基于混沌和BEMD分解的小波域彩色圖像數字水印算法

劉程浩 ，柏 森 ，劉博文 ，徐 庶

(1.重慶通信學院，重慶 400035；2.71426部隊，河南 焦作 415000)

數字圖像水印發展非常迅速，數字圖像數據的版權保護也顯得越來越重要。通過在數字圖像載體中嵌入水印，可以實現盜版確認、使用跟蹤等功能。以數字圖像為載體的經典的信息隱藏算法基本可以分為兩類：時域算法和變換域算法。時域算法的主要代表有LSB算法[1]，其算法比較簡單、容量大，但是魯棒性差。目前，變換域算法由于對視覺影響小，魯棒性好而受到研究者的重視。研究的方向主要集中在DCT變換[2-3]、DFT變換域[4-5]、DWT變換[6-7]及其他正交域[8]。 雖然變換域算法的魯棒性普遍比空域算法好，但變換域的算法容量普遍較小，無法和空域算法容量相比。參考文獻[9]提出了一種基于BEMD(BidimensionalEmpiricalMode Decomposition)分解[10]的數字水印算法，該算法達到了空域LSB算法容量水平，并對椒鹽噪聲、縮放、小波變換實現的壓縮有一定的抵抗能力，但其基本不具有抗JPEG壓縮攻擊的能力。另外，由于BEMD分解的系數取值空間有限，進而使其密鑰空間很小，導致該水印算法的安全性不高。

針對參考文獻[9]算法的不足，本文以彩色圖像G通道信號為載體，利用HVS系統對綠色的不敏感性，提高算法的不可感知性；利用DWT變換魯棒性的優點，提高算法的魯棒性；利用混沌系統對初值的敏感性，提高算法的安全性[11]；利用二維混沌置亂的高效性，提高BEMD分解的有效性，同時置亂增加了圖像分解后中低頻幅度頻譜強度，提高了算法抗JPEG壓縮攻擊的能力[12]。實驗結果表明，本文提出的改進算法容量依然很大，可達到空域LSB算法四分之一的水平，顯著增強了其抗JPEG壓縮攻擊能力，同時提高了算法的安全性。

1 混沌序列

混沌現象是在非線性動力系統中出現的確定性的、類似隨機的過程。這種過程既非周期，又不收斂，并且對初始值有極其敏感的依賴性。

一個一維離散時間非線性動力系統定義如下：

其中，xk∈v=(0，1)，k=0，1，2，3，…，稱之為狀態。 而f：v→v是一個映射，將當前狀態xk映射到下一個狀態xk+1，如果由初始值 x0開始，反復應用 f，就得到一個序列{xk，k=0，1，2，3，…，}，這一序列稱為該離散時間動力系統的一條軌跡。

既非常簡單又被廣泛研究的動力系統是Logistic映射，其定義如下：

其中，0≤u≤4 稱為分枝參數，xk∈(0，1)。 當 3.569 945 6≤u≤4時，Logistic映射工作處于混沌狀態。也就是說，由初始條件x0在Logistic映射的作用下所產生的序列{xk，k=0，1，2，3，…，}是非周期、不收斂的，且對初始值非常敏感。Logistic序列的特性表明，混沌動力系統具有一定的確定性，其遍歷統計特性等同于白噪聲，具有形式簡單、對初始條件敏感等諸多特性[13]。

2 二維經驗模式分解

HUANG N E提出將原始信號分解為一些不同IMF(Intrinsic Mode Functions)分量之和，并對分解后得到的IMF分量進行Hilbert變換，獲得分量的瞬時頻率和振幅，即Hilbert譜[14]。物理上定義一個有意義的瞬時頻率所需要的條件是具有局部均值為零的對稱性，并且具有相同的零交叉和極值數目。因此，HUANG N E給出的IMF定義滿足以下兩個條件：

(1)在整個信號數據段內，極值點的個數和過零點的個數必須相等或最多相差一個。

(2)在任何一點，由局部極大值點形成的上包絡線和由局部極小值點形成的下包絡線的均值為0。

EMD分解基于如下假設：

(1)信號至少有兩個極值，即一個極大值和一個極小值。

(2)信號特征時間尺度由兩個極值之間的時域信號的下降沿定義。

(3)當整個數據序列沒有極值點而只有拐點時，能夠在進行一階或幾階運算后重建極值點。

幾乎所有的信號都是非線性、非穩態的，它們不滿足構成IMF的條件。因此，需要采用篩選算法，將復雜信號分解為若干個IMF之和。

對于一個二維 m×n 圖像信號 f(x，y)，x=1，2，…，m；y=1，2，…，n。 BEMD 分解[4]的實現過程如下：

(1)外部初始化，令待處理的圖像為：

(2)篩分抽取第 j個 IMF：

①內部初始化：h0(x，y)=rj-1(x，y)，k=1。

②利用形態學算法或者8鄰域像素，找出hk-1中的極大值和極小值點。

③分別對極大值和極小值點進行包絡擬合，形成二維圖像上包絡曲面Envelopemax(x，y)和下包絡曲面Envelopemin(x，y)。

④確定均值包絡：

⑤從圖像中減去均值得到：

理想情況下，hk(x，y)應該是一個基本模式分量。然而，對非線性、非平穩數據而言，包絡均值可能不同于真實的局部均值，一些非對稱波依然存在。

⑥計算終止條件，若滿足 IMF條件，則有：cj=hk(x，y)；否則令 k=k+1，轉到第②步。

(3)求殘差量 residue：

若rj(j=j+1)中仍有不少于兩個的極值點或者分解所得的IMF數目未達到要求，則將rj看做新的數據，轉到(2)。

(4)最后得到的BEMD分解結果是：

式中，f(x，y)為要合成的圖像信號，cj(x，y)是分解得到的第j個 IMF分量，n為分解的 IMF分量個數，rn(x，y)為最終的殘余分量。

IMF的第2個限定條件只是一種理論上的要求，在實際篩選過程中，很難保證圖像信號的局部均值絕對為零。如果完全按照上述兩個限定條件判斷分離出的分量是否為基本模式分量，很可能需要過多的重復篩選，從而導致基本模式分量變成具有很大幅度的純粹調制信號。為了保證基本模式分量保存足夠的反映物理實際過程的幅度與頻率調制，必須確定一個篩選過程的停止標準。篩選過程的停止標準可以通過限制兩個連續相鄰的處理結果的標準差決定，即：

直到SD

3 水印嵌入算法

假設載體圖像為RGB彩色圖像：

其中，i為行數，j為列數，q為通道。根據HVS理論，將G通道進行水印嵌入：

(1)離散小波變換

用 “db1”小波基對G通道載體圖像I進行DWT變換：[LL1，HL1，LH1，HH1]=DWT(I)，其中 LL1為低頻子帶。

(2)Logistic混沌序列置亂

根據式(2)，Logistic迭代方程構造二維Logistic混沌映射：

其中，u1=0.89，u2=0.89(式(2)中的系數)，x(1)=0.99，y(1)=0.02。

利用x、y對LL1進行位置置亂得到 LL1scramble：

其中，k、l分別為低頻子帶矩陣行和列數。

(3)用水印圖像替換LL1scrambleBEMD分解得到的第5個IMF分量。

根據第 2節的方法對 LL1scramble進行 BEMD分解，取SDmax=0.5，得到：

其中，x=1，2，…，k；y=1，2，…，l；n=5，q 為嵌入強度取值為 10。

(4)Logistic混沌序列反置亂

利用步驟(3)中的 Logistic混沌映射將 LL′1scramble進行反置亂恢復得到 LL′1。

(5)利用小波基重構嵌入水印的I′

將嵌入水印的低頻子帶LL′1和其他原始3個子帶，用“db1”小波進行反離散小波變換對信號進行重構，重構得到含有水印的G通道圖像信號：

I′=IDWT[LL′1，HL1，LH1，HH1]

4 水印提取算法

水印提取時需要原始的載體圖像，提取過程如下：

(1)離散小波變換。使用“db1”小波基分別對原始彩色圖像X和待檢測彩色圖像X*的G通道信號I和I*進行一級小波分解，并提取各自的低頻子帶系數矩陣LL1和LL*1。

(2)Logistic混沌序列置亂。按照水印嵌入算法步驟(2)中的 Logistic混沌置亂方法分別對 LL1和 LL′1進行置亂得到 LL1scramble、LL′1scramble。

(3)水印提取。

式中，IMFn-1是LL1scramble按照水印嵌入算法步驟(3)中的方法進行BEMD分解得到。

5 實驗結果

實驗采用Lena(256×256)彩色圖像作為原圖像，原水印信息為128×128的二值圖像。結果表明，這種算法的不可見性很好，如圖1所示。實驗計算得峰值信噪比PSNR=34.540 5 dB，也說明算法的透明性很好。算法抗攻擊的測結果如表1所示，圖2所示的是JPEG壓縮因子為70時，提取水印和原始水印的對比。

圖1 原始圖像與含有水印圖像

表1 魯棒性攻擊檢測結果及算法比較[9]

圖2 原始水印信息與提取水印信息(JPEG壓縮因子70)

本文提出基于小波變換(DWT)、混沌映射和BEMD分解數字水印算法，首先根據HVS系統對綠色敏感度低的特點以及小波變換抗壓縮攻擊的特點，使用小波基將原始彩色載體圖像的G通道圖像信號整體進行一級小波分解。然后為了提高算法的安全性和中頻分量的強度，對原始G通道圖像信號小波分解得到的近似分量，進行Logistic二維混沌位置置亂，再對置亂后得到的近似分量進行BEMD分解。為了提高抗算法的魯棒性，選取替換中低頻的IMF分量進行水印嵌入，充分利用了圖像的冗余空間，使魯棒性和不可感知性達到了比較好的平衡。實驗表明，該算法容量大，當載體圖像為256×256時，嵌入的容量為128×128 bit參考信息。同時該算法能夠抵抗噪聲、縮放、JPEG壓縮的攻擊，與參考文獻[9]算法相比，本文算法的抗JPEG壓縮攻擊的魯棒性有了明顯的提高。然而這種信息算法還存在兩個問題：一是不能抵抗旋轉攻擊和剪切攻擊；二是算法是非盲的，即水印提取時需要原始載體圖像。如何解決這些問題將是下一步算法改進研究的重點。

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