有關Tresca、Mises和Mohr-Coulomb三個破壞準則的討論

陳 鵬

(中國電力工程顧問集團華北電力設計院工程有限公司，北京 100120)

有關Tresca、Mises和Mohr-Coulomb三個破壞準則的討論

陳 鵬

(中國電力工程顧問集團華北電力設計院工程有限公司，北京 100120)

本文簡要的討論土體的三種最常用破壞準則：Tresca、Mises和Mohr-Coulomb；并從數學角度分析了其應用范圍和注意事項。

破壞準則；Tresca；Mises；Mohr-Coulomb。

建(構)筑物的基礎破壞，一般有強度破壞和變形破壞兩種因素。如果從強度破壞這一原則出發，建(構)筑物基礎強度均由土體的抗剪強度所控制，因此抗剪強度是其最重要的計算參數。而土的抗剪強度是指土體抵抗剪切破壞的能力。當土體受到剪力作用后，土中各點將產生剪應力，若某點的剪應力達到其抗剪強度，在剪切面兩側的土體將產生相對位移而發生滑動破壞。隨著荷載的繼續增加，土體中的剪應力達到抗剪強度的區域(塑性區)越來越大，最后各滑動面連成整體，而產生滑動破壞。因而我們必須弄清在什么情況下土體將破壞，這就要給出一個判別破壞與否的標準，即破壞準則。

土體的破壞與否決定于其受到的應力狀態，破壞準則可寫成：

式中f *函數在應力空間代表一閉合曲面，即破壞面，若表示應力狀態的點落在該破壞面內，則材料不破壞，反之則破壞。但如何確定這一破壞面，也即破壞準則的正確選擇與確定，就擺在了我們面前。目前土力學中已經提出了不少的破壞準則，現就Tresca、Mises和Mohr-Coulomb三個破壞準則作一簡要的討論。

1 Tresca破壞準則

Tresca準則是假定材料中最大剪應力達到某一特定值，材料就開始進入塑性狀態。假定土體中某一點的三個主應力分量為 σ1>σ2>σ3，該準則可表示為：

由上式可以看出，Tresca準則其實是一個最大剪應力破壞條件。其破壞與中主應力σ2無關，只與最大主應力與最小主應力有關。

從Mohr-Coulomb破壞準則出發有：

從Mohr-Coulomb破壞準則出發，可知其經過數學變型，參數假定，可得出Tresca準則，即Tresca準則是Mohr-Coulomb準則的簡化，是Mohr-Coulomb在假定土體內摩擦角φ等于零時的特殊情況。而Mohr-Coulomb準則是Tresca準則更一般的表達式，是考慮材料內摩擦情況下的Tresca準則的提廣。在上面的推導過程中，Tresca準則不考慮土體材料內摩擦力。而事實上，土體顆粒之間有內摩擦力效應，而這對土體的穩定是有利的。因而Tresca準則比Mohr-Coulomb準則更趨向于安全。

而從推導過程分析；Tresca準則由于其假定材料內摩擦力為零(φ=0)，因而在巖土工程設計中，其用于一些只有粘聚強度的純粘性即(φ=0)的金屬和巖石，效果會更好。

2 Mises破壞準則

Mises準則比Tresca準則更進一步，考慮了中主應力σ2對破壞的影響。但公式過于復雜且有二次方的存在，為方便分析我們引入材料的形變比能Wd加以分析；

將Mises.準則作一數學變形，并代入形變比能Wd公式有

從上式可以這樣理解Mises準則：土體的抗剪強度與材料的形變比能成正比，形變比能越大，抗剪強度越高。而土體是一種塑性非常明顯的材料，E，μ都不是一個恒定值，與形變比能的大小和受力狀態有關。又從Mises準則表達式原形來看，等式左邊正是偏應力張量的第二不變量，它反映了土體在復雜應力狀態下受剪應力的程度，這個剪應力我們可以理解為廣義剪應力，即廣義剪應力達到某一值時材料開始屈服。但結合上面因素綜觀Mises準則，雖然其比Tresca準則多考慮了中主應力σ2對破壞的影響，但仍沒有考慮土體內摩擦角這一事實。

3 Mohr-Coulomb破壞準則

在巖土工程中，土體破壞準則應用最廣泛的準則即為該準則。該準則實質上也是一種剪應力屈服條件。它認為當材料某平面上剪應力τn達到一特定值時，材料就進入屈服階段。但是與Tresca準則不同，這一特定值不是一個常數，而是和該平面上的正應力σn有關。其一般數學表達式為：

當土體在法向應力不大的情況下，取線性關系，其破壞準則的表達式：

若φ值很小，則cosφ≈1。那么等式變為；τ=σntgφ+C

從上可以看出Mohr-Coulomb準則沒有考慮中主應力。我們仍可以從上面的推導過程知道庫侖公式的適用范圍及其需要注意的地方。

在推導的第一步，先假定其為直線關系，而當法向應力很大時，其抗剪強度往往不成線性關系，而成曲線形式。法向應力的增大對抗剪強度是有影響的，而庫侖公式沒有考慮這一影響。其次在推導過程中假定內摩擦角φ很小，cosφ≈1，這就造成計算值和真值之間有誤差。

Mohr-Coulomb準則推得：

而庫侖定律： τ2=σntgφ+C

現我們把τ1叫真值， τ2叫計算值，可以看出計算值τ2比真值τ1大。

4 結語

以上三個準則是巖土工程中常用的三個破壞準則，它們有各自的適用范圍和局限。Tresca和Mises準則都忽略了土體顆粒間的粘聚力C對屈服的影響。Tresca準則還忽略了中主應力σ2對屈服的影響，因而更適用于純粘性即(φ=0)的金屬和巖石，而對于土體這類材料效果很不理想。Mohr-Coulomb準則比較真實的反映了土體的屈服情況，考慮了內摩擦角、粘聚力等，較接近土體的實際工程性質。

[1]錢家歡，等．土工原理與計算(第二版)[M]．北京：中國水利水電出版社，1996．

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[5]屈智炯．土的塑性力學[M]．成都：成都科技大學出版社，1987．

Discusses on Three Kind of Failure Criterions of Tresca、Mises and Mohr-coulomb

CHEN Peng
(North China Power Engineering Co., Ltd., Beijing 100120, China)

This article brie fl y discusses three kind of the most common failure criterions of soil, named Tresca、Mises And Mohr-Coulomb. And analyzes its application scope and the attentions from mathematics.

failure criterion; tresca; mises; mohr-coulomb.

TU4

B

1671-9913(2011)01-0015-03

2010-11-16

陳鵬(1981-)，男，工程師，主要從事電力工程勘測設計工作。