蔡氏電路的實驗制作

朱 雷,包伯成,卜沛霞,喬曉華

(江蘇技術師范學院電氣信息工程學院,江蘇常州 213001）

蔡氏電路的實驗制作

朱 雷,包伯成,卜沛霞,喬曉華

(江蘇技術師范學院電氣信息工程學院,江蘇常州 213001）

本文以一個簡單的經典蔡氏電路作為電子技術綜合實訓的實驗制作電路,指導學生進行工作原理分析、狀態方程建模、數值仿真、運算放大器形式的蔡氏二極管等效電路設計,以及實驗觀察。蔡氏電路的實驗制作可以讓學生從簡單的電路中觀察到豐富的非線性物理現象,可以鞏固學生對已學內容的理解。

綜合實訓;蔡氏電路;混沌

0 引言

蔡氏電路是一種非線性混沌電路[1-3],它是以美國加州大學伯克利分校蔡少棠的姓命名的。蔡氏電路只含有四個基本元件和一個非線性電阻,實驗電路制作簡單。通過對一個電阻的調節,便可從電路中觀察到周期極限環、單渦旋和雙渦旋混沌吸引子的非線性物理現象。因此,蔡氏電路已成為在數學和物理實驗方面演示混沌現象的一個范例。

近兩年來,匈牙利學者Gandhi等[4]和Bilotta等[5]人把長期只有學者們關注的混沌這一富有挑戰性的主題,延伸到了高中學生的學習活動中。他們分別組織高年級學生,進行蔡氏電路的實驗制作,觀察電路產生的復雜混沌現象,使學生的學習興趣和動手能力有了很大的提升。

電子信息工程類專業學生在本科學習階段進行的實驗觀察,大多是基于電參數(電壓和電流)變量關于時間的二維平面觀察,尚未開展過基于兩個參數變量關于時間的三維空間觀察。學生在四年本科課程完成后還不清楚兩個正弦參數變量的相軌圖是怎樣的。因此,有必要在本科學習期間增加蔡氏電路的實驗制作這一電子技術綜合實訓課程,讓學生建立起空間觀察概念,并對電路的非線性現象有一定的了解。筆者在部分電子信息工程類專業學生的電子技術綜合實訓中開設了蔡氏電路的實驗制作課程,指導學生圓滿地完成了該課程內容的學習,獲得了令人滿意的結果。

1 電路分析、建模和仿真

1.1 電路原理與數學建模

蔡氏電路由一個電感、兩個電容、一個電阻和一個非線性電阻組成,如圖1(a)所示。電路中電感L和電容C2構成了一個LC振蕩電路,非線性電阻RN和電容C1并聯后通過一個電阻R和振蕩電路線性耦合在一起,形成了只有5個元件的能夠產生復雜混沌現象的非線性電路。圖1(b)是RN的伏安特性。

圖1 蔡氏混沌電路和蔡氏二極管的VCR

蔡氏電路有三個動態元件,分別是電容C1、C2和電感L,對應的三個狀態變量是電容兩端的電壓v1和v2,流過電感的電流 i L。根據電阻、電容和電感的元件伏安特性(即VCR),應用基爾霍夫電壓、電流定律(KV L和KCL),可以導出基于這三個狀態變量的微分方程組:

式中,f(v1)是描述蔡氏二極管R N(非線性電阻)的伏安特性,r是電感的寄生電阻值(圖中沒有畫出)。

一般的蔡氏二極管是一個具有分段線性函數形式的非線性負阻,其伏安特性表達式為式中,Ga是內區間電導,G b是外區間電導,Bp是內外區間的轉折點電壓。

微分方程組式(1)是蔡氏電路的數學模型,它是一個三維連續自治混沌系統。在該系統中,在第一方程中有一個非線性項,因此它是一個非線性系統。已有大量文獻對式(1)進行了無量綱處理,得到了只有三個控制參數的三維系統方程,稱之為蔡氏電路方程。

1.2 數值仿真分析

利用Matlab仿真軟件平臺,可以對由式(1)描述的系統進行數值仿真分析。這里,選擇ODE45算法對系統方程求解,很容易獲得蔡氏電路狀態變量的相軌圖和時域波形圖。

固定電路參數C1=10 nF,C2=100 nF,L=17.2 mH,r=0.5Ψ,G a=-757.58μS,G b=-409.09 μS和 B p=1.075 V,選擇電阻值 R可變,數值仿真可得到在不同R時蔡氏電路的運行狀態,如圖2所示。圖2(a)和圖2(b)顯示了蔡氏電路在電阻R=1.96 kΨ和R=1.945 kΨ時對應的周期1和周期2極限環,這里初始狀態均為(0.1,0.1,-0.001);圖2(c)和圖2(d)則示出了在電阻R=1.91 kΨ時分別對應于初始狀態(0.1,0.1,-0.001)和(0.1,0.1,0.001)時共存的單渦卷左、右混沌吸引子。

圖2 蔡氏電路運行狀態

當電阻R=1.57 kΨ時,蔡氏電路可生成一個典型的雙渦卷混沌吸引子,如圖3(a)所示,所對應的時域波形如圖3(b)所示。數值仿真結果表明,隨著電阻R逐漸降低,蔡氏電路的運行狀態經歷了從最初的一個漸近穩定點、周期振蕩、諧波振蕩到單渦卷混沌振蕩和雙渦卷混沌振蕩的過程,最終趨于無窮發散。在這演變過程中,在出現雙渦卷混沌吸引子之前,周期極限環和單渦卷混沌吸引子在相平面上所處的象眼位置取決于電感電流初始值的正負符號。符號為正為右吸引子或右極限環;符號為負為左吸引子或左極限環。

圖3 典型混沌吸引子及其時域波形

2 設計制作和實驗觀察

2.1 蔡氏二極管等效電路設計

非線性元件(蔡氏二極管)是蔡氏電路產生混沌現象的重要元件,可采用多種方式實現,一種較為簡單的實現電路如圖4所示。圖中,R N是由兩個運算放大器和六個電阻組成的等效電路實現的,可看成是兩個非線性電阻RN1和RN2并聯而成。利用運算放大器的輸出飽和電壓特性,可實現由式(2)描述的等效電路伏安關系[6]。

圖4 蔡氏二極管等效電路實現和運算放大器傳遞特性

這里,以非線性電阻R N1的等效電路實現分析為例,設E sat是運算放大器的飽和電壓,并令R1=R2,經推導得

由式(3)可以畫出R N1的伏安關系曲線如圖5所示,它是一條形似于N型的具有非線性負阻區域的特性曲線。

同樣地,令R4=R5,可以得到描述非線性電阻R N2的關系式:

圖5 R N1的VCR

兩個非線性電阻RN1和RN2并聯后,構成了一個具有五段分段線性函數形式的非線性電阻。與式(2)作比較,由圖4(a)等效電路實現的蔡氏二極管的電路參數為

2.2 電路制作和實驗觀察

在實際制作調試圖4所示的蔡氏電路過程中,可以分如下步驟進行。

首先,選定型號TL082CP集成運算放大器,工作電源設定為±9V。選擇R1=R2=220Ψ,R4=R5=22kΨ,R3=2.2kΨ,R6=3.3kΨ。由式(5)可計算得 Ga=-757.58μS,Gb=-409.09μS 。實驗測得Esat≈7.5V,計算得到B p≈1.075V。選用上述給定值的誤差范圍為±1%的精密電阻元件,就可以實現蔡氏二極管功能的非線性電阻RN。

為了實現圖1所示的電路元件,我們自行繞制電感線圈,經測試電感值L≈17.2mH,電感線圈的寄生電阻r=0.5Ψ;選擇兩只精度較高的獨石電容,電容值分別為C1=10nF,C2=100nF;另選擇一只阻值可調的精密電位器R,用于實驗觀察時調節電阻值。

實驗觀察設備采用泰克雙通道數字示波器,通道1測試圖1(a)電路中電容C1端電壓V1,通道2測試電容C2端電壓V2。在電位器調節到不同阻值時對應的實驗輸出的相軌圖如圖6所示。當電位器阻值R=1.58kΨ時,在示波器上可分別觀察到蔡氏電路所產生的混沌吸引子及其兩路時域波形圖,如圖7所示。

由于分立元器件的離散性以及儀器的測量誤差等,實驗中蔡氏電路不同的運行狀態所對應的電位器阻值與上述數值仿真時所選取的電阻值略有差異,但兩者運行狀態的演變趨勢一致。

圖6 蔡氏電路運行狀態

圖7 混沌吸引子及其時域波形實驗輸出

3 結語

本文介紹的蔡氏電路的實驗制作包含了電子信息工程類專業課程的重要內容,把它作為電子技術實訓內容可以讓學生進一步理解專業課程內容有著啟迪意義,有利于培養學生的實際動手能力和科技創新思維。

三階蔡氏電路是一個三維混沌系統,所產生的非線性物理現象與普遍存在于自然界的具有“蝴蝶效應”的混沌現象是完全一致的。由于非線性電路產生的混沌信號已在信息工程領域得到了廣泛的應用[7]。因此,熟悉一定的非線性電路與系統的理論并了解混沌信號的具體產生電路和應用領域,對學生今后從事技術開發工作有一定的作用。

[1] E.Bilotta,P.Pan tano,F.Stranges.A gallery of Chua attractors:Part I[J].International Journal of Bifu rcation and Chaos,2007,17(1):1-60

[2] T.Matsumoto.A chaotic attracto r from Chua's circuit[J].IEEE Trans.on Circuits and Sy stems,1984,31(12):1055-1058

[3] G.Q.Zhong,F.Ayrom.Periodicity and chaos in Chua's circuit[J].IEEE Trans.on Circuitsand Sy stems,1985,32(5):501-503

[4] G.Gandhi,G.Cserey,J.Zerozek,T.Rosk.Anyone can build Chua's circuit:H ands-on-experience w ith chaos theory for high school students[J].International Journal of Bifu rcation and Chaos,2009,19(4):1113-1125

[5] E.Bilotta,E.Bossio,P.Pan tano.Chaos at school:Chua's circuit for students in junior and senior high school[J].International Journal of Bifu rcation and Chaos,2010,20(1):1-28

[6] R.Barboza,L.O.Chua.The fou r-elem ent Chua's circuit[J].In ternational Journal of Bifurcation and Chaos,2008,18(4):943-955

[7] Z.Liu,X.H.Zhu,W.H u,F.Jiang.Principles of chaotic signal radar[J].International Journal of Bifurcation and Chaos,2007,17(5):1735-1739

Experimental Implementation of Chua's Circuit

ZHU Lei,BAO Bo-cheng,BU Pei-xia,QIAO Xiao-hua

(Schoolo f E lectrica l and In formation Eng ineering,Jiangsu Teachers University o f Technology,Changzhou 213001,Ch ina)

Regarding a sim ple classic Chua's circuitas an experiment circuit ofelectronic technology comprehensive training,students are guided to perform operating p rincip le analysis,state differential equation modeling,numerical simulation,equivalent circuit design of Chua's diodew ith operationalamp lifier form,and experimentalobservations.Chua's circuit experiments can letstudentsobserve abundantnonlinear phenomena from the simp le circuit,and the understanding of the students to the already learned contents is further consolidated.

comprehensive training;Chua's circuit;chaos

G424;TN 702;TN 752

B

1008-0686(2011)02-0078-04

2010-08-12;

2010-12-23 基金項目:江蘇省自然科學基金項目(批準號:BK 2009105)

朱 雷(1979-),男,碩士,講師,主要從事非線性電路與系統的研究,E-m ail:dxzl@jstu.edu.cn

包伯成(1965-),男,博士,研究員,主要從事混沌信息動力學、非線性電路與系統的研究,E-mail:mervinbao@126.com

卜沛霞(1989-),女,本科生,研究方向為非線性電路與系統,E-mail:s08314101@smail.jstu.edu.cn

喬曉華(1960-),男,學士,教授,主要從事非線性電路與系統的研究,E-m ail:ahqxh@126.com