離散變量結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)的混合遺傳算法＊

朱朝艷 張延年 郭鵬飛 王學(xué)志

(遼寧工業(yè)大學(xué)土木建筑學(xué)院1) 錦州 121001) (沈陽(yáng)建筑大學(xué)土木工程學(xué)院2) 沈陽(yáng) 110168)

0 引 言

結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)需求解兩類變量即截面尺寸變量,與描述結(jié)構(gòu)幾何外形的形狀設(shè)計(jì)變量,不僅設(shè)計(jì)變量的數(shù)目增多,而且截面變量與形狀變量對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)而言具有不同的非線性性質(zhì),兩者的量綱、量級(jí)通常也不同,兩類變量的耦合可能導(dǎo)致收斂上的困難.對(duì)于離散變量結(jié)構(gòu)問題,由于截面面積只能取離散值,因此問題就成為一個(gè)非線性混合離散變量?jī)?yōu)化問題,求解起來(lái)更為困難.傳統(tǒng)的形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)一般采用分層優(yōu)化方法[1-3],雖然使用有效且易于操作,但由于分層優(yōu)化導(dǎo)致變量空間上的分割,可能帶來(lái)的后果是解空間可行域的縮小,這樣有可能丟失真正的最優(yōu)解.近年來(lái),將兩類變量綜合考慮的形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)方法越來(lái)越引起人們的關(guān)注,并成為研究熱點(diǎn),但迄今為止,成果不多,離散變量問題這方面的成果更少,在國(guó)內(nèi)對(duì)此有突出貢獻(xiàn)的是孫煥純和石連栓[4-5].本文用擬滿應(yīng)力遺傳算法來(lái)解決離散變量結(jié)構(gòu)的形狀優(yōu)化問題,取得了較為滿意的結(jié)果.

1 離散變量結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型

離散變量結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的設(shè)計(jì)變量為桿件的截面積和節(jié)點(diǎn)坐標(biāo),目標(biāo)函數(shù)一般為結(jié)構(gòu)的總體重量,約束條件為應(yīng)力約束、節(jié)點(diǎn)的位移約束、穩(wěn)定約束和動(dòng)態(tài)約束等.

以桿系結(jié)構(gòu)受應(yīng)力和位移約束的形狀優(yōu)化問題為例,數(shù)學(xué)模型可表達(dá)為

求A,X

2 擬滿應(yīng)力遺傳算法

標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中存在計(jì)算量大、收斂進(jìn)程慢以及容易陷入局部最優(yōu)解等問題,而擬滿應(yīng)力方法迭代次數(shù)少,容易收斂,具有很強(qiáng)的局部尋優(yōu)能力.本文將擬滿應(yīng)力算法與遺傳算法相結(jié)合,在遺傳算法中嵌入擬滿應(yīng)力算子,與標(biāo)準(zhǔn)遺傳算子共同構(gòu)成一種混合遺傳算法——擬滿應(yīng)力遺傳算法.同時(shí)還采用最優(yōu)個(gè)體保留、最差個(gè)體替換和控制種群個(gè)體差異等改進(jìn)措施[6].這種混合遺傳算法結(jié)合了兩種算法的優(yōu)點(diǎn),它克服了擬滿應(yīng)力法解決問題的局限性,又比標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法更加快速有效.

擬滿應(yīng)力遺傳算法的步驟如下.

1)進(jìn)化代數(shù)計(jì)數(shù)器初始化：k=0.

2)隨機(jī)產(chǎn)生初始種群P(k).

3)評(píng)價(jià)種群P(k)的適應(yīng)度.

4)選擇群體中2個(gè)個(gè)體以概率Pc進(jìn)行交叉操作：P′(k),←Crossover[P(k)].

5)對(duì)子代群體中每個(gè)個(gè)體以概率Pm進(jìn)行變異操作：P″(k),←Mutation[P′(k)].

6)對(duì)子代群體中每個(gè)個(gè)體以概率Ph進(jìn)行擬滿應(yīng)力操作：P?(k),←Full-stress[P″(k)].7)評(píng)價(jià)群體P?(k)的適應(yīng)度.

8)個(gè)體選擇、復(fù)制操作：P(k+1)←Rrproduction[P(k)∪P?(k)].

9)將該代中最優(yōu)個(gè)體與該代前最優(yōu)個(gè)體比較,并用比較后的最優(yōu)個(gè)體替換該代中最差個(gè)體,直接進(jìn)入下一代進(jìn)化.

10)進(jìn)化終止條件判斷：若不滿足進(jìn)化終止條件,則：k←k+1,轉(zhuǎn)到第3)步,繼續(xù)進(jìn)化過程;若滿足進(jìn)化終止條件,則輸出最優(yōu)個(gè)體.

3 基于擬滿應(yīng)力遺傳算法的形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

3.1 兩類變量的耦合方法

將形狀變量和截面變量分開考慮可降低求解的難度但并不能保證得到全局最優(yōu)解,只有將兩類變量綜合考慮才是解決問題的有效辦法.但是將兩類變量統(tǒng)一考慮,可能由于兩者的量綱和優(yōu)化過程中量級(jí)的不同而導(dǎo)致算法收斂上的困難,甚至發(fā)散.為了解決兩類變量間的耦合問題,本文采用的方法是將形狀變量和截面變量編碼表示在同一個(gè)染色體中,這樣兩類變量在遺傳算法中被統(tǒng)一表示成位串形式.由于遺傳算法的操作對(duì)象是變量編碼后的位串,并且對(duì)問題的要求僅僅是能求出非負(fù)的適應(yīng)度值,遺傳算法就可以以適應(yīng)度值為依據(jù)指導(dǎo)搜索,從而找到全局最優(yōu)解.

3.2 兩類變量統(tǒng)一表示的編碼和解碼方法

用一定長(zhǎng)度的二進(jìn)制染色體代表一個(gè)設(shè)計(jì)變量,多個(gè)染色體首尾連接構(gòu)成設(shè)計(jì)變量空間.這種編碼方法,容易處理設(shè)計(jì)變量為離散/連續(xù)混合的結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化問題.

設(shè)形狀變量個(gè)數(shù)為n1,每個(gè)變量的二進(jìn)制子串長(zhǎng)度為m1,截面變量個(gè)數(shù)為n2,每個(gè)變量的二進(jìn)制子串長(zhǎng)度為m2,則形狀變量位串總長(zhǎng)度為n1?m1,截面變量位串總長(zhǎng)度為n2?m2,再將表示形狀變量的n1個(gè)m1位的子串和表示截面變量的n2個(gè)m2位的子串首尾相連,即形成一個(gè)染色體,它可以表示一個(gè)個(gè)體.編碼方法如圖1所示,圖中“＊”為通配符,代表1或0.

解碼時(shí),將表示一個(gè)個(gè)體的二進(jìn)制染色體串按照形狀變量和截面變量的位串總長(zhǎng)度分成兩個(gè)部分,然后再將表示形狀變量的位串分成n1段,每一段表示n1個(gè)形狀變量中的一個(gè)變量;將表示截面變量的位串分成n2段,每一段表示n2個(gè)截面變量中的一個(gè)變量.然后根據(jù)二進(jìn)制位串與十進(jìn)制數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可得出十進(jìn)制數(shù),并對(duì)應(yīng)地映射到變量的離散值或連續(xù)值.

圖1 編碼方法示意圖

3.3 優(yōu)化策略

本文主要解決離散變量的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題,因此比較適合用二進(jìn)制編碼表示.但形狀變量可以是連續(xù)變量,也可以是離散變量.當(dāng)形狀變量是離散變量時(shí),優(yōu)化問題依然為離散變量問題,而當(dāng)形狀變量是連續(xù)變量時(shí),則優(yōu)化問題為混合離散變量問題.此時(shí)二進(jìn)制編碼的長(zhǎng)度直接影響連續(xù)變量的求解精度,若想提高解的精度必須采用較長(zhǎng)的編碼,這必然會(huì)影響求解的效率.若將形狀變量用實(shí)數(shù)碼表示,而截面變量用二進(jìn)制碼表示,則在解碼和交叉、變異等操作上處理起來(lái)又過于繁瑣,基于此,本文對(duì)兩類變量仍采用二進(jìn)制編碼.為了解決搜索效率問題,對(duì)形狀變量采用二級(jí)編碼方法對(duì)應(yīng)二級(jí)搜索,首先采用一個(gè)較短的編碼在整個(gè)搜索空間進(jìn)行粗粒度搜索,由于遺傳算法有很好的全局搜索性,可以很快搜索到最優(yōu)點(diǎn)附近,然后再在最優(yōu)點(diǎn)的附近區(qū)間重新編碼,繼續(xù)進(jìn)行細(xì)致搜索.采用這種二級(jí)處理方法,由于在整個(gè)搜索過程中形狀變量的子串都不長(zhǎng),可以顯著地減小搜索空間,因而可以在很大程度上加快搜索進(jìn)程.

4 優(yōu)化算例

例1 37桿桁架簡(jiǎn)支橋

該例題選自文獻(xiàn)[7].桁架簡(jiǎn)支橋結(jié)構(gòu)受均布載荷作用.初始設(shè)計(jì)見圖2,截面積均為8 cm2.假設(shè)結(jié)構(gòu)下弦節(jié)點(diǎn)固定不動(dòng),節(jié)點(diǎn)載荷P=10 kN.上弦節(jié)點(diǎn)可沿垂直方向移動(dòng).節(jié)點(diǎn)10的垂直位移受到約束,要求小于l cm(跨度的1/1 000).結(jié)構(gòu)對(duì)稱性保持不變,最小截面積為0.5 cm2.材料彈性模量E=210 GPa,密度ρ=7 800 kg/m3,全部桿件的許用應(yīng)力均為240 MPa.

圖2 桁架橋結(jié)構(gòu)

原題為連續(xù)變量?jī)?yōu)化問題,要求最小截面積為0.5 cm2,本文從標(biāo)準(zhǔn)型鋼表中選取29個(gè)數(shù)值,各桿截面積離散集為S={0.503,0.636, 0.785,0.950,1.131,1.327,1.539,1.767,2.011, 2.270,2.545,2.835,3.142,3.464,3.801,4.155, 4.524,4.909,5.309,5.726,6.158,6.605,7.069, 7.548,8.042,8.553,9.079,9.621,10.18}cm2.

考慮結(jié)構(gòu)對(duì)稱性要求,將截面設(shè)計(jì)變量分成19組,將坐標(biāo)設(shè)計(jì)變量分成5組,分組情況表1所列.標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法、擬滿應(yīng)力遺傳算法的優(yōu)化結(jié)果見表2所列,約束條件均滿足要求.

表1 桁架橋變量連接情況

表2 桁架橋優(yōu)化結(jié)果 m

從表2可以看出,本文采用的方法與標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法相比,重量下降了4.15%;和文獻(xiàn)[7]優(yōu)化后的結(jié)果相比,重量減輕了4.47%.再與文獻(xiàn)[7]的初始設(shè)計(jì)比較,文獻(xiàn)[7]的初始設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)重量為256.73,即25 159.54 N,擬滿應(yīng)力遺傳算法形狀優(yōu)化后重量為475.01 N,重量較文獻(xiàn)[7]的初始設(shè)計(jì)降低了81.12%,可見用本文采用的基于擬滿應(yīng)力遺傳算法的將兩類變量綜合考慮的形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)的效果是十分明顯的.

5 結(jié)束語(yǔ)

本文將擬滿應(yīng)力遺傳算法應(yīng)用于離散變量結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化問題.將形狀設(shè)計(jì)變量和截面設(shè)計(jì)變量綜合考慮,同時(shí)采用二級(jí)搜索策略減少整個(gè)搜索過程中形狀變量的搜索空間,進(jìn)而加快搜索進(jìn)程.通過算例表明,本文的優(yōu)化策略和優(yōu)化算法是可行和有效的.

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