水下重力異常相關極值匹配算法

李姍姍，吳曉平，馬 彪

信息工程大學測繪學院，河南鄭州450052

1 引 言

重力輔助導航是利用重力異常值或重力梯度值等輔助信息作為慣性導航系統的外部信息源，構成重力和慣性的組合導航系統［1－2］，從而起到抑制慣性導航誤差的作用，具有自主性強、隱蔽性好、定位精度高、抗干擾性強等優點。

重力輔助導航的核心技術之一是重力圖形匹配算法，其本質是綜合利用各種信息處理方法，將實測海洋重力數據與存儲在海洋重力數據庫中的重力數據進行比較分析，依據一定準則判斷兩者之間的相似程度，從而確定出最佳匹配序列。采用的數據處理方法主要包括圖像配準、相關極值分析、擴展卡爾曼濾波、神經網絡和統計模式分析識別等［3－9］。針對重力匹配的特點，重點研究相關極值匹配算法中存在的問題及相應的改進措施，以期提高算法的可用性與可靠性。

2 重力序列相關極值匹配

根據文獻［10］的相關極值導航系統原理，在進行重力異常相關匹配時，由于地球重力場的連續、隨機、等值（多個地理點的重力異常值相等）特性，基于單個重力異常觀測量無法唯一確定水下潛器在地圖上的位置，因而要求其沿運動航跡方向的重力異常連續觀測采樣序列達到一定的長度。假定在時間序列ti，ti＋1，…，ti＋N－1時刻有N個重力異常觀測向量，記為 Δgti＝［ΔgiΔgi＋1… Δgi＋N－1］T，根據每個時刻的慣導指示位置，在一定置信區間內，從事先存儲在計算機內的重力基準圖上搜索、提取若干與觀測重力向量等長度的參考重力向量序列，記為最后兩者之間通過某種相關極值匹配算法，來獲取水下潛器當前位置的最優估計。常用相關分析匹配算法包括交叉相關算法（cross correlation，COR）、平均絕對差相關算法（mean absolute deviation，MAD）和平均平方差相關算法（mean square deviation，MSD）［9］，最優化匹配設計的準則是使COR取最大值，MSD、MAD取最小值，并以它們所對應的重力異常觀測序列的航跡代替慣性導航指示航跡。

2.1 基于MSD準則的差分降權相關目標函數模型構造

觀測序列與提取序列之間一般依據MSD相關算法，即目標函數為

基于上式尋找最優序列。式中，Δgi為對應于慣導輸出點i的重力傳感器的觀測輸出值，與置信區域內的重力異常圖上的每個網格點的重力數據進行比較，如果為接近于0的判決閾值，依據重力圖誤差及重力傳感器測量誤差而定），則網格點j判定為慣導輸出點i的重力等值點。由于慣導在較短的時間內的相對漂移很小，相鄰連續兩個實際點之間的位移角度及距離與相應慣性導航輸出點位移角度和距離應該近似相等或相差很小。因此引入約束條件

式中，（xti，yti）、（xti＋1，yti＋1）是前后連續兩個相鄰時刻的坐標；ε1、ε2為接近于0的數值；αINS為慣導系統輸出位移角度；dINS為慣導系統輸出位移距離；Ω表示置信區間。

水下重力異常觀測數據基于慣導輸出的擾動修正［11］，由于厄特弗斯改正計算對水下潛器速度精度要求較高，正常重力計算要求緯度精度高，而慣導隨時間積累產生的誤差有可能滿足不了這兩項要求，觀測重力異常的計算誤差會隨著慣導誤差的增大而增大，以致產生重力匹配虛假定位。因而觀測重力異常數據與重力異常圖進行相關匹配時，還需考慮基于慣導輸出計算厄特弗斯效應以及正常重力所產生的誤差影響。

考慮到上述因素，在目標函數式（1）中基于差分思想，取前后連續兩個時刻觀測重力異常之差，形成一個新的觀測序列，以盡最大可能減少這兩項以及其他系統誤差的影響。目標函數式（1）變為

式中，pi為相應的權系數。由于慣性導航誤差隨時間增加不斷累積，因此相比較而言，前一時刻慣導輸出數據應比后一時刻輸出具有更高的精度與可信度，所以匹配過程中對前一時刻的觀測量賦予比后一時刻更大的權值，定義該算法模型為差分降權相關目標函數模型。

通過試驗計算發現，依據差分降權相關目標函數模型式（3）得到的對應于相關度量值最小的匹配序列結果有時并不是最好的。為解決這個問題通常采用所謂的“最近鄰”方法，即簡單認為離重力儀實際測量值序列最近的有效序列源于目標，其余有效序列均源于噪聲干擾。但由于測量儀器（包括慣性導航元件、重力儀）誤差、重力基準地圖誤差以及重力場相關性等因素的隨機干擾，所有有效序列都可能源于目標，只是每個有效序列源于目標的概率有所不同，這種不確定性由概率密度函數表示。

2.2 概率數據關聯匹配算法

在關于概率數據關聯算法的研究中，文獻［12］提出概率數據關聯濾波器算法（probabilistic data association filter，PDAF）；隨后文獻［13］成功地將其應用于目標跟蹤領域；文獻［14］將其應用到地形輔助捷聯式慣導中，并取得較好的效果；文獻［15］也提出基于概率數據關聯的地形輔助導航算法。筆者借用概率數據關聯濾波的思想，提出基于概率數據關聯的重力輔助慣性導航匹配算法，認為由于重力測量以及重力制圖等各種噪聲干擾，基于差分降權相關目標函數模型計算的最小相關度量值所確定的潛器位置并不一定完全代表水下潛器的真實位置，而可能小于某一閾值范圍內的幾個有效相關值確定的潛器位置都是不同概率意義上的實際地理位置，無形中提高了算法的可靠性。

2.2.1 概率數據關聯濾波

令

表示重力傳感器在k時刻確認的重力觀測集合。gj（k）是k時刻的第j個重力觀測；s（k）表示在k時刻確認的觀測個數

為直到時刻k的所有重力測量集。假設θj（k）表示gj（k）是來自目標的正確測量事件；θ0（k）表示重力傳感器所確認的觀測沒有一個是正確事件，則在k時刻第j個重力觀測gj（k）是來自目標這一事件的概率密度函數為

由于｛θ0（k），θ1（k），…，θs（k）（k）｝是事件空間的一個不相交完備分割，從而有

因此利用全概率公式，可得

2.2.2 最優估值計算

取慣導位置偏移量［δφ δλ］T作為狀態，小于某一閾值范圍的相關度量值得到的匹配序列均認為是有效匹配序列，N為有效序列個數，根據式（8）得

2.2.3 概率密度函數計算

βj表示相關值p＿J（λj，φj）確定的位置為水下潛器實際位置的概率。相關值越小，所對應的位置是潛器實際位置的概率越高，且根據式（7）要求，取

式中，p＿J（λj，φj）是依據差分降權目標函數模型式（3）計算的第j個重力異常圖提取序列與重力異常觀測序列的相關值的大小。

3 試驗計算分析

3.1 數據仿真

采用航位推算法（dead reckoning，DR）推算航跡［16］，仿真條件：重力圖分辨率為0.2′×0.2′，水下潛器航速為10kts，沿方位角52°方向航行，潛深是100m，慣導東向、北向、方位陀螺漂移均為0.01°／h，加速度計東向和北向零位漂移為5× 10－5g，東向、北向位置初始校準誤差為1′，初始平臺姿態校準誤差為6″，重力儀的測量精度為0.5×10－5ms－2。某海域重力異常（衛星測高數據）變化試驗區以及依據仿真條件模擬計算的慣導航跡與真實航跡如圖1所示，圖2是根據慣導誤差傳播特性計算的慣導位置誤差仿真曲線示意圖，圖3反映仿真的慣導航跡與真實航跡上的重力異常變化。從圖2可以看出由于慣導誤差傳播導致東向位置誤差的無界性以及北向位置誤差是地球周期占主項的振蕩誤差，如果不施于外部輔助手段對慣導進行校正，則隨著時間推移慣性系統導航性能將失效。

圖1 試驗區慣導航跡與真實航跡仿真Fig.1 Simulation of the inertial navigation track and the real one in the experimental area

圖2 慣導位置誤差曲線示意圖Fig.2 Sketch map of the position errors in inertial navigation

圖3 慣導航跡與真實航跡上重力異常變化Fig.3 Variety of gravity anomaly on the inertial navigation track and the real one

3.2 重力匹配試驗

在上述仿真條件的基礎上，構造差分降權相關目標函數模型，將概率數據關聯濾波算法應用于慣導航跡匹配校正，序列匹配長度取統計分析計算的試驗區相關長度（6′左右），采樣間隔取1個重力圖格（仿真條件下約為90s），結果如圖4?？梢钥闯銎ヅ浣Y果并不是很理想，考慮到可能是由于采樣間隔較短導致某些相鄰采樣點之間的重力數據相關性較強而出現虛假定位，于是加大采樣間隔至2個重力圖格（180s）、3個重力圖格（270s）、4個重力圖格（360s），分別進行匹配試驗，結果如圖5～圖7所示，圖中橫坐標表示經度，縱坐標表示緯度。

圖4 采樣間隔90sFig.4 Sampling interval is 90s

對上述不同采樣條件下的匹配結果進行統計分析，結果列于表1?？梢钥闯?，當采樣間隔增大時，尤其從1個重力圖格增加到2個或3個、4個重力圖格時，精度均得到明顯提高，但4個重力圖格的采樣間隔與3個重力圖格的采樣間隔相比較時，緯度精度改善不大，而經度方向誤差甚至有所增大。分析原因，是因為當匹配序列長度保持不變時，增加數據采樣間隔會減少采樣點數，導致采樣序列的采樣點之間的相互約束條件減少而有可能使得匹配精度降低。

圖5 采樣間隔180sFig.5 Sampling interval is 180s

圖6 采樣間隔270sFig.6 Sampling interval is 270s

圖7 采樣間隔360sFig.7 Sampling interval is 360s

為進一步驗證PDAF算法的可靠性，探討采樣間隔與匹配精度之間的關系，在上面仿真條件基礎上，將慣導東向與北向初始位置誤差均增加至5′，如圖8、圖9，采樣間隔分別取1個重力圖格、2個重力圖格、3個重力圖格、4個重力圖格，進行重力匹配試驗，結果如圖10～圖13所示，統計結果列于表2中。

表1 不同采樣間隔匹配算法位置誤差統計Tab.1 Matching errors in position of various sampling intervals （′）

圖8 試驗區1的慣導航跡與真實航跡仿真Fig.8 Simulation of the inertial navigation track and the real one in the experimental area

圖9 慣導航跡與真實航跡上重力異常變化Fig.9 Variety of gravity anomaly on the inertial navigation track and the real one

圖10 采樣間隔90sFig.10 Sampling interval is 90s

圖11 采樣間隔180sFig.11 Sampling interval is 180s

圖12 采樣間隔270sFig.12 Sampling interval is 270s

圖13 采樣間隔360sFig.13 Sampling interval is 360s

表2 不同采樣間隔匹配算法誤差統計Tab.2 Matching errors of various sampling intervals（′）

同前面分析的結論一樣，當采樣間隔從1個重力圖格增加到2個或3個、4個重力圖格時，精度均得到明顯提高，但2、3、4個重力圖格的采樣間隔所獲取的匹配序列精度，經度方向誤差甚至有所增大。因此在選擇采樣間隔時，如果一味增加采樣間隔，則會導致序列采樣點數減少，從而使得采樣點之間的相互約束條件減少而使得匹配的可靠性降低；而如果增大采樣間隔的同時增加序列長度以保持前后采樣約束條件數不變，雖然精度會有所提高，但這又是以增加慣導航跡匹配校正的時間為代價。所以在進行重力匹配時，需綜合考慮這兩方面影響，在重力特征明顯的地區，序列長度與采樣間隔可適當地取得短點，而在重力特征變化不是特別劇烈的地區，則應適當增加序列長度與采樣間隔。綜合慣導誤差傳播的特性（導致東向位置誤差的無界性）以及表1和表2的匹配結果統計分析，對于該試驗區的匹配，采樣間隔選擇270s為宜；同時也可以看出，采用本文建立的目標函數模型及PDAF匹配算法，即使慣導初始位置誤差高達5′，也能將水平位置修正均方差控制在0.5′之內，充分說明了算法的可靠性。

4 結 論

為減少水下重力測量過程中的系統誤差，基于差分的思想，提出以連續兩個時刻觀測重力異常之差作為新的觀測匹配序列，并依據慣導誤差累積特性，建立對前一時刻匹配量賦予更高可信度的差分降權相關極值目標函數模型，提出由于受干擾誤差地影響導致源于正確位置出現多個有效位置的概率數據關聯濾波算法，與選擇“最近”的唯一位置相比更接近于實際的真實位置，增加算法的可靠性。探討采樣間隔對匹配精度的影響，提出進行重力匹配時要綜合考慮序列長度與序列間隔兩方面因素，以提高重力匹配導航的精度。

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