guī)劃模型中的資源利用問題中，對(duì)偶模型的最優(yōu)解——影子價(jià)格是著名的前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家線性規(guī)劃創(chuàng)始人、諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者康特羅維奇首先提出的。隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，“影子價(jià)格”理論在當(dāng)代經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛，其最大的優(yōu)點(diǎn)在于對(duì)現(xiàn)在資源進(jìn)行合理分配，將有限的資源用于產(chǎn)出最大的生產(chǎn)中。借助“影子價(jià)格”的計(jì)算，來預(yù)測(cè)每一單位的有限資源的變化對(duì)企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益的影響，從而為經(jīng)濟(jì)管理者、合理地預(yù)測(cè)和決策提供依據(jù)。

1 影子價(jià)格簡(jiǎn)介

1.1 影子價(jià)格的含義

影子價(jià)格又稱最優(yōu)計(jì)劃價(jià)格或效率價(jià)格，它是指有限資源或產(chǎn)品在最優(yōu)分配、合理利用的條件下，對(duì)社會(huì)目標(biāo)的邊際貢獻(xiàn)或邊際效益，所以也稱為資源的機(jī)會(huì)成本或邊際產(chǎn)出，表示資源在最優(yōu)組合時(shí)，具有的“潛在價(jià)值”或“貢獻(xiàn)”。在單純形算法中，設(shè)B是最優(yōu)基，XB=B-1b，其余 Xj=0是最優(yōu)解；最優(yōu)值 Z*=CBB-1b，取 Y=CBB-1=(Y1，Y2，…，Ym)則 Y是對(duì)偶最優(yōu)解。設(shè) bi有單位增量，即Δbi=1，其他參數(shù)不變。若原最優(yōu)基不變，則 Z+ΔZ=CBB-1(b+(0…Δbi…0）)=Z+YiΔbi，即 ΔZ=YiΔbi=Yi。 所以 Yi表示在原問題已取得最優(yōu)解情況下，第i種資源改變一個(gè)單位時(shí)總收益的變化值，即Yi是對(duì)第i種資源的一種價(jià)格估計(jì)。這種價(jià)格估計(jì)不是第i種資源的實(shí)際成本或價(jià)值，而是由該企業(yè)在制定產(chǎn)品的收益來估計(jì)所用資源的單位價(jià)值稱為影子價(jià)格。

1.2 影子價(jià)格的計(jì)算

在經(jīng)營(yíng)管理過程中，對(duì)偶問題的解是影子價(jià)格的經(jīng)濟(jì)解釋，常用來討論怎樣能獲得最大利潤(rùn)或者怎樣能使總成本達(dá)到最小，它們是同一經(jīng)營(yíng)管理過程中的兩種不同的線性規(guī)劃模型。這兩種最優(yōu)化模型從不同角度對(duì)一個(gè)實(shí)際問題提出并進(jìn)行描述，組成一對(duì)互為對(duì)偶的線性規(guī)劃，如果把其中一個(gè)稱為線性規(guī)劃原問題的話，另一個(gè)就稱為它的對(duì)偶問題。根據(jù)線性規(guī)劃的最優(yōu)性，可知當(dāng)原問題與對(duì)偶問題的目標(biāo)函數(shù)值相等時(shí)，即為最優(yōu)解。在線性規(guī)劃中，若原問題的模型是：假設(shè)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)過程涉及 n 種活動(dòng)，其水平用 X=(x1，x2，x3，…，xn)表示，從事這些活動(dòng)所消耗的資源有m種，資源的供應(yīng)為b=(b1，b2，b3，…，bn)，則使 n 種經(jīng)濟(jì)活動(dòng)達(dá)到最優(yōu)的條件是[2]：

線性規(guī)劃具有對(duì)偶性，原問題與對(duì)偶問題互為對(duì)偶。如果原問題為資源的最優(yōu)使用，求目標(biāo)函數(shù)的極大值；其對(duì)偶問題則是資源的恰當(dāng)估價(jià)，求目標(biāo)函數(shù)的極小值，這說明對(duì)偶問題的對(duì)偶變量代表著資源的一種價(jià)格。線性規(guī)劃的原問題與對(duì)偶問題之間存在對(duì)稱關(guān)系，影子價(jià)格線性規(guī)劃模型的對(duì)偶模型。基于以上原理，得出影子價(jià)格線性規(guī)劃的對(duì)偶問題的模型是：

式中：c為目標(biāo)函數(shù)系數(shù)，a為約束條件的系統(tǒng)，Z為噸公里數(shù)，CB為對(duì)應(yīng)于基變量XB目標(biāo)函數(shù)系統(tǒng)，B為約束條件的系數(shù)矩陣，即

線性規(guī)劃的原問題與對(duì)偶問題之間存在對(duì)稱的關(guān)系。將原問題引入松弛變量后化成標(biāo)準(zhǔn)形式，通過迭代得出線性規(guī)劃原問題的最優(yōu)解max Z=CBB-1b。根據(jù)線性規(guī)劃的最優(yōu)性，原問題的對(duì)偶問題的最優(yōu)解為y*=CBB-1，min W=max Z=CBB-1b，其中yi(i=1，…，m)就是第 i種資源的影子價(jià)格，即：

2 影子價(jià)格在露天礦生產(chǎn)中的應(yīng)用

對(duì)偶解的經(jīng)濟(jì)含義就是在給定的生產(chǎn)條件下，資源每增加一個(gè)單位時(shí)引起目標(biāo)函數(shù)值的增量。代表了對(duì)一個(gè)單位第i種資源的估價(jià)。這種估價(jià)不是資源的市場(chǎng)價(jià)格，而是根據(jù)資源在生產(chǎn)中做出的貢獻(xiàn)而作的估價(jià)。通常稱對(duì)偶解為影子價(jià)格，它表明了對(duì)偶解是對(duì)生產(chǎn)系統(tǒng)內(nèi)部資源的一種定量估價(jià)，具有虛擬性，不是真實(shí)的價(jià)格。客觀上，在生產(chǎn)管理系統(tǒng)內(nèi)部資源的影子價(jià)格反映了該資源的稀缺程度，影子價(jià)格越高，說明該資源對(duì)利潤(rùn)收益的貢獻(xiàn)越大。當(dāng)影子價(jià)格不為零，表明該種資源在生產(chǎn)中已耗盡完畢；當(dāng)影子價(jià)格等于零，表明該種資源在生產(chǎn)過程中未得到充分利用，不用補(bǔ)給[3]。

露天礦是一個(gè)以采剝?yōu)橹行模赃\(yùn)輸為紐帶的復(fù)雜大型生產(chǎn)系統(tǒng)。通過應(yīng)用影子價(jià)格能合理地增加、減少資源，達(dá)到合理調(diào)配。資源的影子價(jià)格又是一種機(jī)會(huì)成本，露天礦卡車調(diào)度系統(tǒng)中，某種資源的影子價(jià)格大于零時(shí)，企業(yè)增進(jìn)該種資源是有利的；反之，企業(yè)暫時(shí)不增加甚至可以適當(dāng)減少該資源。影子價(jià)格不是固定不變的，當(dāng)約束條件、產(chǎn)品利潤(rùn)等發(fā)生變化時(shí)，有可能使影子價(jià)格發(fā)生變化。同一種資源，處于不同的范圍與條件，其影子價(jià)格不一定相同，即使在同一范圍內(nèi)，如條件發(fā)生了變化，則各種資源的影子價(jià)格也可能發(fā)生變化。因此露天礦企業(yè)可以一直處在“最優(yōu)”的狀態(tài)下，使資源的配置更加合理，并且在資源投入增加時(shí)就掌握了主動(dòng)性，使企業(yè)的利潤(rùn)不斷提高。

3 應(yīng)用實(shí)例

3.1 礦山基本情況

對(duì)某露天鐵礦進(jìn)行實(shí)例研究，其主要產(chǎn)品為磁鐵礦，平均地質(zhì)品位30.6%，露天礦有5個(gè)鏟點(diǎn)，2個(gè)卸點(diǎn)，3臺(tái)電鏟，6臺(tái)卡車。產(chǎn)量要求分別為：卸點(diǎn)Ⅰ1.40萬噸、卸點(diǎn)Ⅱ1.20萬噸，一個(gè)班次工作時(shí)間為8 h，如表1所示。

表1 各鏟位和各卸點(diǎn)之間的距離/km

3.2 線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)

在完成卸點(diǎn)產(chǎn)量要求的前提下，綜合運(yùn)距最小，同時(shí)出動(dòng)最少的電鏟和卡車，從而使運(yùn)輸成本最小(即噸公里數(shù)最小)，目標(biāo)函數(shù)為：

式中，G為卡車的載重量 135(噸)；Lij為鏟點(diǎn) i到卸點(diǎn) j的距離；xij為鏟點(diǎn)i到卸點(diǎn)j的車次數(shù)[4]。則目標(biāo)函數(shù)如下式：

3.3 資源的約束條件

露天礦是一個(gè)以采剝?yōu)橹行模赃\(yùn)輸為紐帶的大型生產(chǎn)系統(tǒng)。采用影響露天礦生產(chǎn)的最關(guān)鍵的資源種類作業(yè)的約束條件[5]。

(1)電鏟約束：一臺(tái)電鏟不能同時(shí)為兩輛卡車服務(wù)，所以一臺(tái)電鏟在一個(gè)班次中最大的可能產(chǎn)量為8×20×135(噸)。

(2)卸點(diǎn)約束：對(duì)于第i個(gè)卸點(diǎn)的噸數(shù)應(yīng)該滿足卸點(diǎn)的產(chǎn)量要求，即1.60萬噸。

(3)卡車約束：該露天礦只有3臺(tái)卡車，所以生產(chǎn)的礦石總量應(yīng)該小于卡車的總運(yùn)載能力。

(4)時(shí)間約束：一個(gè)班次工作時(shí)間為 8 h。對(duì)于 i卸點(diǎn)，從鏟點(diǎn)j到卸點(diǎn)一次運(yùn)輸時(shí)間等于裝車時(shí)間Ta，卸車時(shí)間Tb以及卡車在鏟位和卸點(diǎn)運(yùn)行時(shí)間

3.4 影子價(jià)格計(jì)算

根據(jù)電鏟、卸點(diǎn)、卡車、時(shí)間的資源量作業(yè)限制條件列出條件方程，將條件方程的系數(shù)、資源限量、目標(biāo)函數(shù)組成一個(gè)增廣矩陣A。將此矩陣A進(jìn)行轉(zhuǎn)置，取得轉(zhuǎn)置矩陣AT，求解轉(zhuǎn)置后矩陣即可解出條件方程中各資源的影子價(jià)格， 用 Matlab求解得最優(yōu)解為 Y*=(0.32，0，0.27，0.17)通過影子價(jià)格可知，增加 1 臺(tái)電鏟生產(chǎn)礦石，礦石總產(chǎn)量會(huì)增加0.32萬噸；增加1個(gè)卸點(diǎn)礦石總產(chǎn)量沒有變化，說明卸點(diǎn)資源不稀缺，如果增加這種資源，只能造成積壓，不會(huì)增加產(chǎn)量和效益；增加1臺(tái)卡車，總產(chǎn)量會(huì)增加0.27萬噸；增加1 h工作時(shí)間，總產(chǎn)量會(huì)增加0.17萬噸。現(xiàn)有的資源中卸點(diǎn)相對(duì)剩余，因此若增加這種資源，只能造成積壓不會(huì)增加產(chǎn)量和效益。

由于影子價(jià)格用貨幣表示時(shí)，同樣受到通貨膨脹率及供求關(guān)系的影響，所以同其他商品的影子價(jià)格一樣，露天礦水價(jià)亦具有時(shí)限性。由于各地區(qū)礦存儲(chǔ)量與開發(fā)難易程度差別很大，及不同地區(qū)的品位不同和采礦所有的設(shè)備不同，顯然影子價(jià)格具有明顯的地區(qū)性，因此求得的影子價(jià)格具有地區(qū)性。同樣對(duì)于地理位置、天氣情況、電鏟和卡車的工作能力等使得影子價(jià)格具有時(shí)限性。

通過對(duì)大型露天礦卡車調(diào)度系統(tǒng)的研究，提出了影子價(jià)格，并以露天鐵礦為例進(jìn)行了初步研究。結(jié)果表明，這種方法在我國(guó)卡車運(yùn)輸露天礦中具有實(shí)用價(jià)值，適合露天礦的現(xiàn)在管理水平和管理手段，既能滿足生產(chǎn)需要又能節(jié)省資金并且能合理地進(jìn)行資源配置，大大提高了露天礦資源的利用率，降低了生產(chǎn)成本。文中所提出的對(duì)偶問題和影子價(jià)格是對(duì)露天礦卡車調(diào)度系統(tǒng)的改進(jìn)和發(fā)展。

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[5]王華，劉萬軍.基于貪心算法的露天礦卡車調(diào)度的應(yīng)用

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