投影變換過程的可靠性評價＊

李 卉 鐘 成 李德仁 邵振鋒

(中國地質大學(武漢)空間科學技術研究中心1) 武漢 430074)

(中國地質大學(武漢)教育部長江三峽庫區地質災害研究中心2) 武漢 430074)

(武漢大學測繪遙感信息工程國家重點實驗室3) 武漢 430079)

關于各個坐標系之間的變換方法,前人提出了解析變換法、數值變換法和數值解析變換法等方法[1].解析法需要確切的知道兩投影間坐標變換的解析計算公式,以及橢球參數,空間參考系的參數;數值法的參數解算依賴于公共點的選擇和分布,缺乏廣泛的適應性;數值解析法兼具二者的優點和缺點.傳統的大地網三角測量或者地方坐標的測量都帶有各種信號和噪音,不可能存在一個普遍適用的最優變換模型[2].因此需建立一套坐標變換模型的質量評價指標,從而選擇滿足具體應用的最優模型.以往坐標變換僅考慮精度這一項指標,近來國外學者的研究主要以幾何變形為主要評價指標,未顧及模型的抗差性[3-5].本文認為優良的變換應具備良好的精度、可靠性、可逆性、惟一性、擴展性和效率,文中重點就投影變換的可靠性進行研究,驗證其必要性、有效性和可行性.

1 可靠性評價體系與指標

誤差反映在改正數的程度以及不可發現的模型誤差對平差結果的影響是平差模型內外可靠性的問題[6-7].對于依賴于公共點的轉換模型,需要研究其內外可靠性,分析其抵抗粗差的能力.可靠性指標包括平差模型的幾何條件,內外可靠性,粗差的可區分性放大倍數.

1.1 幾何條件

設有線性化的高斯-馬爾柯夫模型

式中：l為觀測值向量;V為改正數向量;A為線性化的系數矩陣;Δ?x為未知數相對于近似值的改正數.其法方程為

其觀測值改正數的最小二乘解為

該式描述了改正數與平差中輸入量之間的關系,改正數取決于幾何條件矩陣(QvvP).(QvvP)的跡等于平差模型的多余觀測數r.稱(QvvP)的第i個對角元素為第i個觀測值的多余觀測分量

1.2 內外可靠性

平差模型的內可靠性表示反映在殘差中,在一定顯著性水平α0和檢驗功效β0下能被發現的粗差下界值▽0li.在單個一維備選假設下

式中：δ0為由于粗差而導致的非中心化參數;下界值▽0li為該點發現粗差的能力.

平差模型的外可靠性表示不可發現的粗差對平差結果(包括全部未知參數Δ?x及其他)的影響.對于單個粗差,若觀測值不相關,則得到第i個觀測值不可發現的粗差對平差未知數的影響向量長度

1.3 可區分性放大倍數

粗差的可區分性,即粗差的定位能力,是評估平差系統抗差能力的重要指標.定義標準化殘差的相關性

在給定顯著性水平α0,檢驗功效β′0和區分可能性(1-γ′0)下,得粗差可區分性放大倍數

2 實驗與討論

實驗在我國境內北緯32～36°,東經108～114°地區進行,對應1∶100萬比例尺,公共點304個.實驗中公共點分布有兩種：(1)選定初始子集,在該集上逐個增加,此為非均勻的連續平差; (2)由均勻分布的n個公共點開始解算,逐個增加解算點數,同時要求保持均勻分布,此時要重新在公共點集選取子集,此方法不同于在初始子集上的逐個增加,避免了對其的過度依賴,稱為均勻連續平差解算.

2.1 多余觀測分量實驗

因為實驗中不能求法方程系數陣的逆矩陣,所以采用Forstner在模擬觀測值上逐一引入粗差▽li的方法,由平差后的殘差▽vi,近似求多余觀測分量ri.

圖1、圖2和圖3列出了不同變換模型在不同解算點分布的多余觀測分量分布(x方向).

圖1 解算點均勻分布時平面相似變換模型平差多余觀測分布

圖2 解算點均勻分布時二元二次多項式平差多余觀測分布

實驗結果表明：(1)當引入粗差足夠大,可以忽略其他誤差的影響,則由式(9)求得的多余觀測分量可視為真值,實驗證明其和等于平差模型的多余觀測數;(2)實驗對600個均勻分布的公共點求多余觀測分量,耗時5.203 0 s,鑒于幾何條件矩陣(QvvPll)的難以求解,以模擬粗差求多余觀測分量不失為效率較高的近似方法;(3)二元二次多項式平差模型應有12個待解參數,實驗推出其必要觀測數為10,經平差解出參數a00和b00在10-7數量級,且系數為1,故此待定參數沒有必要性,證明由式(9)可以確定必要參數個數;(4)平面相似平差模型必要觀測數少,在同樣解算點條件下,其平均多余觀測分量較大,且多余觀測分量分布較二元二次多項式均勻,有較好的幾何條件; (5)解算點均勻分布時,隨著解算點數的增加,每個觀測點的多余觀測分量皆得到改善,而非均勻增加解算點,無法增大初始子集的多余觀測分量,其可靠性不能得到改善,若含有粗差,不易發現,對平差模型的影響是巨大的,故解算點均勻分布的幾何條件好于非均勻分布.

圖3 解算點非均勻分布時二元二次多項式平差多余觀測分布

2.2 內外可靠性實驗

求得各觀測點的多余觀測分量后,可根據式(5)和式(6)解求各觀測點的內外可靠性,圖4為10個解算點時,不同平差模型和公共點分布下各點殘差、內外可靠性分布,其數值皆為相對于標準差的比率.實驗取顯著性水平,檢驗功效β=80%,則

圖4 10個解算點可靠性分布

經統計：解算點均勻分布時,平面相似變換模型內可靠性期望4.963 8,標準差0.324 8外可靠性期望2.715 5,標準差0.580 6;解算點均勻分布時,二元二次多項式內可靠性期望6.326 6,標準差1.774 2,外可靠性期望 4.606 4,標準差2.256 4;非均勻分布時,二元二次多項式內可靠性期望6.589 2,標準差2.381 5,外可靠性期望4.865 9,標準差2.941 6.

2.3 可區分性放大倍數實驗

求得各觀測點的多余觀測分量后,據式(7)和式(8)解求各觀測點間的可區分性放大倍數.由于難以求解,和計算的復雜性,一般在用Baarda數據探測法取得可疑點后,方計算可疑點間的可區分性放大倍數,確定粗差能否被定位.計算得到10個解算點均勻分布時,平面相似變換模型的標準化殘差的相關系數矩陣如下.

實驗結果表明：(1)10個均勻分布解算點時,平面相似變換模型的觀測點間的最大相關系數在0.4～0.5間,當取顯著性水平α0=0.1%,檢驗功效區分可能性時,查表可得k小于1.015,即2點間可區分粗差小于可發現粗差的1.015倍;(2)對均勻分布的二元二次多項式,其最大相關系數接近0.8,k約為1.063;(3)對基于子集的二元二次多項式,其最大相關系數接近0.97,k約為2.191;(4)隨著解算點數增加,均勻分布各點間的標準化殘差相關系數將逐漸減小,則模型粗差區分性變好.

由以上分析,可得：(1)根據可區分性放大倍數計算結果,本文實驗可直接采用Baarda數據探測法發現且定位粗差;(2)均勻分布的公共點獨立性好,可稱為不相關觀測,且解算點越多,各點的相關性越小;(3)平面相似變換及二元二次多項式變換皆有良好的粗差可發現性和可定位性,平面相似變換又稱Robust坐標變換.

3 結 論

1)本文提出的投影變換各項可靠性指標是可行的、有效的,是實際工作中尋找最優變換模型和幾何條件的有力工具之一.

2)坐標變換地區公共點的選擇與分布,數據的相關性等幾何條件,與變換模型的性質對投影變換的可靠性有顯著的影響.

3)投影變換,應結合本地區的條件,選擇均勻分布,獨立的公共點,和各項指標優良的變換模型,則可得到較好的投影變換質量.

4)就本地區的實驗成果,平面相似變換具有優異的可靠性,在無粗差或剔除粗差的情況下,又有良好的精度,可以作為嚴密坐標變換模型的替代,二元二次多項式其可靠性劣于平面相似變換,理想狀態的解算精度亦較低,二元三次多項式的各項指標更差,可見不是次數越高,待解參數越多,就能獲得越好的投影變換質量,反而增加解算時間和難度.

[1]楊啟和.地圖投影變換原理與方法[M].北京：解放軍出版社,1989.

[2]Wu Chen,Chris Hill.Evaluation procedure for coordinate transformation[J].Journal of Surveying Engineering,2005,131(2)：43-49.

[3] You Reyjer,Hwang Hwawei.Coordinate transformation between two geodetic datums of taiwan by least-squares collocation[J].Journal of Surveying Engineering.2006,132(2)：64-70.

[4]Abusali P A M,Schutz B E,Tapley B D.Transformation between SLR/VLBI and WGS-84 reference frames[J].Bull.Geod,1995,69(2)：61-72.

[5] Benning W.Nachbarschaftstreue restklaffenverteilung fǜr koordinaten transformationen[J].Z.f. Vermessungswesen,1995,120(1)：16-25.

[6]李德仁,袁修孝.誤差處理與可靠性理論[M].武漢：武漢大學出版社.2002.

[7]黃維彬.近代平差理論及其應用[M].北京：解放軍出版社,1992.