基于小波系數(shù)變換的小波閾值去噪算法改進(jìn)

王宏強(qiáng)， 尚春陽， 高瑞鵬， 李子楠

（西安交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，西安 710049）

信號的去噪一直是信號處理中備受關(guān)注的一個問題，而小波去噪是近年來興起的極為有效的去噪方法之一［1］。其中小波閾值去噪由Donoho和Johnstone提出［2－5］并證明其逼近原信號的最優(yōu)估計［1］，且在 Besov空間中，小波閾值去噪與線性去噪方法相比，收斂速度更快［1－3］。

近年來對于小波閾值去噪，學(xué)者們主要關(guān)注三個方面：閾值去噪函數(shù)的建立、閾值的確定及小波基的選擇。在閾值去噪函數(shù)的建立方面，Donoho和Johnstone等人［6，7］于1995年提出了硬閾值方法和軟閾值方法，之后有Garrote閾值函數(shù)及Gao和Bruce提出的半軟閾值方法以對上述硬閾值和軟閾值兩種去噪方法進(jìn)行了改進(jìn)。在選取最優(yōu)的去噪閾值方面，學(xué)者們提出了許多選取方法，如固定閾值（sqtwolog）、最小極大方差閾值（minimaxi）、基于Stein無偏似然估計閾值（rigrsure）及選擇啟發(fā)式閾值（heursure）等［8－10］。

小波閾值去噪基本原理是：正交小波變換具有很強(qiáng)的去數(shù)據(jù)相關(guān)性，它能夠使信號的能量在小波域集中在一些大的有限的信號的小波變換系數(shù)要大于噪聲的小波變換系數(shù)，也即可以認(rèn)為幅值比較大的小波系數(shù)一般以信號為主，而幅值較小的系數(shù)在很大概率上是噪聲。于是可以找到一個合適的閾值，小波系數(shù)大于閾值的認(rèn)為其是由信號引起的，而小于閾值的小波系數(shù)則由噪聲引起的，從而可以對由噪聲引起的小波系數(shù)進(jìn)行萎縮來去除噪聲［8］。因此小波閾值去噪的一個難點在于區(qū)分噪聲和信號。小波系數(shù)中原信號的一些細(xì)節(jié)與噪聲較多的區(qū)域比較接近，容易被當(dāng)作噪聲信號濾掉。

本文對傳統(tǒng)的小波閾值去噪方法進(jìn)行了較為深入的研究并予以了改進(jìn)，在小波閾值去噪的方法中加入了兩個步驟：

（1）對信號小波分解后的各層小波系數(shù)進(jìn)行變形，將中間易混淆區(qū)域的差別放大，兩端不易混淆的值域縮小，以利于去噪時對噪聲的識別；

（2）閾值去噪后，對去噪后的小波系數(shù)進(jìn)行恢復(fù)處理，將前面變形后的小波系數(shù)予以恢復(fù)。

結(jié)果表明利用本文的方法可以將細(xì)節(jié)信號與噪聲之間的差別加大，從而更好的復(fù)現(xiàn)原信號。

1 小波系數(shù)的變換

假定觀測信號向量為y=［y0，y1，y2，…，yN－1］T，有如下式子：

其中fi為函數(shù)f的抽樣，nj是分布為N（0，σ）的高斯白噪聲。去噪的目標(biāo)是使所得的估計函數(shù)的平均方差MSE 最小，MSE 可由下式求得［11］：

傳統(tǒng)的閾值去噪方法采用以下三步［12］：

（1）對向量y進(jìn)行離散小波分解［13］，得到第j層小波系數(shù)為uj，k，其中j=1，…，J；

（3）對上一步所得的小波閾值去噪后的小波系數(shù)進(jìn)行離散小波重構(gòu)，得原信號的估計函數(shù)。

在閾值去噪過程中，對信號進(jìn)行小波分解后所得的小波系數(shù)中，太高的系數(shù)是原信號的細(xì)節(jié)，太低的系數(shù)一般來說都是噪聲［8］，太高和太低的系數(shù)都不會產(chǎn)生誤判斷，而中間值域的細(xì)節(jié)可能和噪聲差別不大，甚至湮沒在噪聲信號中，最容易被當(dāng)作噪聲誤濾除掉。為減少原信號細(xì)節(jié)在去噪過程中的誤判，在小波分解后，本文通過函數(shù)變換使易混淆值域的小波系數(shù)的差別放大，在閾值判定中的權(quán)重增大，然后選取閾值進(jìn)行去噪，再通過變換函數(shù)的逆函數(shù)將小波系數(shù)恢復(fù)，最后小波重構(gòu)獲得去噪結(jié)果。

符合閾值去噪改進(jìn)方法要求的變換函數(shù)應(yīng)具有以下條件：

（1）在某一定義域［cmin，cmax］（cmin、cmax分別為小波系數(shù)中最小和最大的系數(shù)）中單調(diào)且連續(xù)，以對變換后的系數(shù)再進(jìn)行反變換，恢復(fù)原信號。

（2）在定義域［cmin，cmax］中可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)從較小逐漸增大，或者導(dǎo)數(shù)先增大再減小，這樣才能使小波系數(shù)中間區(qū)域的系數(shù)差異增大，便于識別。

（3）導(dǎo)數(shù)（尤其是中間部分的導(dǎo)數(shù)）應(yīng)大于1。

滿足以上條件的函數(shù)較為典型的有以下兩個函數(shù)

和：

其中d=cmax－cmin，α為常數(shù)且α∈［0.6，1］，本文中取α=1。

g1（x），g2（x）在定義域中單調(diào)且連續(xù)，且中間部分導(dǎo)數(shù)較大，可以使得被變換的小波系數(shù)中間部分的差別被放大，從而在隨后進(jìn)行的閾值去噪可以將原信號的細(xì)節(jié)和噪聲能夠更好的區(qū)分開來，不至于將細(xì)節(jié)誤濾掉。

小波系數(shù)閾值去噪之后，需要對小波系數(shù)進(jìn)行后變換，即將小波系數(shù)代入變換函數(shù)的反函數(shù)中。對應(yīng)于上面提到的g1（x），g2（x），其反函數(shù)分別為：

較傳統(tǒng)閾值去噪方法，改進(jìn)去噪方法主要增加了對小波系數(shù)的變換，其去噪步驟如下：

（1）對向量y進(jìn)行離散小波分解得第j層小波系數(shù)uj，k，其中j=1，…J。

（2）將小波系數(shù)uj，k代入變換函數(shù)g（x）進(jìn)行變換，得第j層小波系數(shù)uj，k’，其中j=1，…，J。

圖1 改進(jìn)函數(shù)示意圖Fig.1 The improving function

（5）對進(jìn)行離散小波重構(gòu)得信號的估計。

其中第2步和第4步是本文對原閾值去噪算法改進(jìn)后新增加的步驟。

2 仿真實驗

為驗證本文中所提出的方法，我們選取Donoho提出的函數(shù)HeaviSine進(jìn)行測驗［3］。選取信號長度均為1 024，信噪比SNR=10。采用的變換小波為Symlets6，分解層數(shù)J=5，變換函數(shù)采用式（4）中的g2（x）。

目前常用的閾值去噪方法：軟閾值去噪、硬閾值去噪、Garrote閾值去噪和Semisoft閾值去噪。其函數(shù)表達(dá)式分別為：

軟閾值去噪函數(shù)：

硬閾值去噪函數(shù)：

Garrote閾值去噪函數(shù)：

Semisoft閾值去噪函數(shù)：

其中λ，λ1和λ2均為去噪閾值。

本文中閾值λ采用固定閾值（sqtwolog）的形式，方差由文獻(xiàn)［14］中所述的改進(jìn)的方差估計算法獲得，此改進(jìn)方法可以提高信噪比，同時減少運(yùn)算時間。計算公式如下：

第j層小波系數(shù)閾值去噪采用的閾值為：

表1 仿真去噪后所得結(jié)果的SNR和MSE值Tab.1 SNR and MSE of the de-noised signal in simulation

圖2 原信號HeaviSine及其加噪信號（SNR=10）Fig.2 The original signal of Heavi Sine and its noisy signal

圖3 軟閾值去噪及其改進(jìn)方法去噪效果對比圖和局部放大圖（…軟閾值方法去噪；——改進(jìn)軟閾值法去噪；－·－原信號）Fig.3 The results of de-noising by soft threshold and its improved method and their partial enlarged view（…h(huán)ard threshold；—— improved hard threshold；－·－the original signal）

圖4 硬閾值方法及其改進(jìn)方法去噪效果對比圖和局部放大圖（…硬閾值方法去噪；——改進(jìn)硬閾值法去噪；－·－原信號）Fig.4 The results of de-noising by hard threshold and its improved method and their partial enlarged view（…soft threshold；—— improved soft threshold；－·－the original signal）

其中，uj，k是第j層小波系數(shù)值，median（*）表示計算中值，C為常數(shù)，一般取 0.674 5。

Semisoft方法需要兩個閾值，本文中采用固定閾值（sqtwolog）和基于 Stein的無偏似然估計閾值（rigrsure）。

本文對同一仿真含噪信號分別使用上述四種去噪方法及相應(yīng)的改進(jìn)后的算法予以去噪，去噪結(jié)果如表1，其中SNR為信噪比，MSE為由公式（2）計算所得的平均方差。由表可見，從SNR，MSE兩項去噪指標(biāo)上來講，改進(jìn)方法對傳統(tǒng)的去噪方法都有所改進(jìn)，但對硬閾值去噪方法改進(jìn)最為明顯。另外，通過橫向比較可見，前三種閾值去噪方法（軟閾值方法，硬閾值方法，Garrote方法）改進(jìn)后去噪效果基本一致，只有Semisoft去噪方法改進(jìn)后與其他改進(jìn)方法結(jié)果稍有偏差（這是因為Semisoft使用兩個去噪閾值，這一點與其他三種方法不同）。結(jié)果表明，前三種去噪方法，使用本文所述方法改進(jìn)后都可以改善SNR，MSE兩項去噪指標(biāo)。

對仿真含噪信號進(jìn)行去噪后的結(jié)果表明閾值去噪改進(jìn)方法對去噪結(jié)果均有較優(yōu)改善：

（1）軟閾值方法改進(jìn)后（如圖3），原信號中第737點處的突起更為明顯，更能顯示出信號的突變。

（2）硬閾值方法（如圖4）和Semisoft閾值方法改進(jìn)后，減少了原方法去噪后的Gibbs振蕩。

（3）Garrote方法改進(jìn)后去噪效果有一定的改善，但不太明顯。

3 實驗驗證

為驗證改進(jìn)去噪算法，本文對噪聲環(huán)境下伴有沖擊的旋轉(zhuǎn)電機(jī)的音頻信號進(jìn)行了采集，使用傳統(tǒng)閾值去噪方法和改進(jìn)算法對采集數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪，并比較去噪結(jié)果。選取微型電機(jī)FA130作為主要聲源，另以揚(yáng)聲器產(chǎn)生高斯噪聲，作為附加噪聲源。電機(jī)額定轉(zhuǎn)速19 400 r/min，實驗時帶負(fù)載，實際轉(zhuǎn)速約為12 000 r/min。聲音信號采集使用電容式麥克風(fēng)isk800，AD轉(zhuǎn)換使用數(shù)據(jù)采集卡NI USB－6251。利用Labview軟件編程，控制采集過程，獲得采樣數(shù)據(jù)，然后使用基于本文所述的改進(jìn)去噪方法的matlab程序進(jìn)行分析。由于電機(jī)的工作頻率（約200 Hz）以及敲擊振動頻率范圍較廣且大部分能量集中在低頻的特點［15］，根據(jù)采樣定理，實驗中采樣率設(shè)為1 000 Hz，采樣點數(shù)為8192。音頻信號采樣過程中，在電機(jī)殼體上敲擊兩次（一強(qiáng)一弱）以得到?jīng)_擊噪聲，采集到的音頻信號數(shù)據(jù)如圖5。

分別使用傳統(tǒng)閾值去噪方法和改進(jìn)方法對音頻信號進(jìn)行去噪，結(jié)果顯示改進(jìn)去噪方法去噪效果更好。如圖6和圖7（在此以軟閾值去噪和改進(jìn)軟閾值去噪法得到的處理結(jié)果為例），較為明顯的是：兩種方法都可以顯示第一次沖擊（第1 400個點附近），但是傳統(tǒng)的軟閾值去噪將第二次輕微的敲擊信號誤判為噪聲予以了削弱，結(jié)果不能很好地顯示第二次沖擊（第6 000個點附近），而改進(jìn)后的軟閾值方法保留了沖擊信號，可以較為明顯的顯示出第二次的沖擊。對本實驗數(shù)據(jù)分別用其他的傳統(tǒng)閾值去噪方法及改進(jìn)方法進(jìn)行去噪處理后，去噪結(jié)果均顯示改進(jìn)方法較優(yōu)。因此，本文提出的閾值去噪的改進(jìn)方法，可以增強(qiáng)對含噪信號中某些較為細(xì)微信號的識別性（如較小的突變信號），且不增加偽Gibbs振蕩。

圖5 電機(jī)音頻信號采樣結(jié)果Fig.5 The noise of the motor

圖6 音頻信號軟閾值去噪結(jié)果Fig.6 The results of de-noising by soft threshold

圖7 音頻信號軟閾值去噪改進(jìn)方法去噪結(jié)果Fig.7 The results of de-noising by the improved soft threshold

4 結(jié)論

閾值去噪改進(jìn)算法將與噪聲信號難以區(qū)分的值域中的小波系數(shù)差別放大、權(quán)重加大，以更好地確定小波去噪閾值，為解決小波閾值去噪過程中如何準(zhǔn)確估計出合適的閾值這一關(guān)鍵問題提供了一條有效的途徑。

閾值去噪改進(jìn)方法經(jīng)仿真和實驗驗證，能夠比傳統(tǒng)閾值去噪方法更好的去除高斯白噪聲，保留原信號的細(xì)節(jié)特征，而且算法不太復(fù)雜，是比傳統(tǒng)閾值去噪方法更為優(yōu)越的去噪方法。

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