基于有限元法的移動2桿柔體機械手動力學仿真

楊玉維 趙新華 王收軍 徐進友 陳 煒

天津理工大學天津市復雜系統控制理論及應用重點實驗室,天津,300384

基于有限元法的移動2桿柔體機械手動力學仿真

楊玉維 趙新華 王收軍 徐進友 陳 煒

天津理工大學天津市復雜系統控制理論及應用重點實驗室,天津,300384

研究了移動2桿柔體機械手動力學問題。該移動機械手由彈性-阻尼懸架輪式移動載體和2桿柔體機械手組成,并假定移動載體以恒線速度通過不規則路面。綜合采用經典有限元法并引入中間單元坐標系和浮動坐標法,以回避由單元剛體運動所導致的彈性構件非零應變,從而精確描述機械手彈性變形與參考運動間的動力學耦合問題。綜合利用拉格朗日原理和牛頓-歐拉方程并在笛卡兒坐標系下 ,以簡潔的矩陣、矢量形式構建了該系統的完整動力學模型。采用數值方法給出了該動力學模型正解的仿真結果。通過與剛-柔體模型、剛體模型仿真結果的比較,證實該柔體系統存在動力學耦合現象及構件彈性振動對系統性能有負面影響。

2桿柔體;移動機械手;有限元法;運動學;動力學;耦合

0 引言

近年來,高速、輕質和高精度的移動機械手的研究倍受關注。由于用于描述由柔性機械手與具有懸架系統的輪式移動載體所組成的移動機械手的系統動力學方程具有非線性、高耦合性及非完整約束的特點,致使推導和求解柔性機械手的運動學方程、動力學方程相當繁雜。當前,研究者對移動機械手動力學模型的建立與控制顯示出了極大的興趣,然而通常情況下,他們的動力學模型中沒有考慮懸架的影響,移動載體的自由度被悉數加到機械手上,該移動機械手被視為冗余度機械手。Akpan等[1]研究了平面移動機械手性能對系統參數如剛度、阻尼、路面粗糙度等的敏感度問題;Yu等[2]介紹了一個用于推導移動機械手動力學的通用方法,定義了移動平臺與機械手之間的耦合術語,然而這個移動平臺只能做平面運動,且他們也沒有考慮構件的彈性變形問題;Korayem等[3]采用Lagrange法和關節坐標構造了移動機械手的動力學模型,該模型考慮了機械手的平面彈性小變形和輪子的非完整約束,但該方法建立在線彈性動力學基礎上,沒有考慮構件彈性變形與構件大范圍運動間動力學耦合問題;文獻[4-6]考慮了機械手的柔性,構建了動力學模型,并推導了該移動機械手的最大承受載荷。以上研究工作中的動力學模型皆沒有包括懸架系統。

文獻[7-8]研究了輪式懸架移動機械手動力學問題,但該動力學模型沒有考慮機械手的彈性變形問題。

經典有限元法中,由于梁單元為非等參單元,這類單元離散后桿件模型做任意剛體運動時,單元內將導致非零應變,從而使構建的動力學模型不能準確描述系統運動特性。基于梁單元型函數可以準確描述剛體平動這一特性[9],本文引入構件體坐標系(浮動坐標系)為中間單元坐標系,精確構建了移動2桿柔體機械手動力學模型(可以精確描述構件剛體運動)。該模型綜合考慮了機械手桿件的彈性變形、移動載體的線彈性-阻尼懸架和不平路面等工況。

1 運動學、動力學模型分析、推導

圖1 移動2桿柔體機械手

移動2桿柔體機械手由3個構件組成,如圖1所示,其中,Kk、Ck(k=1,2)分別為該移動機械手懸架系統的彈簧剛度和阻尼系數;構件1、2、3分別為移動載體、機械手彈性桿件1和彈性桿件2。圖 2為圖 1平面化后的分析簡圖,其中,G(i)(i=1,2,3)為構件i的重力;F P為外荷載;F1為移動載體水平驅動力;F2、F3為(懸架)作用于移動載體上的力;Ox(0)y(0)、O(i)x(i)y(i)分別為輪式懸架柔性移動機械手的全局坐標系與構件i(i=1,2,3)的體坐標系[9]。本文假設:該車輪為剛體且無質量;該移動載體以恒線速度運行在不規則(可用正弦函數來描述)路面上。如圖2、圖3所示,構件3上任一點相對Ox(0)y(0)原點的位置矢量為

圖2 移動2桿柔體機械手工況

圖3 構件i(i=2,3)有限元離散

圖4 機械手柔性構件彈性變形

該動力學模型的推導包括系統慣性張量、剛度矩陣、廣義力、型函數等的推導過程。

1.1 構件2、3型函數推導

本文采用有限元法,基于歐拉-伯努利梁單元理論(不考慮機械手的剪切變形)構造單元型函數[9]:

同理可得到S(2j)。限于篇幅本文僅將構件2、3分別離散為3個單元,如圖3所示。

1.2 構件2、3剛度矩陣獲取

應用應變能定義構件3剛度矩陣,則構件3單元j的變形能可表述為

1.3 慣性張量推導

首先對構件3慣性張量進行分析推導。構件3上任一點速度向量表示為

式中,M(3)為構件3的慣性張量;ρ(3)、V(3)分別為構件3的密度和體積。

同理可得到構件1、2的慣性張量。則該移動機械手系統慣性張量為

1.4 運動學分析

輪式移動機械手約束包括完整約束與非完整約束。完整約束來自機械手構件間轉動副,參見圖2。本文研究的移動機械手的輪子假設始終與路面接觸(這也是后續判斷該移動機械手失穩與否的判據之一),則移動機械手約束方程為

1.5 廣義力推導分析

如圖2所示,路面用正弦函數來描述,同時作用到移動載體上的F2、F3[10]可描述為

1.6 動力學分析、推導

依據拉格朗日方程,可以得到該移動機械手系統動力學方程:

式中,λ為拉格朗日乘子。

式(16)同時包含了常微分方程和代數方程,必須同時對其進行求解,這將增大求解難度,同時也加大了數值法求解時的累計誤差等。為此,本文應用獨立變量來表示系統動力學方程。將式(11)代入式(16)中,通過簡化可以得到

2 動力學數值仿真

采用狀態空間法描述上述動力學模型[9](式(17)),可得到

式(18)為一組常微分方程,則對系統動力學方程的求解問題轉換為帶初值的常微分方程求解問題。由于本文所考慮構件的彈性變形為小變形問題,所以柔性輪式移動機械手獨立變量間存在數量級上的較大差異。因此,式(18)為剛性常微分方程組。基于Gear's法(高階線性多步法),并采用MATLAB2006對式(18)進行數值法求解。數值仿真所用參數如下:m(1)=20kg,m(2)=0.9kg,m(3)=1kg;K 1=1130N/m,K2=2620N/m;C1=113N?s/m,C2=262N?s/m;d1=0.35m;t=0.35s;E=210MPa;l(1)=0.7m,l(2)=1.1m,l(3)=0.8m;d2=0.35m;g=9.8m/s2;l10=0.26m,l20=0.18m;構件2、3的半徑分別為r2=0.007m,r3=0.007m;T(21)=-17N?m,T(32)=40N?m;λ=0.4m;v=0.3m/s;H0=0.03m,h=0.539m,c0=0;m p=5kg。部分數值仿真結果如圖5～圖8所示。

在相同參數下比較柔體動力學模型與其退化為剛-柔、剛體動力學模型的數值解,從圖5、圖6可以看出構件彈性變形、彈性振動對系統動力學性能的負面影響。如圖5所示,由于考慮構件2、3的彈性變形及彈性振動,致使移動載體水平驅動力變化幅度、頻率急劇增大;由圖6所示的θ(2)的3種模型數值仿真結果可看出,隨著時間的推移仿真結果出現較大的出入。這些充分體現出構件彈性變形與構件大范圍參考運動間的動力學耦合效應及構件彈性振動對系統性能的負面影響。圖7顯示了該輪式移動柔性機械手獨立系統變量θ(2)及其速度和加速度的變化趨勢與規律:θ(2)變化平緩,其速度和加速度在零值上下快速波動,可以看出它們的變化規律符合變量對時間求導的規則。由圖8可看出,構件2、3軸向剛度足夠大,可以不考慮該方向的彈性變形問題。

圖5 移動載體水平驅動力

圖 6 θ(2)數據仿真

圖7 θ(2)、、數據仿真(柔體模型)

圖8 構件2節點3彈性位移數據仿真

3 結論

本文對輪式彈性-阻尼懸架移動2桿柔體機械手運動學、動力學正解進行了系統研究。綜合采用了有限元法和浮動坐標法,在笛卡兒坐標系下精確建立了系統動力學模型,并以矩陣、矢量的形式形成簡潔的表達形式。由于中間單元坐標系的引入,使得該動力學模型可以精確描述構件剛體運動。相對關節變量而言,該方法更具有通用性,適用于大規模多體系統動力學分析,同時該動力學模型便于應用計算機進行數值求解。該動力學模型綜合考慮了機械手的彈性變形(率)、彈性振動和懸架系統對整體動力學的影響。最后采用數值法給出了該動力學模型的正解仿真結果。通過該仿真結果可以看到上述動力學耦合現象及構件彈性振動的負面影響。該動力學模型和數值仿真可用作柔性輪式移動機械手參數設計之參考,并可指導選擇相應控制策略等。

[1] Akpan U O,Kujath M R.Sensitivity ofaMobileManipulator Response to System Parameters[J].ASME Journal of Vibration and Acoustics,1998,120:156-163.

[2] Yu Q,Chen I.A General Approach to the Dynam icsof Nonholonom ic Mobile Manipu lator Systems[J].ASME Journa l of Dynam ic Ssystem s Measurements,and Control,2002,124:512-521.

[3] Korayem M H,Gharib lu H.Analysis o f W heel Mobile Flexibility Manipulator Dynam ic Motions w ith Maximum Load Carrying Capacities[J].Robotics and Autonomous System,2004,48:63-76.

[4] Korayem M H,Ghariblub H,Basu A.Optimal Load of Elastic Joint Mobile Manipu lators Imposing an Overturning Stability Constraint[J].Int.J.Adv.Manuf.Technol.,2005,26:638-644.

[5] Gharib lu H,Korayem M H.Trajectory Op tim ization o f Flexible Mobile Manipu lators[J].Robotica,2006,24:333-335.

[6] Korayem M H,Heidari A,Nikoobin A.Maximum A llow ab le Dynam ic Load o f Flexible Mobile Manipulators Using Finite Element Approach[J].Int.J.Manu f.Technol.,2008,36:1010-1021.

[7] Meghdari A,Durali M,Naderi D.Dynam ic Interaction between the Manipulator Andvehicle of a Mobile Manipu lator[J].Journal of Intelligent and Robotic Systems,2000,28:61-67.

[8] NaderiD,Meghdari A,DuraliM.Dynam ic Modeling and Analysis o f a Tw o DOFMobile Manipulator[J].Robotica,2001,19:177-185.

[9] Shabana A A.Dynam ics of Multi-body System s[M].Third Edition.Cambridge:Cambridge University Press,2005.

[10] 楊玉維,張明路,趙新華.七自由度柔性輪式移動機械手動力學研究與仿真[J].中國機械工程,2009,20(6):662-668.

Simulation of Dynam ics of a Mobile2-link Flexible Manipulator Based on Finite Element Method

Yang Yuwei Zhao Xinhua Wang Shoujun Xu Jinyou Chen Wei
Tianjin Key Laboratory for Control Theory&Applications in Comp licated System s,Tian jin University of Technology,Tian jin,300384

This paper concentrated on the kinematics and dynam icsm odeling of am obile 2-link flexib lemanipu lator(M 2LFM),which consisted of am obile basewith a 2-DOF linear elastic-damping suspension system and a flexib le manipu lator and was considered to travel w ith a constant linear speed over an irregu lar g round-surface.Based on Lagrange and New ton-Ou ler theories,the system dynamicsmodelof the M 2LFM in which the referencemotion and the elastic deformationwere coup led was derived using the finite elementmethod and intermediated element coordinatesystem s and floating frame of reference formulation which can lead to zero strains,and was com pactly described w ith matricesand vectorsmeasured with respect to a gobal Cartesian frame of reference.A t last,the numerical simulations were carried out to the forward dynamicsm odelof a M 2LFMand a rigid-flexibleone and a rigid one,respectively.These sim ulation results illustrate these effectsof dynam ic coup lingsand elastic vibration on system by comparion.

2-link flexible;mobile manipulator;finite element method;kinem atics;dynam ics;coup ling

TH 12

1004—132X(2011)11—1352—06

2010—06—28

國家高技術研究發展計劃(863計劃)資助項目(2006A A04Z221,2007AA 04Z203);國家自然科學基金資助項目(50675156);天津市應用基礎與前沿技術研究計劃資助重點項目(07JCZDJC09100);天津市高等學校科技發展基金資助項目(20100401)

(編輯 蘇衛國)

楊玉維,男,1975年生。天津理工大學機械工程學院講師。研究方向為移動機械手動力學。趙新華,男,1962年生。天津理工大學機械工程學院教授、博士研究生導師。王收軍,男,1965年生。天津理工大學機械工程學院教授。徐進友,男,1977年生。天津理工大學機械工程學院講師。陳 煒,女,1973年生。天津理工大學機械工程學院講師。