無窮小不是以0為極限的變量

劉文浩 中南財經政法大學,湖北武漢 430073

無窮小不是以0為極限的變量

劉文浩 中南財經政法大學,湖北武漢 430073

人們的任何感官都是有限的，不可能感覺到無限的東西。無窮小與無窮大都屬于無限的范疇，人們不可能直接接觸到無窮小或無窮大。極限為0的變量是現實的，人們可以感覺到極限為0的變量。凡是人們能感覺到的東西都是有窮的，都不是無窮的；而無窮的東西是人們不可能感覺到的。無窮小存在于有窮之中，人們只能通過有窮來認識無窮小。

無窮小；連體；寓數

1、無窮小是大于0的最小的常數

有人把無窮小視為以0為極限的變量，這一觀點有合理的成分，它澄清了無窮小“似0非0”的模糊認識。這就是說，無窮小在變化過程中，其值可以是非0，但它變化的趨向是0，它可以無限地接近0。這一思想對人們認識無窮小有推動作用，但它畢竟是錯誤的。

無窮小是大于0的最小的常數，它不是變量。變數或變量，是指沒有固定的值，可以改變的數。它以非數字的符號來表達，一般用拉丁字母來表達。變量與常數是相反的，無窮小是常量不是變量。如果說無窮小是變量，那么它變化的范圍何在？

無窮小是大于0的最小的數。它略微小一點就成了0，它略微大一點就不再是無窮小。在那些極限為零的變量中，凡是沒有到達無窮小的當然大于無窮小。變量的用處在于它能一般化地描述指令的方式。變量用于開放句子，表示尚未清楚的值，即變數，或一個可代入的值。而無窮小有確定的值。

無窮小與0交界，因而那種極限為0的變量也是通向無窮小的，但此趨向本身并不是無窮小。極限為0的變量是現實的，通向無窮小的趨向也是現實的，而無窮小只能存在于有限之中。人們的感官可以感覺到極限為0的變量，可以感覺到通向無窮小的趨向，但不可能直接接觸到無窮小。

人們的任何感官都是有限的，它只能感覺到有限的東西，它怎么會感覺到無限的東西呢？人們感官不可能感覺到無窮大，同樣也不可能感覺到無窮小。無窮小屬于無限的范疇，那種想憑感官直接感覺到無窮小的想法，只是幻想。人們只能通過有限認識無限。可以說，凡是人們能感覺到的東西都是有窮的，都不是無窮的；而無窮的東西是人們不可能感覺到的。

無窮小的物質是不能單獨存在的，它與有窮小的物質有機地結合在一起。與此相適應，無窮小的數字也應該與有窮小的數字結合在一起。在某些統一體中，無窮小的事物對該統一體的性質起一定的作用。要從統一體中將有窮小的物質與無窮小的物質分割開來，不同于將一般有窮物質分割開來。

2、無窮小的特點

無窮小有三個特點：一是它只能在有窮之中，或者說它只能在有限之中；二是對有窮的無數次分割通向無窮小；三是它不能獨立存在，人們不可能直接感覺到它，而只能通過有窮認識它。無窮小與無窮大都不能單獨存在，當然有窮也不是離開無窮而單獨存在，但人們可以憑感覺直接認識有窮。

無窮小與無窮大有共同點也有不同點，或者說無限小與無限大既有共同點也有不同點。無窮大是無數有窮之和，無窮大寓于有窮之中。無窮小是對有窮的無數次分割的結果，無窮小也只能存在于有窮之中。無窮小與無窮大都是不能單獨存在的，二者都離不開有窮，在有窮之外沒有無窮大，也沒有無窮小。人們只能通過有窮來認識無窮小或無窮大。

無窮小只能在有窮之中。無窮小大于0，它不屬于無的范圍。無窮大也屬于有的范圍，它也不是變量。

無窮與有窮的關系有兩種;一是無窮大與有窮的關系；二是無窮小與有窮的關系。無窮大寓于有窮之中，無窮小也存在于有窮之中。無窮大與有窮不可分割，無窮小也與有窮不可分割。

無窮小是存在的，但通向無窮小的過程是一個無限的過程。有些人到有窮之外去找無窮小，這是錯誤的。到有窮之外去找無窮小，也就是到無中去找無窮小。無窮小屬于有的范圍，它只能在有窮之中，但無窮小與有窮是有區別的。

有窮與無窮的關系問題不僅是一個數學問題，也是一個物理學問題，同時也是一個哲學問題。因為是同一問題，所以無論從什么角度講，其結論應該是相同的。真理只有一個，不能因為學科不同而對同一問題得出不同的結論。

3、連體量

什么是連體量？我們以“現在”的量為例來說明。在過去與未來之間有沒有“現在”呢？如果說沒有，那么我們就只能生活在過去或未來。這可能嗎？如果說有，那么其量是多少呢？或者說“現在”的長度是多少呢？“現在”的長度最短應該是無窮短，或者說無窮小，但無窮小是不能獨立存在的，它只能存在于有窮之中。因此，“現在”的量是無窮小與有窮小的統一。這是兩個量的統一，可以說是連體量，也可以說是連體數。因無窮小寓于有窮之中，故連體數也可稱作寓數。“現在”的量也就是四維空時中時間一維的量。

為了理解連體量，我們打個比方。我們將一蘿卜切斷，然后思考這一蘿卜在切斷前其切斷處的狀況。這一蘿卜在切斷前其切斷處當然是連接在一起的，其連接處有一定的長度，這一長度最短應該是無窮短，或者說是無窮小。但是無窮短或者說無窮小是不能單獨存在的，它只能存在于有窮之中，因而這一長度的量只能是一個連體量。

從分子到原子再到粒子，這已是微觀世界。微觀世界的某些物質如粒子等其運動屬高速運動，高速運動是指達到光速或與光速相當的高度。任何運動都與四維空時有聯系，但高速運動與四維空時的聯系明顯。從夸克開始宇宙進入了微觀世界末期，其特點是在無窮小與有窮小的事物構成的統一體中，無窮小的事物對統一體的性質起一定的作用。其中某些物質的運動也屬高速運動。在微觀世界末期，通向以無窮小為目標的趨向較明顯，這種趨向是通向無窮小的，但此趨向本身并不是無窮小。

對有窮事物的不斷分割通向無窮小，這一過程是一個無限的過程，微觀世界末期是一個無限的期間。反過來看，宏觀世界的末期也是一個無限的期間。越來越大的星系通向無窮大，通向無窮大的過程也是一個無限的過程。

無窮小的事物是不能獨立存在的，因而最小的事物不是無窮小的事物而是無窮小的事物與有窮小的事物構成的連體物。

微觀世界末期事物的分割有其特點。雖然事物中都有無窮小的事物，但在較大的事物中無窮小的事物對統一體的性質不起作用，或者所起作用微不足道。而從夸克開始，某些無窮小的事物對有窮小的事物與無窮小的事物所構成的統一體的性質可以起到一定的作用。

夸克與膠子等構成電子，其中有多少種無窮小的事物，每種無窮小的事物有多少數量，它們對統一體的性質究竟起多大的作用，這只能由實驗來探明。在電子這類事物中，要將夸克分割出來，就必須將其中的無窮小的事物引導到其他事物中去。這是因為這些無窮小的事物不能獨立存在，它們只能存在于有限的事物之中。人們只有將統一體中的某些無窮小的事物引導到其他事物中，才有可能將其中的有窮小的事物分離出來。

由于某些無窮小的事物對統一體的性質起一定的作用，而且無窮小的事物又不能獨立存在，所以在微觀世界末期人們對事物分割的難度較大。越是接近無窮小的事物，越難以分割。至于無窮小的事物，它不僅不可分割而且通向無窮小的過程是一個無限的過程。可以說，無窮小的事物不可分割，而無窮小的事物對統一體的性質可以起到一定作用的事物則難以分割。

10.3969/j.issn.1001-8972.2011.07.158

劉文浩 男 山東肥城人 中南財經政法大學副教授 從事物理學研究。