基于頻率特性的Rosen壓電變壓器參數的仿真測量和分析

白鳳仙，董維杰，閏朋超，孫斐然

(大連理工大學 電子科學與技術學院，遼寧大連 116024)

引言

隨著信息處理設備和通訊設備日益小型化的發展，電源設備小型化的需求越來越高，加之功能陶瓷材料的迅猛發展，壓電變壓器體積小、重量輕、效率高、無電磁干擾、不可燃等優點重新得以重視，國際上的許多大公司和研究機構如FACE，MOTOROLA，PHIL IPS，NEC，EPSON，TO KIN，SIEMENS和TI均對壓電變壓器的材料制備、新型結構設計及器件性能進行了深入研究[1,2。Rosen型壓電變壓器具有厚度小、成本低和高升壓比的特點，使它在便攜式高壓應用方面有其獨特的優點[3]，如便攜式VCD，DVD、手機、數碼相機、攝像機等彩屏背光電源、筆記本電腦、臺式LCD顯示屏背光電源及家用電器及儀器儀表中有廣泛的應用前景。

壓電變壓器(piezoelectric transformer，簡稱PT)的模型參數是仿真分析壓電變壓器電氣特性的重要參數。等效電路中只要模型參數已知，就可以由等效電路仿真、分析和計算壓電變壓器的電氣特性如匹配負載、效率、諧振頻率等。通常獲得壓電變壓器等效電路參數值的方法是使用阻抗分析儀，如Agilent 4294A[4,5]。然而，阻抗分析儀相對昂貴，因此有必要尋找一種經濟適用的測量方法。文獻 [5]中Ivensky等人利用對壓電變壓器輸出端短路和開路，對輸入電流進行頻率掃描來確定R，L，C和N的值。然而該方法需要對多點進行精度較高的掃描測量。本文詳細地介紹了一種基于實驗的仿真方法，利用MATLAB中fminsearch差值最小化函數，結合實測壓電變壓器電壓增益-頻率響應特性和LRC表來確定PT等效電路模型參數的值。就其特性而言，尤其適合于壓電變壓器等效電路頻率特性仿真精度較高的情況。

1 Rosen型壓電變壓器和等效電路模型

Rosen型壓電變壓器是由一長方形的壓電陶瓷材料組成，如圖1所示。圖中厚度方向極化部分形成輸入端或初級，而在長度方向極化部分形成輸出端或次級。當輸入端加上交變電壓時，由于逆壓電效應，壓電片沿長度方向產生伸縮振動，將電能轉換成機械能；而輸出端則通過正壓電效應將機械能轉化成電能，從而輸出電壓。因為壓電片的長度遠大于厚度，故輸出阻抗遠大于輸入阻抗，致使輸出電壓遠大于輸入電壓。因而Rosen型壓電變壓器最適合的應用之一就是驅動高電壓高阻抗的冷陰極熒光燈，目前廣泛應用于筆記本電腦LCD顯示。

圖1 Rosen型壓電變壓器

壓電變壓器的電特性與諧振回路相似，當壓電變壓器工作在諧振頻率附近時，其集總參數等效電路模型如圖2所示[6]。集總參數電路模型中各元件的值為PT諧振頻率附近的等效值[7,8]。圖2中L，C，R組成串聯諧振支路，L和C決定PT的諧振頻率，R用來衡量PT的機械損耗，Cin和Cout是PT的輸入和輸出端的靜態電容，N為機電轉換率。

圖2 壓電變壓器等效電路模型

2 基于MATLAB最優化函數fminsearch的參數估算

最優化技術是當前科學研究中的一種重要的手段。所謂最優化就是找到使目標函數達到最大或者最小的自變量值的方法。本文的方法基礎是利用曲線擬合技術，即采用實驗測量得到的壓電變壓器電壓增益-頻率響應特性和由壓電變壓器模型參數描述的電壓增益表達式構成一個最小化目標函數，其目標是使得觀測值和預測值之差最小，并且屬于無約束的最優化問題。

2.1 最優化問題

本文應用MATLAB中fminsearch差值最小化函數J，即電壓增益大小的實驗測量值（Mexp）與由壓電變壓器模型參數描述的電壓增益大小（Mequ）的差值平方的和，如（1）式所示。

式中：i表示1到s，s為實驗測量次數；Mequ由如圖2所示的壓電變壓器的等效電路可以得到，如（2）式所示。

在擬合過程中，fminsearch功能函數可以通過調整未知元件的值來確定（1）式中的最小值。未知元件值指（2）式中的 L，C 和 N。 對于 Cin，Cout和 R 是通過普通的LCR表測量得到。通常在低頻或靜態直流下測得Cin和Cout；使PT的輸出端短路，調節LCR表的頻率使輸入阻抗的相位角為零時，測量得到的輸入阻抗值即為R的值。這意味著在擬合過程中僅有L，C和N 3個未知參數需要確定，從而縮短了擬合過程所需時間。

2.2 fminsearch函數及曲線擬合

2.2.1 fminsearch函數

MATLAB優化工具箱提供了多種優化函數[9]，如 linprog，fminunc，fminbnd，fmincon，fminsearch 等。其中fminbnd，fminunc和fminsearch為無約束條件的優化函數。

Fminbnd函數使用黃金分割法和拋物線插值法，只能求解一元實值連續函數在閉區間極值，有時只能求解局部極值。而fminunc和fminsearch則可以用于多元函數求解，其中fminunc只能用來求解連續函數的極值，fminsearch可以求解不連續函數的極值。本文采用fminsearch函數實現電壓增益大小的實驗測量值（Mexp）與由壓電變壓器等效電路元件值得到的模擬增益大小（Mequ）的擬合。函數的用法如下：

其中，fun是目標函數；options是設置優化選項參數；fval是返回目標函數在最優解x點的函數值；exitflag是返回算法的終止標志；output是返回優化算法信息的一個數據結構。

2.2.2 fminsearch曲線擬合

最小二乘法是一種數學優化技術，它通過最小化誤差的平方和找到一組數據的最佳函數匹配。fminsearch極小化函數體現了的最小二乘法問題的基本思想，因此可以利用fminsearch函數進行曲線擬合，具體過程如下。

假設有一組數據xi，yi，i=1,2,3…N， 且只有這一組數據滿足某一函數原型y?=f（a,xi），其中 a 為待定系數向量，則最小二乘曲線擬合的目標就是求出這一組待定系數的值，使其目標函數J為最小。

本文實驗測量得到的電壓增益-頻率響應特性曲線形似拋物線，假設擬合曲線為：y=a*exp(x.^2)+b*exp(x)+c，可以通過m文件或者是函數句柄建立函數，即

這樣能夠返回該假設函數的曲線擬合的未知數值，其中para為一向量，分別代表所設參數的值。

3 基于頻率特性的Rosen壓電變壓器的參數測量和分析

本文基于實測的PT電壓增益-頻率響應特性曲線，采用MATLAB中fminsearch最優化函數擬合求解壓電變壓器模型參數的具體過程概括為：

（1）采用LCR表在低頻時分別測得輸入電容Cin和輸出電容Cout；當PT的輸出端短接，改變LCR表的頻率使阻抗角為零時測得輸入阻抗即為機械損耗電阻R的值。實驗所用儀器為ZL5智能LCR測量儀，樣品采用MPT3006A50L0，測得Cin=125 nF，Cout=16.2 pF，R=0.262 Ω。

（2）通過實驗測量得到PT電壓增益-頻率響應特性，并將其離散測量點形成的曲線轉化為與電壓增益表達式相匹配的優化函數。實驗過程中壓電變壓器的驅動電源由功率信號發生器XD1040提供，輸入電壓和負載端輸出電壓由示波器TDS1002記錄。

（3）采用MATLAB中的fminsearch最優化函數擬合，從而確定模型參數中的L，C及N的參數值。

下面分別討論不同負載時，實測PT電壓增益-頻率響應特性與仿真曲線的擬合情況。

3.1 負載為純電容

當負載為10 pF的電容時，測得PT電壓增益-頻率響應特性，由fminsearch曲線擬合方法得到返回值 L=1.016 mH，C=7.58 nF，N=80.13，將返回值代入PT的電壓增益表達式（2），由MATLAB可以得到PT電壓增益-頻率特性仿真曲線1如圖3所示。

圖3 PT的電壓增益頻率實驗曲線與仿真曲線1擬合

由圖3可以看出，仿真曲線1和實驗曲線吻合度相當好，因此，L，C和N的返回值可以看作是PT模型參數值。然而，改變最優化函數fminsearch的初始點，將實驗所得離散增益點再次做MATLAB參數擬合，會得到另外一組解L=1.033 mH，C=7.4 nF，N=90.96。同樣地，將返回值代入PT電壓增益表達式（2），由MATLAB可以得到PT電壓增益-頻率特性仿真曲線2如圖4所示。

由圖4可以看出，仿真曲線2與原實驗曲線也吻合，因此，L=1.033 mH，C=7.4 nF，N=90.96，也可以看作是PT模型參數值。再次選擇初始位置，仿真得到另外一組解，L=0.878 8 mH，C=8.7 nF，N=100.34。將此組解進行仿真擬合，得到仿真曲線3如圖5所示。三次擬合結果比較如表1所示。

圖4 PT的電壓增益頻率實驗曲線與仿真曲線2擬合

圖5 PT的電壓增益頻率實驗曲線與仿真曲線3擬合

表1 負載為10 pF純電容時，三次擬合結果比較

由圖5和表1可以看出，當負載為10 pF的純電容時，采用fminsearch最優化函數與實測PT電壓增益-頻率響應特性曲線三次擬合，盡管三次仿真結果與實測電壓增益頻率響應特性曲線都吻合，但由于三次仿真結果得到的L，C和N的值誤差較大、數據不可靠，所以測量結果不能作為模型參數值使用。

3.2 負載為純電阻

當負載電阻R=100 kΩ時，測得PT電壓增益頻率響應特性，由fminsearch曲線擬合方法得到參數值 L=1.15 mH，C=7.52 nF，N=78.2，PT 電壓增益頻率特性實驗曲線和仿真曲線1如圖6所示。

圖6 R=100 kΩ時PT電壓增益頻率實驗曲線和仿真曲線1擬合

由圖6可以看出，當負載為100 kΩ的電阻時，諧振頻率約為54.8 kHz左右，PT的電壓增益頻率特性仿真曲線和實驗曲線基本吻合。

將仿真得到的參數值L=1.15 mH，C=7.52 nF，N=78.2，作為fminsearch函數的初始值，再次進行擬合，進一步得到 L=1.10 mH，C=7.78 nF，N=77.5，并得到PT的電壓增益頻率特性仿真曲線2如圖7所示。

圖7 PT電壓增益頻率實驗曲線與仿真曲線1和2擬合比較

圖7中，仿真曲線2得到的曲線和實驗曲線更接近，表明將曲線進行二次擬合后得到的參數更精確。根據此思路，再次將所得到的參數值作為fminsearch擬合時的初始位置，得到另一組解L=0.998 mH，C=7.8 nF，N=76.96，PT 的電壓增益頻率特性仿真曲線3如圖8所示。

圖8 PT電壓增益頻率實驗曲線與仿真曲線1，2和3擬合比較

從圖8中可以看出，仿真曲線2和3基本重合，與實驗曲線相吻合。負載為100 kΩ的純電阻時，三次擬合結果比較如表2所示。

表2 負載為100kΩ純電阻時，三次擬合結果比較

由表2可以看出，3次仿真結果所得L，C和N的值誤差不大，第3次仿真與第2次仿真之間的誤差小于第2次仿真與第1次仿真之間的誤差。因此，第3次仿真結果更接近于真實值。

為了證實數據的真實性，采用純電容10 pF負載進一步驗證，所得仿真結果如圖9所示。

由圖9可以看出，仿真曲線與實驗曲線相吻合。同樣，當負載電阻分別為 10 Ω，15 kΩ，55 kΩ 時仿真結果和實測頻率響應都精確匹配。因此，參數L=0.998 mH，C=7.8 nF，N=76.96 數據可靠， 可以作為樣品MPT3006A50L0的模型參數值使用。

圖9 負載為C=10 pF時PT的電壓增益頻率特性實驗和仿真曲線比較

3.3 壓電變壓器模型參數測量結果分析

樣品MPT3006A50L0的模型參數仿真實驗結果如表3所示。

表3 樣品MPT3006A50L0的模型參數值對比

從表3可以看出，PT的模型參數仿真實驗值和由阻抗分析儀所提供的測量值之間存在一定誤差。但誤差相對較小，不會影響壓電變壓器的電氣特性仿真分析，所以仿真實驗值可以作為PT的模型參數值使用。

4 結論

壓電變壓器模型參數的獲得是仿真分析壓電變壓器電氣特性的關鍵。本文基于實測壓電變壓器的電壓增益頻率響應特性，利用MATLAB中fminsearch差值最小化函數擬合，并借助LCR表測量壓電變壓器模型參數的實驗方法是可行的，仿真實驗數據是可靠的。在實驗過程中為了得到較準確的PT的模型參數，需要考慮以下幾點。

（1）PT的負載特性對于模型參數的測量精度有明顯的影響。當空載或者負載為純電容時，不能保證實驗返回值的唯一性；當負載為純電阻時，可以保證實驗返回值的唯一性和準確性。

（2）實測PT的電壓增益頻率響應特性時，測量點數的多少影響模型參數的測量精度。實驗過程中，在諧振頻率附近實測點步長越小，所測點越多，得到的結果越精確。

（3）在利用MATLAB中 fminsearch優化函數確定模型參數L，C和N的值時，合理選取fminsearch函數的初始位置。

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