分形幾何在巖土力學研究中的過去、現在與未來

林沛元，湯連生，桑海濤，鄧錫斌，吳 科，鄧鐘尉

（1.中山大學地球科學系, 廣東 廣州 510275;2.廣東省地質過程與礦產資源探查重點實驗室, 廣東 廣州 510275）

0 引言

巖土力學的復雜性源于其研究對象—巖土材料的特殊性。巖土體是多相多組分不連續的開放系統，系統的應力歷史、各組分間的物理化學作用及周圍環境的作用導致巖土材料力學行為具有不確定性、不規則性與模糊性。長期以來，巖土力學工作者致力于采用理想化的數學或力學模型描述巖土這類無規則性、隨機性系統并試圖預測其力學行為，但結果往往不甚理想，甚至出現較大偏差。因此，巖土力學的理論研究急需新的思想，新的方法和新的技術[1]。

分形理論由法國數學家 Mandelbrot創立[2_3]，是上個世紀70年代自然科學的三大發明之一，是描述自然界非線性特征及行為強有力的工具。目前分形理論已廣泛應用到物理學、化學、地理學、地質學、生物學等自然科學領域的研究中，甚至哲學、經濟學、人類的思維等社會科學領域也有涉獵。通過三十幾年的努力，分形幾何應用于巖土力學的研究取得了一系列的成果，成為解決實際巖土工程問題，開創巖土力學理論研究的一個新的突破口。

本文首先簡單介紹分形幾何理論，然后闡述分形在巖土力學領域的研究現狀，最后探討其在巖土力學領域的發展方向。

1 分形幾何簡述

分形幾何是研究具有層次結構的系統其局部與整體在形態、功能、信息、時空等方面的自相似性，并以一個或幾個維數表征其復雜程度。通常情況下，分數維的值越大，則系統越復雜。有研究指出[4]，軟土加固后，其孔隙度分維、孔隙分布分維及孔隙邊緣形狀分維均有不同程度的降低，表明系統向有序性進化。多重分形系統比單一分形系統復雜。

1.1 分形圖形與維數計算

經典的分形模型有 Koch曲線，Cantor集合，Sierpinski地毯和Menger海綿等，如圖1-4所示。這些著名的分形圖形皆屬數學上的分形，具有嚴格的自相似性質，而自然界中的分形只能是統計意義上的自相似，并且具有無標度區間，即分形特征只存在于一定尺度范圍。如云彩形狀的分形，只有當測量尺度在100～106km2之間才具有分形特征[5]。

分形理論廣泛應用的同時，也為其自身的發展注入了新活力。目前的分形維數主要包括相似維數、容量維數、盒子維數、信息維數、關聯維數及廣義分形維數6種，孫博玲[6]對此進行了討論分析，并在此基礎上概括了分形維數測量的5種方法，它們分別是改變粗視化程度求維數法，測度關系求維數法，關聯函數求維數法，分布函數求維數法和波譜求維數法。不同領域的學者利用不同的分形維數描述不同的研究對象，并采取相應的計算方法進行維數計算。

1.2 分形幾何應用的基本方法

謝和平[1]根據國內外的研究成果，將分形幾何從理論轉向解決實際問題的途徑歸納為三個基本方法：（1）分形模型法；（2）實驗測定法；（3）維象法。這三類基本方法在巖土力學的分形研究中皆有涉及。巖土材料是四相體系[7]，它包含了大量不同層次的孔隙和微裂紋，結構與海綿體相似，因此常用分形模型法將其結構簡化抽象為 Menger海綿模型并進行相關數學分析，由此探尋巖土材料的本征特性。

2 分形在巖土力學中的應用

巖土體的變形、斷裂、微裂紋、孔隙、粒度（塊度）、滲透率、密度及其物理力學性質均應具有分形特征，這一思想已被大量的實驗結果所證實[8_12]。利用分形理論研究巖土力學問題，主要內容包括四個方面：（1）定量描述巖土材料的結構；（2）探討水在巖土介質中的滲流問題；（3）巖土材料的強度問題；（4）巖土材料的分形力學特征。

圖1 Koch曲線（n=1，2，3，5）Fig.1 Koch curves (n=1，2，3，5).

圖2 三分Cantor集（n=1，2，3）Fig.2 Cantor sets (n=1，2，3).

圖3 隨機Sierpinski地毯（n=4）Fig.3 Random Sierpinski Carpet (n=4).

圖4 Menger海綿體（n=2）Fig.4 Menger Sponge (n=2).

2.1 結構定量描述

土體結構的分形定量描述歸結為三個方面：

(1) 數量—尺寸分形分布模型，討論孔隙或土顆粒大小的分布特征[13_15]，孔隙分布分形特征可由式(1)[16]表達，而粒度分布的分形模型見式（2）[17]:

式中：D是分形分維，Vp(r)是半徑為r的孔隙體積；N(r＞R)為粒徑大于R的土顆粒數量。

(2) 表面分形模型，探討孔隙與固體顆粒界面的分形特征[8,18]。土顆粒并非想象中的圓球狀，而是粗糙不平且無規則的。Avnir[19]等通過研究土粒表面積與土粒平均半徑的非線性關系，指出土粒表面具有分形特征。二維孔隙土粒界線通常采用 Koch曲線模擬。

(3) 質量分形模型，描述固體顆粒質量分布的分形特征。粒度分布是巖土材料的基本試驗項，是巖土體力學性能評估的重要指標之一。由于Turcotte[17]提出的數量—粒徑分形模型存在顆粒數量測量上的困難，Tyler[13]改用質量—粒徑關系來描述粒度分布：

式中M(r＜R)為粒徑小于R的顆粒質量；MT為顆粒總的質量；RT為顆粒的最大粒徑。

研究發現，粒度分布的雙對數曲線往往為多段折線，具有多重分形特征[20]，僅用一個分維來描述粒度分布特征并不完善，劉曉明等[21]通過分析沉積巖土的成因，在 Tyler工作的基礎上采用兩個分形維數來描述沉積巖土粒度的分形分布特征，并應用到湖南紅層軟巖崩解性差異的分析。

巖體結構的分形研究，在孔隙模型上雖與土體模型相似，但其更多的是關注巖體中的節理裂隙分布、節理的粗糙度及巖石破碎后塊度的尺寸分布等。巖石碎塊無論是源于切割、爆破或是風化，都表現出分形分布特征，具有自相似性或標度不變性。借助重正化群（renormalization group）理論分析巖石破碎特征是巖土力學分形研究的熱點。巖石破裂的分形維已被證明可以作為材料破碎過程中斷裂阻力的一種度量，實驗表明[17]，分形維越小則材料脆性越好。謝和平在巖石斷裂的實驗觀測基礎上，建立了巖石穿晶斷裂和沿晶與穿晶偶合兩個分形模型，并進行了驗證，見表 1[9]。巖體塊度分布預測與裂隙產生發展的模型在采礦工程中有所應用[22_24]，但這方面仍需大量的基礎工作。

巖石表面或斷裂面的粗糙度可由分形維定量描述[25_27]，王金安、謝和平等人[28]考察了巖石斷裂表面測量時的尺度效應，提出了分形測量的途徑。在節理粗糙度方面，謝和平等[11,29_30]討論了巖石節理粗糙性的分形描述，JRC與分形維數的關系（圖5），以及分維對節理抗剪強度、應力狀態和節理摩擦角的影響。

表1 巖石微觀斷裂的分形維

圖5 典型JRC中心值和預測的JRC值與分維之間的關系曲線Fig.5 Relation curve among typical JRC center value,predicted JRC value and fractal dimension.

2.2 滲流分析模型

巖土體是多孔隙介質，其骨架結構和孔隙是分形的，因此流體在這樣一個分形空間滲流時，也應當具有分形的特征及其它一些特殊的性質。研究指出，溶質在分形孔隙網絡中的擴散并不遵循Fick定律，而是表現為不規則擴散[31]。Yortsos[32]建立了飽和分形介質水份的運輸方程，Guerrini和Swartzendruber[33]證明了擴散率隨時間而衰減，它們之間是冪律關系，隨后建議土中水的運動可用分形布朗運動描述[34]。Yakov[35]和 Dennis在 Yortsos工作的基礎上，利用渝滲集團的物理模型，借助質量守恒定律，并假定水力傳導系數與含水量及滲流距離相關，得到了土中水的傳輸方程。

分形模型在模擬巖土材料滲流的問題上取得較大的成功[36_40]，國內外學者模擬巖土體滲流模型的同時，也發展了滲流過程中重要參數求取的分形方法。巖土體的水力參數，是巖土體持水能力、滲透能力等的表征，在巖土工程實踐中是極其重要的指標，通常與巖土體強度和穩定性息息相關。巖土體水力性質的分形研究主要集中在滲透系數、土水持水（特征）曲線等方面。非飽和土滲透系數具有很強的飽和度敏感性[41]，其直接測量存在現實的困難，尤其是在低飽和度時，用實驗方法直接測量非飽和土的滲透系數幾乎不可能，即使測到其精度也有待商榷。土體持水曲線的確定直接關系到非飽和水力傳導系數、剪切強度等的確定，是非飽和土工程中極其重要的一環。徐永福等[42]由非飽和土孔隙分布的分形模型導出了非飽和土的土水特征曲線、滲透系數、擴散系數的表達式(式（4）、式（5）、式（6）):

式中ψe為非飽和土的進氣值；ψ為非飽和土的基質吸力；Se=(θ?θr)/(θs?θr)，為有效飽和度，θ是非飽和土的體積含水量，θr是殘余含水量，θs是飽和含水量；δ=D?3，D是分維。

式中kr是滲透系數;η=3D?11。

式中d是擴散系數;ξ=2D?7;ks是飽和滲透系數。

目前基于巖土體結構的分形特征，利用分形理論求取滲透系數、預測土體特征曲線的方法已漸趨全面和成熟，并在實踐中有所應用[15,43_48]。

2.3 巖土材料的強度

節理裂隙的分形發育與分布，巖體自身的分形結構，是構成利用分形理論研究巖體強度的基礎。謝衛紅、謝和平等[29,49_50]研究了不同分形節理粗糙度在不同加載條件下對巖石力學特性及單軸壓縮條件下對應力狀態的影響，得出了一些有益的結論。王金安等[51_52]研究了剪切過程中巖石節理粗糙度的分形演化及力學特征，結果表明，僅依據分形維數D不足以確定巖石節理粗糙度與巖石節理力學行為之間的關系，在許多情況下，巖石節理的力學性質對截距的依賴程度大于對分維D的依賴程度。高峰等[53]則認為巖體強度與巖體中節理分布的分形維數密切相關，分形維數增大導致巖體強度非線性降低。在巖石損傷方面，高峰等[54]認為，巖石初始損傷與巖石破碎之間有著較強的相關性，通過分析巖石結構中初始缺陷分布來預測巖石破碎后碎塊的尺度分布規律是可能的；徐志斌和謝和平[55]認為，巖石斷裂的損傷演化過程具有良好的統計自相似性，損傷演化過程是一個增維的過程。

分形理論在土體強度預測（主要是非飽和土）中的應用，主要通過采用土體孔隙的分形模型，預測土體含水率或土水特征曲線，進而與土體剪切強度相關聯[42, 56]:

式中fτ是抗剪強度;c′是有效粘聚力;σ是正應力;ua是孔隙氣壓;φ′是有效內摩擦角;常數ξ介于0～1.0。

謝學斌和潘長良[57]研究了礦山排土場散體巖石粒度分布的分維規律，結果表明，分維數與散體巖石的剪切強度參數摩擦角呈負指數關系；舒志樂等[58]對不同粒度分維不同圍壓下土石混合體的應力－應變特性、強度參數特征及峰值強度特征進行分析并討論它們之間的關系，結果顯示，粒度分維值對強度影響很大，而只具一維分形的土石混合體具有最大的密實度和抗剪強度。Bonala等[59]采用土粒分形模型探討了土體的粘聚力、土體抗剪強度與土體粒度分維的關系。

2.4 分形空間力學特征

傳統的力學定律及法則均建立在整數維空間的基礎上，而對于分形結構材料，在分數維空間，這些力學定律法則是否成立及是否具有新特征，是一個亟需探討的問題。

由于分形數學的特殊性，在歐氏空間中無法定義分形空間的力學量及其導數，如位移梯度等等，必須引入分形空間和Besov空間[60_62]。通常情況下，分形物體或者分形結構的物理力學行為呈現分形特征。謝和平等[63]對損傷力學行為在分數維空間中的演化規律進行了初步探討，推導了材料損傷演化律和損傷本構關系的分形表達形式。

在分數維空間建立描述分形體力學行為的變量和力學定律表達式及運算法則，是分形理論向力學領域深入發展的奠基石，同時也是難點，目前雖有一定量的進展[61,64_67]，但尚未見到這方面系統的成熟的研究成果。

3 結論

自分形理論引入巖土力學領域以來，已經在理論研究和應用研究中取得一系列成果[12,66,68]，比如巖土體孔隙結構的分形描述及強度預測，巖石裂紋擴展機制、損傷力學及能量耗散的分形研究，地震力學中的分形特征，分形熵與熱力學、開礦工程的巖爆預測等等。然而，當前的研究只是起步，分形理論應當繼續深入到巖土力學中的各個領域，繼續深化與創新。只有將分形理論引入現有的力學框架，更廣泛探索分數維空間各種力學的力學量、演化規律及本構模型，理清巖土力學系統各種基本原理和方法在歐氏空間和分形空間的關系，才能產生對巖土材料非線性力學行為的新認識，推動巖土材料細觀力學、微觀力學、宏觀力學理論和應用的綜合發展。

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