基于圖像片的模糊C均值聚類圖像分割

顧建偉

(南通大學現代教育技術中心，江蘇 南通 226000)

1.引言

圖像分割是指把圖像分成具有不同特性的區域并提出感興趣的目標，它是圖像處理到圖像分析的關鍵步驟。近年來，模糊C均值(FCM)算法[1，2]作為一種無監督聚類算法已成功應用在醫療診斷、目標識別和圖像分割等領域，其主要目的在于將向量空間的樣本點按照某種距離度量劃分成一定數量的子空間。

基于圖像片的圖像處理思想[3-4]是近年來剛剛興起的用于去除圖像噪聲的一種方法，其基本原理是將原先圖像處理中的點用局部圖像片來替代，增加了單個像素點的計算信息，在圖像去噪領域得到了很好的應用。本文將這種以片代點的思想應用于基于模糊聚類方法的圖像分割，通過實驗證明本文的方法很好地克服了基于FCM圖像分割所存在的問題，同時該方法也為聚類分割提供了一種全新的思路。

2.模糊C均值聚類

2.1 傳統模糊C均值算法(FCM)

模糊聚類由Dunn[1]首先提出，并由Bezdek[2]推廣為一般的模糊C均值聚類算法。該算法通過最小化一個二次目標函數，將數據集(圖像)劃分為若干類。

FCM算法中目標函數定義如下：

其中，U={uik}∈Rn×c為隸屬度矩陣，V={v1，v2，…，vc}∈Rc×p為c個聚類中心的集合，m∈[1，∞]為加權指數，通過大量研究表明，m的最佳選擇范圍為[1.5，2.5]，通常取m=2較為理想。dik=||xk-vi||A表示第k個樣本到第i類中心vi的距離，||·||A表示A范數，一般定義為歐氏距離。

FCM的目標函數可以通過迭代更新隸屬度矩陣U和聚類中心集合V達到最優解：

不斷更新上述兩式直到聚類中心集合V的變化值小于設定值ε(ε>0)。

傳統的FCM算法在圖像處理過程中主要存在兩方面的缺陷：一是對于圖像噪聲的敏感，這主要是因為傳統的FCM算法僅僅考慮了圖像各個像素點灰度值之間的差別而沒有將圖像的其它信息考慮進去，例如空間信息等；另一個就是隸屬度函數非單峰值的現象[4]。一般認為，當某一點屬于某一類時，該點所對應隸屬度的值應該趨向于1，該點其它類對應隸屬度的值趨向于0，這就是本文所說的單峰值，如圖1(a)所示。但是通過(2)式計算所得的FCM隸屬度uik并無法滿足單峰值特性。圖1(b)中，u1(x)，u2(x)，u3(x)是FCM的隸屬度分布情況，聚類中心為v1=1，v2=3，v3=8。u1(x)在5附近達到局部最大值，因此u1(x)并非單峰值。這種非單峰值的現象在一定程度會影響分類結果。圖1(c)為本文方法的隸屬度分布。

圖1 一維信號的隸屬度分布

2.2 FCM的改進算法

為了克服FCM對于圖像噪聲的敏感性，自FCM被提出之后，人們對其抗噪性進行了大量的研究。因此在傳統FCM算法中加入空間約束成為研究的熱點。

Ahmed等人[5]于2002年提出了BCFCM，將像素點的局部區域均值引入到傳統的FCM目標函數中，以達到抗噪效果，其目標函數如下：

其中xr表示以k點為中心的鄰域Nk中像素點的灰度值，nk為集合Nk的勢，即Nk中的像素個數。參數用來控制該局部項對于全局的影響。在此基礎上，Chen等人[6]提出了BCFCM的快速算法，FCM_S1和FCM_S2，通過提前計算出各個像素點的局部均值來提高算法速度。

隨后，Szilágyi等人[7]將BCFCM算法流程重組，提出了EnFCM。他們首先對圖像進行均值濾波，如下：

其中，ζk表示各個像素點濾波后的灰度值。其目標函數為：

式中，hl表示圖像中灰度級為l，l∈{1，2，…L}總像素點個數，L為圖像的灰度級個數，對于一般的灰度圖像而言，L=256。相應的更新函數為：

無論是經典的BCFCM還是改進的MFGFCM都不可避免地需要通過一些控制參數來控制局部區域約束項，而這些參數的設定往往都要根據具體實驗而定，無法提出一個統一的標準方法，在實現及使用過程中，參數的設定較為繁瑣。針對此問題，本文提出了一種全新的聚類方法。使用圖像片來代替單個像素點的計算，不僅拉大了像素點與聚類中心之間的距離，使得聚類精度更高，同時消除了目標函數中的局部區域控制項，與傳統FCM相比，在參數設置方面僅僅增加了一個片窗口大小的設置，就能夠達到更好的抗噪性能。另一方面，本文還有效地消除了由于FCM所導致的隸屬度函數的非單峰值現象，與理想的隸屬度函數分布十分相近，以達到提高分割精度的目的。

3.基于圖像片的模糊C均值聚類的圖像分割方法

3.1 圖像片的思想

圖像片的思想來源于圖像去噪領域中的一種非局部平均的圖像去噪方法[3-4]，其基本思想是利用圖像的局部相似信息來代替單個像素點的相似信息。這里所謂的局部相似信息即圖像片。圖像片包含更多的圖像信息，能夠比單個像素點更好描述圖像的特征，因此基于圖像片的圖像去噪方法能夠更好地保持紋理等具有重復結構的特征。本文正是在借鑒這種方法的基礎上，將圖像片的思想用于聚類分割算法中，以圖像片代替單個像素點，通過計算圖像片與聚類中心的相似性，增加像素點與聚類中心的距離，雖然在一定程度上拉大了像素點與其所對應聚類中心的距離，但同時也大大增加了該點與其它聚類中心的距離，這樣從整體看來，該方法可以使分類更加精確。另一方面，以片代點的思想，可以很好地克服單個像素點灰度值對于分類的絕對影響，即克服噪聲的影響，從而達到抗噪目的。本文正是使用圖像片來代替單個像素點，通過計算圖像片與聚類中心之間的歐氏距離，來計算該片中心點的隸屬度，達到對該點進行分類的目的。

3.2 本文算法

本文將圖像片代替像素點的思想用于聚類分割，提出了基于圖像片的模糊C均值聚類(IPFCM)方法。

令I：Ω→Rn為定義在連續域Ω?R2上的二維圖像，當n=1時，表示灰度圖像；當n=3時，表示彩色圖像。本文以灰度圖像為例進行介紹。

即圖像中的每一個像素點都對應一個q2維的向量。這對應的目標函數為：

其中，U={uik}∈RN×c為隸屬度矩陣，V=(v1，v2，…，vc)為c個聚類中心的集合，N為圖像中總像素數，m∈[1，∞]為加權指數，取值與FCM相同。=||||A表示第k個圖像片到第i類中心vi的距離，由于片PIk為一個向量，可以采用兩種方式來計算該距離，一是用向量均值，二是用向量總和，為了提高計算速度，本文采用向量均值來計算該距離：

通過式(16)可以看出，本文方法可以很好的控制隸屬度函數的單峰值性，如圖1(c)所示，從中發現本文的隸屬度函數分布與理想分布十分接近，這就很好的克服了FCM方法中非單峰值的特點，進而保證了聚類的精確性。聚類中心集合V的更新如下：

3.3 算法流程

本文算法具體流程如下：

步驟一：初始化參數，設置m=2，ε=0.01，c初始化聚類中心集合V。一般而言，對于灰度圖像，在0到255的范圍內隨機生成c個整數，作為V的初始值，并通過更新達到最佳聚類中心值；

步驟二：設置圖像片鄰域窗口半徑r，并根據公式(9)將圖像中每一個像素點擴展為q2維的向量，其中q=2r+1；

步驟三：根據公式(16)更新隸屬度矩陣U；

步驟四：根據公式(17)更新聚類中心V；

步驟五：比較更新前后的聚類中心，如果||Vnew-Vold||＜ε，則停止迭代輸出結果圖像；否則回到步驟三繼續更新迭代。

4.實驗結果

首先討論圖像片半徑的選取，再對人工合成灰度圖像不同方法的實驗結果進行定量比較；最后對醫學圖像進行實驗。

4.1 圖像片大小的選擇

與FCM相比，本文唯一的額外參數為圖像片半徑r的設置。r越大，聚類分割的抗噪性越強，但在增加算法時間復雜度的同時容易造成圖像邊緣點的誤分類；r越小，雖然提高了圖像的分割精度，減小了算法的時間復雜度，卻是以犧牲抗噪性為代價的。如圖2所示，第一行為噪聲較小的不同圖像片半徑的分割結果；第二行為噪聲較大的不同圖像片半徑的分割結果。圖2中，對于噪聲較小的圖像而言，r=1的圖像片克服圖像中噪聲影響的同時，很好的保持了圖像邊緣，在區域的交界處誤分類點數很少，隨著的增大，區域交界處愈加的不平滑，r=3時圖像區域交界處甚至出現了“過渡區域”。當圖像噪聲較大時，r=1的圖像片的抗噪效果明顯不如r=3的圖像片，但是r=3時圖像區域交界處出現“過渡區域”，這將導致分割精度的大幅度降低。對于實際圖像而言，雖然噪聲是不可避免的，但其強度相對較低，同時結構比較復雜，圖像各個區域交界處較多，因此一般采用r=1的圖像片來進行處理。

圖2 不同噪聲不同圖像片大小的分割結果

圖3顯示了本文方法不同圖像片大小的圖像分割結果。圖像來源于BrainWeb1，原圖為加噪9%的MR腦圖像。對比實驗顯示出，隨著圖像片半徑的增大，分割結果變得更為平滑，灰質與白質的邊緣部分細節丟失更為嚴重。

圖3 不同圖像片對加噪9%圖像的分割結果

本文對MR圖像的分割精度進行了定量分析。目前，已有很多種圖像分割精度的評判標準，本文采用較常用的兩種方法：JS(Jaccard similarity)方法[8]和DC(Dice coefficient)方法[8]，其度量公式依次為：

(18)、(19)式中，S1，S2表示需要比較的兩幅分割結果，這里使用分類分割后的結果與BrainWeb中的人工分割結果進行比較。|·|表示相應區域中的像素點個數。這里采用公式(18)對圖3的分割結果進行精度計算，如表1所示。通過表1的定量分析證明了上述現象。盡管很好的克服了噪聲的影響，但是圖像分割精度過差，r越大分割精度也就越低，無法滿足實際需要。當r=0時，此時的IPFCM方法退化為FCM方法，分割圖像的細節能夠得到較好的保持，但對于噪聲的敏感性是無法避免的，這也是FCM本身無法克服的缺陷。從實驗結果可以看出，r=1的圖像片處理結果無論在分割精度、細節保持還是克服噪聲方面，都具有很好的效果。

表1 不同圖像片對加噪9%圖像的分割結果精度計算(JS)

實驗過程中，基本參數設定為：m=2，ε=0.01，所有聚類方法均使用半徑r=1的窗口，人工合成圖像中c=3，醫學圖像中c=4，聚類中心則根據c的大小隨機生成相應的聚類中心集。

4.2 合成圖像

圖4為各個聚類方法的分割結果比較。該圖像來自IBSR，選用256*256大小的帶噪圖像對FCM、BCFCM、En-FCM、FGFCM、MFGFCM、IPFCM這六種方法進行方法比較。其中，只有FCM與IPFCM不需要額外的參數設定，BCFCM、EnFCM、FGFCM、MFGFCM均需要一個或幾個控制參數，這些參數的設定并非本文重點，這里不一一列舉。圖4中，FCM方法對于噪聲的敏感顯而易見，BCFCM不僅無法達到滿意的抗噪結果，其效率也十分低下，運行開銷較大；EnFCM與FGFCM方法雖然比較地好提高了運行速度，但是分割結果還是可以看到該方法無法消除的部分噪聲；從結果來看，MFGFCM與IPFCM的抗噪性最好，細節上本文方法要優于MFGFCM。

圖4 各種聚類分割方法比較

對于合成圖像的分割精度計算，采用如下公式：

計算結果如表2所示。通過表2的對比，在相同噪聲的情況下，IPFCM的分割精度最高。這些噪聲圖像都是在圖4 (a)的原圖基礎上增加不同的噪聲，其中，Gaussian1、Gaussian2、Gaussian3都是均值為0，方差依次為0.01、0.03、0.05的高斯白噪聲；Impluse為椒鹽噪聲；M ixed1、M ixed2分別為方差為0.04、0.08的混合噪聲。

表2 不同噪聲水平下各方法分割精度的定量分析

由于噪聲強度問題，以上分析只能體現出MFGFCM與IPFCM擁有較好的抗噪性，但兩者之間的比較不夠突出，圖5使用了另外一幅合成圖像，從中明顯可以看出IPFCM的抗噪性明顯優于MFGFCM。

圖5 MFGFCM與IPFCM方法比較

4.3 MR腦圖像

本文對核磁共振(MR)圖像使用EnFCM、MFGFCM、IPFCM三種方法在不同噪聲水平下的分割結果進行比較。由于本文是針對聚類方法提出的新思想，而不是針對腦圖像應用，沒有加入MR腦圖像去偏移場的計算，因此本文選用T1模態1mm切片厚度無偏移場的不同噪聲水平下的腦圖片，圖6第一列的三幅圖像分別為加噪0%、3%、9%的第96針腦圖像，其分割結果如圖6第二至第四列圖像所示。

圖6 EnFCM、MFGFCM、IPFCM方法MR腦圖像分割結果

通過EnFCM、MFGFCM、IPFCM三種方法的比較，還是可以看出IPFCM在抗噪方面是最好的。

表3列出了圖6中各種方法分割后灰質、白質的分割精度。通過定量分析得出在克服噪聲影響的同時IPFCM在同類方法中的分割精度較高，且無需過多參數設定，具有較強的可靠性。

表3 EnFCM、MGFCM、IPFCM方法分割結果精度計算(JS、DC)

以上多組不同類型的實驗，對IPFCM進行了全面的分析，不僅表明了IPFCM的有效性和精確性，同時還對圖像片半徑的選擇進行了討論。一般情況下，建議設置半徑為r=1。4.1中的實驗表明圖像片窗口越大，IPFCM的抗噪性就越強，但是邊緣模糊現象就越明顯。4.2和4.3中的實驗顯示，當圖像片半徑為時，無論合成圖像還是MR腦圖像，IPFCM都可以得到較高的分割精度，因此圖像片半徑為具有很強的適用性。

5.結論

本文提出一種全新的基于圖像片進行模糊C均值聚類的圖像分割理念與IPFCM方法，通過實驗對比發現，IPFCM很好地克服了FCM分割方法對于噪聲的敏感以及隸屬度函數的非單峰值的缺陷，具有很好的抗噪性和較高的分割精度，圖像的隸屬度函數與理想隸屬度函數十分接近。與同類方法相比，IPFCM不需要過多的參數設定，具有很好的魯棒性和較強的可靠性。同時，本文將聚類中心的每一個成員擴展為一個向量，并給出了向量聚類中心的更新公式，為日后將多種圖像特征加入FCM對圖像進行分割提供了充分的理論基礎。需要指出的是，本文采用正方形圖像片，并未將圖像像素點的方向信息考慮進去，使得圖像細節部分容易被起周邊像素影響而丟失信息。另一方面，當使用半徑較大的圖像片時，將會不可避免的降低分割精度，可以對分割后的圖像進行二次聚類以提高分割精度。如何在圖像片中加入方向信息，以及引入哪些圖像特征將是未來研究工作的重點。

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