塊H－矩陣新的簡潔判據(jù)

李艷艷，高美平

(文山學(xué)院數(shù)理系，云南文山663000)

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè) Cn×n(Rn×n)分別是復(fù)(實(shí))矩陣的集合，

其中Aii為ri階方陣，1≤i≤k，且非奇異。在實(shí)際問題中Aii是稀疏的且很多是零矩陣。

引理1［1］設(shè)n階方陣A≥0，如果存在一個(gè)置換矩陣P∈Rn×n，使得其中B和D分別是k，l階方陣，k≥1，l≥1，則稱A是可約矩陣，否則稱A是不可約矩陣。

定義1［1］常用的三種誘導(dǎo)矩陣范數(shù):1－范數(shù):(列和范數(shù)，A的每一列元素絕對(duì)值之和的最大值)。2－范數(shù):‖A‖2=σ1，其中σ1是A的最大奇異值，即A*A的最大特征值的非負(fù)平方根。∞ －范數(shù)(行和范數(shù)，A的每一行元素絕對(duì)值之和的最大值)。

定義2［1］設(shè)B=(bij)=(‖Aij‖)k×k不可約，則稱A為塊不可約，這里‖·‖是誘導(dǎo)矩陣范數(shù)。

定義3［1］若。則稱A為塊對(duì)角占優(yōu)矩陣記為A∈BD;若都是嚴(yán)格不等式，則稱A為塊嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣記為A∈BSD。

定義 4［1］若存在 x=(x1，x2，…，xk)T＞ 0，使得，則稱 A 為塊H－矩陣，記為A∈BH。

顯然，若N1=?，則A∈BD，即A是塊H－矩陣，由文獻(xiàn)［2］知，塊H－矩陣至少有一行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，即N2≠?，所以常常假定N1，N2都非空。

塊H－矩陣在數(shù)值分析，數(shù)學(xué)物理和控制論等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，但是如何實(shí)際判定一個(gè)矩陣是塊H－矩陣確是十分困難的。本文給出一個(gè)新的簡潔判據(jù)，并應(yīng)用于判定矩陣的正穩(wěn)定性和亞正定性。

2 塊H－矩陣的新的判據(jù)

定理1 設(shè)A=(aij)有形如(1)的分塊，若

則A是塊H－矩陣。

因?yàn)棣拧佟蓿瑒txi≠∞，即X是正對(duì)角矩陣，設(shè)D=(dij)=CX，即dij=xjcij，?i，j∈K，下面證明D∈BH。

?i∈ N1: 如果則‖Ait‖ =0，由(2)知

因?yàn)棣牛?，則

由(5)式知，?j∈N2，

3 應(yīng)用

由上述結(jié)論，我們?nèi)菀椎玫疥P(guān)于矩陣正穩(wěn)定性和亞穩(wěn)定性的判別條件。

矩陣A=(aij)∈Cn×n的特征值記作λ(A)，Reλ(A)表示λ(A)的實(shí)部。

引理1［2］設(shè)A=(aij)∈Mn(C)形如(1)式，且K={1，2，…，k}，K=N1+N2，且N1∩N2= ? ，若i∈N1時(shí)，Aii為Hermite正定矩陣，i∈N2時(shí)，若Aii為非奇異M －矩陣，則矩陣范數(shù)取Frobenius范數(shù)，當(dāng)A為塊H－矩陣時(shí)，則A為正穩(wěn)定陣，即Reλ(A)＞0。

由引理1直接得

定理2 設(shè)A=(aij)∈Mn(C)形如(1)式，且K={1，2，…，k}，K=N1+N2，且N1∩N2=?，若i∈N1時(shí)，Aii為Hermite正定矩陣，i∈N2時(shí)，Aii為非奇異M －矩陣，矩陣范數(shù)取Frobenius范數(shù)，當(dāng)A滿足定理1條件時(shí)，A為正穩(wěn)定陣。

推論1 設(shè)A∈Zn×n，若A滿足定理2的條件，則A為非奇異M －矩陣。

推論2 設(shè)A為Frobenius陣，若A滿足定理1條件，則A為Hermite正矩陣。

定理3 設(shè)A=(aij)∈Mn(C)形如(1)式，若以代替A，滿足定理2的條件，aii中有p個(gè)實(shí)部為正，q個(gè)實(shí)部為負(fù)，p+q=n，則A正好有p個(gè)特征值實(shí)部為正，q個(gè)特征值實(shí)部為負(fù)。

［1］ 黃庭祝，楊傳勝.特殊矩陣分析及應(yīng)用［M］．科學(xué)出版社，2006:89－95．

［2］ Pang M X，Mao G P.Generalizations of Diagonal Do minance for Matrices and Its Applications［J］．J of Math.Research Exposition，1991，(4):507 －509.

［3］ 高中喜，黃庭祝，劉福體.塊H－矩陣的簡潔判據(jù)［J］．工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2004，(3):340－344.