間瞄尋的導彈末段最優制導建模與仿真

徐文旭，李召，張更宇

(63961 部隊，北京100000)

0 引言

間瞄尋的導彈用于超視距精確打擊坦克和低空飛行的直升機等目標。為了保證命中精度，采用分段制導方式，即在中段制導成功的前提下(導引頭視場與目標交匯，并成功鎖定目標)，再實行末段制導。

長期以來，末段尋的導彈導引律主要針對非機動或機動程度不大的飛行目標進行設計［1］，純比例導引在這種背景下是一種有效的導引律。然而對于直升機這樣的機動目標，采用純比例導引的導彈會在彈道末端出現較大的視線角速度，當可用過載較小時會產生較大脫靶量。

因此，人們研究了高級導引規律，考慮目標機動對制導精度的影響，并考慮導彈對指令響應的滯后性，這種導引規律對導彈需用過載需求較小，并且產生很小的脫靶量，稱為最優制導［2-3］。然而最優制導律在工程實際應用中需要已知目標機動及導彈剩余飛行時間，但目標機動過程很難準確描述。文獻［3-4］將目標機動統計特性描述為目標加速度的微分是白噪聲，同時導引頭的視線角速度量測噪聲也是白噪聲，并建立最優制導條件下的系統狀態模型和測量模型，利用Kalman 濾波算法求解狀態模型，能獲得較小的脫靶量。

本文則將目標機動統計特性描述為目標加速度的微分是有色噪聲序列［5-7］，并建立相應的狀態模型，這比統計獨立的白噪聲序列具有更大的目標機動模式覆蓋范圍。然后也用Kalman 濾波算法求解狀態模型，通過仿真分析目標機動對導彈命中精度的影響，驗證該方案在不改變導彈硬件的前提下，提高導彈攻擊低空直升機等高機動目標命中精度的能力，為間瞄尋的導彈實現最優制導提供設計參考。

1 最優制導尋的回路

1.1 最優導引律簡介

文獻［4］在追擊或迎擊情況下，將彈目相對運動間的幾何角度關系線性化，給出了比例導引和擴展比例導引的統一形式。擴展比例導引解決了目標加速機動問題，但當制導系統存在慣性延遲時，仍有較大脫靶量。針對慣性延遲問題，文獻［4］164又給出了最優制導律，列出如下(表述形式略有變化):

其中:N'為有效導航比;ac為指令加速度;at為目標機動加速度;aL為將ac輸入某慣性環節后的輸出，滿足T(daL/dt)+aL=ac，T 為該慣性環節的時間常數;y 為導彈在慣性參照系中垂直于當前的彈目瞄準線方向的位移向量;tg0為待飛時間，tg0=tmax-t，tmax為總飛行時間;最后，定義

可以看出，最優制導的有效導航比N'與制導時間常數T 和待飛時間tg0有關。若不考慮慣性延遲，最優制導規律就是擴展比例導引規律。若進而略去目標機動加速度，就得到傳統的比例導引規律。即便目標有機動加速度并且導彈具有慣性滯后，理論上，最優制導律仍能消除脫靶量。

1.2 最優制導系統狀態模型和測量模型

為了實現最優制導，必須已知目標的加速度信息，這對導引頭的測量能力提出了很高的要求。將Kalman 濾波技術應用于最優制導尋的回路，能夠及時獲得目標加速度的估計信息而不必增加測量硬件。

在將目標機動統計特性描述為目標加速度的微分是有色噪聲序列［5-7］情況下，Kalman 濾波估值的制導系統狀態方程為

其中，與式［4］中的相應方程不同之處在于第三行，即目標機動的模型結構為1 階馬爾柯夫過程的時域動力學方程

其中，Wt(t)是與機動加速度相關的白色噪聲，且滿足

即Wt(t)的方差強度為2αtσ2t.

atmax為最大機動加速度，其發生概率為Pmax，非機動發生概率為P0;αt=1/τt，τt為機動相關時間常數，通常取經驗值，如果目標為較慢的持續機動，取τt=60;如果目標做快速的短暫機動，取τt=10.

導引頭量測方程為

通常導引頭只能測出視線角λk，λk的值帶有量測噪聲，將之與彈目距離的估值vctg0相乘，得到帶有噪聲的偽測量值zk.

設定uk為白噪聲，標準差由σyk=vctg0σλk給出，這種假設不失一般性。

Kalman 濾波方程的形式仍與文獻［4］182一致，如下

其中，Kk為增益矩陣，由遞推矩陣方程計算

Pk代表更新前的狀態估計誤差，Mk代表更新后的狀態估計誤差，Qk為離散過程噪聲矩陣。

2 最優制導精度仿真

間瞄尋的導彈末制導方式為電視或紅外成像主動導引，識別低空直升機目標距離大于2 km，識別目標后進入末制導，要求脫靶量≤1 m，末制導最大飛行時間tmax=10 s 左右。

Kalman 濾波器應用于最優制導尋的回路，前提條件是已知導引頭量測噪聲及目標機動統計特性。導引頭量測噪聲由導引頭及彈上測量器件的精度決定，對于特定的產品為一固定值，此處為σλ=0.001 rad.

對于直升機目標的機動統計特性，由于直升機動力性能和駕駛員生理條件的限制，其機動強度有一個限度。此處假設其最大機動加速度atmax=10 m/s2(1 g 左右)，發生概率Pmax=0.1;非機動發生概率P0=0.5;機動時間常數的倒數αt=0.1，計算得σ2t=30 m/s2.

末制導初始條件為:導彈速度為vm0=200 m/s，導引頭初始指向角為ε0=5°=0.087 3 rad，直升機目標初速為vt0=30 m/s，與彈目線呈αt0=0°角相向行駛，因此彈目相對速度vc=230 m/s.

tg0的初始估計值為末制導最大飛行時間tmax，實際仿真中，利用上一次得到的tg0減去采樣間隔作為本次tg0的值。

初始狀態估計確定為

初始估計誤差協方差陣確定為

初始估計誤差P0的確定不是唯一的，但仿真表明以上取值對狀態估計的收斂速度有較好貢獻。

Kalman 濾波采樣步長設為ts=0.1 s.

仿真計算時，由于暫無導引頭測量值，測量值用最優制導計算的理論值疊加白噪聲來表示，理論值在Kalman 濾波采樣步長內部用龍格庫達方法迭代計算，計算步長為0.01，疊加的白噪聲來自量測噪聲σλ=0.001 rad;因此最優制導仿真的外層是步長為0.1 s 的Kalman 濾波迭代，內層是步長為0.01 s龍格庫達迭代。

用以上條件進行100 次的蒙特卡羅最優制導仿真，得出每個時刻的系統狀態估計，從而獲知導彈脫靶量均值、目標加速度、導彈加速度等指標，見圖1、圖2和圖3.

圖1 3 種導引律的脫靶量均值比較Fig.1 Mean of three guidance law’s miss distance

圖2 Kalman 濾波預測的直升機目標加速度Fig.2 Helicopter acceleration forecasted by Kalman filter

圖1表明，在考慮導彈慣性滯后以及目標機動的情況下，對于間瞄尋的導彈，當采用比例導引和擴展比例導引時，只有當末制導時間大于4 s 時，才能達到要求的制導精度。

若是采用比例導引，當末制導時間小于4 s 時(這時大約離目標還有800 m 左右)，脫靶量將大于1 m，不能滿足指標要求。因此，該導彈必須在距離目標800 m 之前就由中段制導轉入末端制導，才有可能有效命中直升機目標。

若是采用擴展比例導引，當末制導時間小于3.2 s(這時大約離目標還有640 m 左右)，脫靶量大于1 m，不滿足指標要求。因此，該導彈必需在距離目標640 m 之前就由中段制導轉入末端制導，才有可能命中直升機目標。從圖3可以看出，如果末制導時間足夠，擴展比例導引對導彈的加速度需求低于比例導引。

圖2表明，Kalman 濾波對直升機機動的預測在實際的直升機機動值左右波動，2 s 后對直升機加速度估值誤差穩定下來，并達到較高精度。

圖3表明，利用預測的直升機加速度，最優制導所需的導彈加速度很小，并能夠使導彈在末制導時間0.5～10 s 范圍內接近零脫靶量，這對于人在回路的間瞄尋的導彈非常有用處，可使地面射手利用導彈導引頭回傳的戰場圖像背景充分識別目標，從容控制導彈由中制導轉入末制導，確保有效摧毀直升機這樣的高機動目標。

圖3 三種導引律所需的導彈加速度比較Fig.3 Missile acceleration needed by the three guidance law

3 結論

本文建立了最優制導的Kalman 濾波模型和測量模型，提出了估計目標機動加速度信息的計算方法。結合數學模型，利用一個間瞄尋的導彈的性能參數，進行了數字仿真，結果表明，目標機動估計應用于最優制導律的方法可行，與純比例導引比較，有可能在不增加彈上硬件測量成本的條件下，顯著改善該導彈命中機動目標的精度。

References)

［1］ 錢杏芳，林瑞雄，趙亞男.導彈飛行力學［M］.北京:北京理工大學出版社，2000.QIAN Xing-fang，LIN Rui-xiong，ZHAO Ya-nan.Missile flight dynamics［M］.Beijin:Beijing Institute of Technology Press，2000.(in Chinese)

［2］ 李小兵，劉興堂.對付大機動目標的擴展比例導引律研究［J］.空軍工程大學學報，2001，2(3):1-4.LI Xiao-bing，LIU Xing-tang.Study on generalized proportional navigation for coping with intercepting high maneuvering targets［J］.Journal of Air Force Engineering University，2001，2(3):1-4.(in Chinese)

［3］ Qiao X D，Wang B S.A Motion model for tracking highly maneuvering targets［J］.IEEE，Transaction on AES，2002.

［4］ Paul Zarchan.Tactical and strategic missile guidance［M］.Second Edition.Washington，DC:American Institute of Aeronautics and Astronautics，Inc，1994.

［5］ 鄭友祥.戰場運動目標參數估計與預測［J］.戰術導彈技術，2010，(4):52-56.ZHENG You-xiang.Estimation and prediction of moving parameter of battlefield target［J］.Tactical Missile Technology，2010，(4):52-56.(in Chinese)

［6］ 連葆華，崔平遠，崔祜濤.一種改進的最優制導律及其仿真研究［J］.飛行力學，2001，19(3):36-40.LIAN Bao-hua，CUI Ping-yuan，CUI Hu-tao.An improved optimal guidance law and its simulation study［J］.Flight Dynamics，2001，19(3):36-40.(in Chinese)

［7］ 周啟煌，單東升.坦克火力控制系統［M］.北京:國防工業出版社，2003.ZHOU Qi-huang，SHAN Dong-sheng.Tank fire control system［M］.Beijing:National Defense Industry Press，2003.(in Chinese)