達(dá)朗貝爾方程及其解教學(xué)思考

楊俊秀,趙文來,夏海霞

(浙江理工大學(xué)信息電子學(xué)院,浙江杭州 310018）

達(dá)朗貝爾方程及其解教學(xué)思考

楊俊秀,趙文來,夏海霞

(浙江理工大學(xué)信息電子學(xué)院,浙江杭州 310018）

達(dá)朗貝爾方程及對應(yīng)推遲位的解是研究電磁輻射的重要理論基礎(chǔ)。因此導(dǎo)出推遲位表達(dá)式具有重要意義。而電磁場相關(guān)的教材通常都是由方程直接給出達(dá)朗貝爾方程的解,即推遲位表達(dá)式,缺少推算過程及對結(jié)果的舉例分析。本文利用半經(jīng)驗公式,即先猜測后驗證的方法給出其表達(dá)式,并闡明其物理意義,實踐證明教學(xué)效果有所改善。

矢量場;達(dá)朗貝爾方程;推遲位;麥克斯韋方程組

以麥克斯韋方程組為基本出發(fā)點的“工程電磁場理論”是一門難學(xué)難教的課程。授課中,如果我們從物理或?qū)嵗辖忉寛龅母拍?對場與波的關(guān)系多進(jìn)行邏輯推理與歸納,教學(xué)效果會有所改善。

本文從達(dá)朗貝爾方程出發(fā),通過先猜測后驗證的方法給出其推遲位的解,并闡明其物理意義[1]。

1 達(dá)朗貝爾方程

電磁場理論面臨的第一類問題就是已知場源求場的分布。此時從麥克斯韋方程組出發(fā),當(dāng)一次場源電荷密度及電流密度已知,將麥克斯韋方程組第一第二方程分別取旋度,并將第三第四方程引入,再采入矢量恒等式可得電場 E及磁場 H應(yīng)滿足的方程為

上面兩式稱為有源區(qū)域的非齊次矢量波動方程,理論上可由此得到電場 E及磁場 H。當(dāng)外加場源以復(fù)雜形式出現(xiàn)在方程右端,直接求解式(1)和式(2)相當(dāng)困難。為使問題簡化,可引入位函數(shù):即矢量位及電位φm。引用現(xiàn)將式(1)和式(2)變?yōu)榈姆匠?

上兩式稱為達(dá)朗貝爾方程,求解達(dá)朗貝爾方程是研究電磁輻射問題的重要理論基礎(chǔ)[2]。直接求解式(5)和式(6)需要較多的數(shù)學(xué)知識。我們在此處采用先猜測后驗證的方法給出其方程解,即推遲位解,并闡明其物理意義。

2 推遲位解及其物理意義

2.1 達(dá)朗貝爾方程的通解

因為式(5)和式(6)結(jié)構(gòu)相似,求解 A及φm可轉(zhuǎn)化為解標(biāo)量方程式(6)。先分析位于坐標(biāo)原點的一個隨時間變化的點電荷q(t)激發(fā)的標(biāo)量位φm,顯然除原點外,標(biāo)量電位φm滿足齊次波動方程:

因q(t)激發(fā)的場具有球?qū)ΨQ性,相應(yīng)標(biāo)量位φm與坐標(biāo)θ, 無關(guān),僅是r與t的函數(shù),即 φm=φm(r,t)。式(7)在球坐標(biāo)系下展開為

上式是關(guān)于(φmr)的一維波動方程,其中v2=1/με,通解為式中,f1和 f2是具有二階連續(xù)偏導(dǎo)的任意函數(shù),只需包含變量因子(t-r/v)或(t+r/v)[3,4]。下面驗證滿足式(9)的 f1和 f2是式(8)的解,先設(shè) φm r=f1(t-r/v),代人式(8)得

同理,可證φm r=f2(t+r/v)也是式(8)的解,因此f1(t-r/v)+f2(t+r/v)也是式(8)的解。

2.2 通解的物理意義

式(9)中對于 f1(t-r/v),若時間由t增加到t+Δt,空間坐標(biāo)由 r增加到r+vΔt,則 f1[t+Δt-(r+vΔt)/v]=f1(t+Δt-r/v-Δt)=f1(t-r/v),時刻t的空間距離原點為r處的標(biāo)量位φm=f1(tr/v),經(jīng)過時間Δt后標(biāo)量位出現(xiàn)在比r遠(yuǎn)一個距離vΔt處。這意味著 f1(t-r/v)是從原點出發(fā),以v速度向+r方向行進(jìn)的波,稱為入射波。且傳播介質(zhì)為自由空間時,位函數(shù)向前傳播的速度為v= 1/με≈3×108m/s,約等于光速,該結(jié)論同時推翻了超距作用觀點。麥克斯韋曾根據(jù)波動速度約等于光速,在光的波動說或粒子說爭論不休時,用數(shù)學(xué)思維來支持波動說[5]。

相應(yīng)的 f2(t+r/v)是從遠(yuǎn)處出發(fā),以速度v向原點方向行進(jìn)的波,稱為反射波。當(dāng)空間無障礙物,即均勻介質(zhì)空間為無限大時,f2(t+r/v)=0。

2.3 推遲位的具體表達(dá)

靜態(tài)標(biāo)量電位函數(shù) φ=q/4πεr,當(dāng)電荷隨時間變化,達(dá)朗貝爾的通解位函數(shù)中要出現(xiàn)(t-r/v)因子,且只能出現(xiàn)在分子q中,故處于原點的時變點電荷q(t)的動態(tài)標(biāo)量位為φm=q(t-r/v)/4πεr,當(dāng)電荷不位于原點時,只需修正上式為式中,r′為坐標(biāo)原點不在源點時,源的位置函數(shù)。

對于坐標(biāo)原點不在源點時,體積V′中的任意體電荷分布ρ(r′),仍可以按照先微元化然后再疊加即積分求出標(biāo)量位函數(shù):

同理,可求得體積V′中的任意體積電流J(r′)對應(yīng)的矢量位函數(shù)

式(11)和式(12)稱為達(dá)朗貝爾方程的解,表明空間某點在時刻 t的標(biāo)量位或矢量位必須根據(jù)(t-|r-r′|/v)時刻的場源分布函數(shù)求解,即時刻t的空間場中某點r處的動態(tài)位及對應(yīng)場量,并不決定于該時刻激勵源的分布,而是取決于在此之前的(t-|r-r′|/v)時刻源的情況。表明激勵源在時刻t的作用要經(jīng)過一個推遲時間(|r-r′|/v)才能到達(dá)距離它為|r-r′|的位置,這一時間正好是傳遞電磁作用所需的時間。空間的動態(tài)位 A和φ隨時間的變化總是滯后于場源的變化,故稱為推遲位[4-6]。

有了動態(tài)位 A和φ的表達(dá),根據(jù)位函數(shù)的定義可知相應(yīng)的時變電場及時變磁場分別為

至此,達(dá)朗貝爾方程及其推遲位解已經(jīng)呈現(xiàn)出來。若該知識點講到此為止,學(xué)生對其推遲的效果可能理解還不夠,可以進(jìn)一步舉例說明。

[例]自由空間坐標(biāo)原點有一激勵源,且有

試分析在空間距離為r=3×108m處的標(biāo)量位的表達(dá)式。

解:根據(jù)式(10)所示的動態(tài)標(biāo)量位公式,可知在r=3×108m處其對應(yīng)表達(dá),即

由題意可知,t∈[0,1],q(t)有值,對照上式即得(t-1)∈ [0,1],φm有值,即

上式表明,在[0,1]時段激勵源釋放能量,r=3×108m處[1,2]時段有場量,即場量從場源傳到該處需要1秒時間,正好是有限的能量傳播速度;1秒后激勵源撤去,空間的場依然存在;1到2秒時從r=3×108m處經(jīng)過,2秒過后r=3×108m的場量為零,激勵源曾經(jīng)釋放出來的能量向更遠(yuǎn)的空間傳播。經(jīng)過分析,可以加深推遲效應(yīng)的印象,且給“場可以脫離場源單獨存在”這句話找到依據(jù)。

3 推遲位的復(fù)數(shù)形式

對于正弦電磁場,達(dá)朗貝爾方程的復(fù)數(shù)形式為

其中,β2=ω2με為相位常數(shù)。方程的標(biāo)量位及矢量位解的復(fù)數(shù)形式分別為[4]

此處,我們可以引導(dǎo)學(xué)生對照式(11)和式(12),由于時域中的時間延遲因子而且。對應(yīng)的頻域中應(yīng)當(dāng)出現(xiàn)相位滯后因子:

式(16)和式(17)頻域中出現(xiàn)相位滯后因子e-jβ|r-r′|,印證時域中時間延遲對應(yīng)于頻域中相位滯后的結(jié)論 。正是有了相位滯后因子e-jβ|r-r′|,使得電磁輻射成為可能,具體表達(dá)參考相關(guān)文獻(xiàn)。

4 結(jié)語

本文從達(dá)朗貝爾方程出發(fā),通過先猜測后驗證的方法給出其推遲位的解,并闡明其物理意義。我們在教學(xué)中通過對場與波的關(guān)系進(jìn)行邏輯推理與歸納,類似的知識點通過不斷總結(jié)積累,使教學(xué)效果從學(xué)生評教最初的中等上升到良好,甚至優(yōu)秀。

[1] 劉涵哲.赫茲陣子勢方程的求解[J].昆明:云南民族大學(xué)學(xué)報.2010,19(1).49-51

[2] 胡文靜.用重傅氏積分變換法求解達(dá)朗貝爾方程[J].哈爾濱:哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報.2002,7(5).108-114

[3] 倪光正.工程電磁場理論[M].杭州:浙江大學(xué)出版社,2004

[4] 馮慈璋,馬西奎.工程電磁場導(dǎo)論[M].北京:高等教育出版社,2003

[5] FawwazT.U lab,應(yīng)用電磁學(xué)基礎(chǔ)[M],尹華杰譯.北京:人民郵電出版社,2007

[6] William H.Hayt,Jr,John A.Bu ck.Engineering Electromagnetics[M].北京:機械工業(yè)出版社,2002

Consideration of Teaching on D'A lembert Equationsand Its Solution

YANG Jun-xiu,ZHAOWen-lai,XIA Hai-xia

(Schoolo f In formatics and E lectronics,Zhejiang Sci-Tech University,H angzhou 310018,China)

D'A lembert differential equations and its solution are important theory about electromagnetic radiation,so it is necessary to give hysteresis exp ression and its effect.Usually,D'A lembert differential equations is presented firstly in teachingm aterial,its solution and expression secondly,and there is lack of concretely calculating process and examp le analysis.On the basis of half-experience form ula,D'A lem bert differential equations and its so lution are given step by step,including its physicalmeaning in this paper.Practices show that these processes enhance the quality of teaching and obtain satisfied teaching effects partly.

vector field;D'A lembert equations;hysteresis expression;M axwellequations

G420

A

1008-0686(2011)02-0113-03

2010-07-28;

2010-11-29

楊俊秀(1976-),女,碩士,講師,主要從事電磁場、高頻電路方面的教學(xué)研究,E-mail:yangjunxiu@126.com