含非貫穿直裂紋管道局部柔度系數的廣義解研究

胡家順，孫文勇，劉 朵，周 晶

(1.中國石油集團安全環保技術研究院安全技術研究所，北京 100083;2.大連理工大學 海岸和近海工程國家重點試驗室，大連 116024)

含非貫穿直裂紋管道局部柔度系數的廣義解研究

胡家順1，孫文勇1，劉 朵2，周 晶2

(1.中國石油集團安全環保技術研究院安全技術研究所，北京 100083;2.大連理工大學 海岸和近海工程國家重點試驗室，大連 116024)

基于局部柔度的裂紋模型研究已受到普遍關注，然而，針對含任意方向角裂紋管道的局部柔度系數理論研究鮮有報道。根據線性斷裂力學理論推導了含任意方向角非貫穿直裂紋管道在軸力、剪力和彎矩等荷載作用下的局部柔度方程，考慮了方向角變化對彎矩引起局部柔度系數的影響。利用適應性Simpson方法編寫了數值積分程序進行局部柔度系數求解，并與Naniwadekar等人試驗結果進行了對比分析。研究結果表明:提出的局部柔度系數求解方法準確，為含任意方向角裂紋管道的振動分析提供了基礎。

振動分析;局部柔度;管道;裂紋;裂紋方向角

對于工程結構、機械設備，在靜動力荷載的長期作用下，隨著材料的腐蝕、老化，出現裂紋損傷不可避免。隨著結構、設備服役年限的增長，裂紋損傷的累積和擴展，如果不及時發現和采取有效措施防治，則極易出現各類安全事故，如構件斷裂、結構倒塌、設備失效、容器爆炸等。因此，裂紋損傷作為影響結構、設備安全事故的主要原因之一，在工程領域已受到普遍關注和重視，含裂紋結構、設備的振動分析、裂紋識別等問題已成為學者研究的熱點問題之一，Dimarogonas［1］和 Papadopoulos［2］對該領域的研究進展進行了詳細的綜述。

線性斷裂力學理論的重大突破歸功于Irwin應力場強度因子概念的提出［3］。Irwin通過把裂紋尖端局部的宏觀力學行為與微觀特征聯系起來，確定了裂紋尖端前緣區域的應力和位移場與每種裂紋類型的關系。此后，Dimarogonas和 Papadopoulos［4－7］依據線性斷裂力學理論，計算了各種荷載作用下由裂紋引入的局部柔度系數，建立了以“有限元”或“彈簧鉸”刻畫裂紋局部行為的裂紋模型。他們開創性的工作推動了含裂紋結構的動力學發展。基于局部柔度的裂紋模型具有明確的物理意義、理論性強、應用性好等優點，被廣泛應用于裂紋轉子和裂紋梁的動力學分析。

然而，令人遺憾的是目前基于局部柔度建立的裂紋模型存在以下不足:① 多數裂紋模型是針對矩形或圓形截面的實體結構建立的，如矩陣或圓形截面的梁、桿類結構，而針對管道結構的裂紋模型只有少數文獻報道［8－10］;② 大多數裂紋模型存在同樣的假設，即裂紋尖端方向與外力方向垂直或平行。但是，在實際工程中，裂紋結構的裂紋尖端方向并不局限于與外力垂直或平行，還存在與外力成任意角情況［11－12］。在裂紋轉子動力學中裂紋與外力成任意角的裂紋模型已有研究工作涉及，但是對于管道裂紋與外力成任意角的裂紋模型研究卻鮮有報道。Naniwadekar等人［10］利用試驗研究了裂紋與外力成任意角的管類結構的振動特性，但文中并沒有給出裂紋與外力成任意角的管道局部柔度的解析表達式，因而，文中結果很難應用于工程實際。

為了研究含裂紋管道的力學行為，發展合適的裂紋模型必不可少。而推導合理的裂紋局部柔度系數廣義解是建立管類結構裂紋模型的關鍵環節。本文開展了裂紋與外力成任意角的管道局部柔度的理論研究，推導了含有非貫穿直裂紋管道在軸力、剪力和彎矩作用下的局部柔度方程的廣義解，并進行求解和驗證，進一步發展和完善了裂紋結構的局部柔度求解理論。

1 局部柔度系數方程的理論推導

非貫穿直裂紋如圖1所示，裂紋深度為a，管壁厚為t，管外徑為De，管內徑為Di。裂紋管單元受到軸力P1、剪力P2和彎矩P3的聯合作用。假設P1方向與管軸重合;P2、P3方向如圖1(a)所示，與裂紋截面的法線n成φ角度，本文稱φ為方向角。根據Dimarogonas建立裂紋轉軸局部柔度的思想，把裂紋區域離散為一序列獨立的矩形條帶，各矩形條帶按照裂紋梁理論計算附加應變能，然后積分得到總應變能，從而求得裂紋引入的局部柔度［1，2］。

根據圖1(b)所示的幾何關系，得到如下的表達式:

式中:2b為裂紋尖端處寬度;ξ'為距離積分條帶頂部的局部深度變量;h'(η)為積分條帶深度，ξ、η分別為全局坐標下的深度變量和偏移距離。

假設在外力作用下，結構中裂紋區域處于彈性階段，根據線彈性斷裂力學理論，裂紋出現所產生的附加應變能［6］表示為:

式中:J為應變能釋放率，Ac為有效裂紋面積。裂紋引起的附加應變能釋放率J可表示為:

式中:KI1、KI2、KI3分別為軸力、剪力、彎矩引起的 I型裂紋的應力強度因子;KII2為剪力引起的II型裂紋的應力強度因子。在平面應力狀態下 E'=E;在平面應變狀態下E'=E/(1－ν2)。其中，E為彈性模量，ν為泊松比。

圖1 (a)裂紋管單元;(b)裂紋截面幾何尺寸Fig.1(a)Cracked pipe element;(b)Cracked section geometry

對于含裂紋管道，在軸力、剪力和彎矩作用下，各條帶裂紋區域應力強度因子可表示為［10］:

式中:Pi(i=1，2，3)分別表示裂紋單元的軸力、剪力和彎矩，γ=Di/De，F1、F2、FⅡ為應力強度因子的修正系數，可表示為［11，13］:

根據卡式定理(Castigliano’s theorem)，裂紋引入的附加位移可表示為應變能對力的導數:

則裂紋引起的附加局部柔度可表示為:

式中:cij(i，j=1，2，3)為各荷載引入的含裂紋管道的局部柔度系數。

圖2 φ與裂紋受拉區域的關系Fig.2.The relationship between angle φ and tension area

對于圖2所示的含裂紋管道，受到垂直面內的彎矩P3作用時，裂紋截面一部分處于受拉區域，另一部分處于受壓區域。若裂紋尖端處于拉伸狀態，則裂紋表面是張開的，導致了含裂紋管道彎曲剛度的降低;若裂紋尖端處于受壓狀態，則裂紋處于閉合狀態，此時可認為含裂紋管道彎矩剛度與完好狀態相等。可以看出，含裂紋管道在彎矩作用下的局部柔度系數與裂紋方向角φ密切相關。由于裂紋引起的局部柔度是方向角φ的周期性函數，因此，裂紋的張開—閉合行為隨著方向角的大小而改變。隨著φ的變化，裂紋截面會出現以下三種狀態:① 完全張開狀態;② 部分張開—部分閉合狀態;③ 完全閉合狀態。

已有研究證明，只有受拉區的張開裂紋對結構局部柔度產生影響，而受壓區的閉合裂紋對結構局部柔度的影響可忽略不計［11－12］。然而，裂紋截面在剪切應力和軸向應力作用下，局部柔度系數的求解不受裂紋拉壓狀態的影響，需要計算整個裂紋表面區域應變能的貢獻。

轉換積分表示方式，令 x=ξ/De，y= η/De，則 dξ'=Dedx，dη =Dedy，有:

把式(3)～式(7)代入式(12)，然后轉換積分表達方式，可推導出各荷載引起的局部柔度系數cij，為了直觀比較各局部柔度系數cij，對局部柔度系數進行了無量綱處理，得到含裂紋管道無量綱的局部柔度系數AF(i，j)(本文簡稱“無量綱柔度”)。任意方向角φ條件下推導的管道無量綱柔度表達式與φ=0時明顯不同，任意方向角φ含裂紋管道的無量綱柔度不僅是裂紋深度的函數，同時也是裂紋方向角φ的函數。推導的無量綱柔度方程如下:

Chasalevris 和 Papadopoulos［11］研究含裂紋轉軸局部柔度時指出:對于任意方向角φ的轉軸，由于應力強度因子應用條件的限制，方向角φ介于±30°之間時，進行彎矩作用下無量綱柔度求解的精度較高。隨著方向角φ的改變，裂紋截面的有效積分面積也將隨之變化。當φ≥φcr(φcr為臨界角)時，裂紋部分截面開始進入受壓區，裂紋截面的有效面積逐漸減小;當φ≥φcl(φcl為閉合角)時，裂紋完全位于受壓區，裂紋閉合，此時彎矩引起的AF(3，3)=0。

圖3 (a)水平面內的彎矩作用;(b)垂直面內的彎矩作用Fig.3(a)bending in horizontal plane;(b)bending in vertical plane

對于裂紋深度為 a的管道，由 y1、y2可求得 φcr、φcl值。

式中，λ=a/De。可以看出臨界角φcr、閉合角φcl均是裂紋相對深度的函數。對于給定裂紋深度的管道，管道受到垂直面內的彎矩(φ=90°)與管道受到水平面內的彎矩(φ=0°)引起的局部柔度相同。因此，在垂直面內的彎矩作用下，當方向角φ滿足60°≤φ≤90°時，根據上述思想推導的無量綱柔度方程為

與式(17)類似，利用式(23)進行水平面內彎矩作用下無量綱柔度計算時，要求－30°≤φ≤0°，即等價于垂直面內彎矩作用下60°≤φ≤90°的條件。所以，在0°≤φ≤180°的范圍內，局部柔度AF(3，3)的計算分3部分進行，即0°≤φ≤30°、60°≤φ≤90°、φcl≤φ≤180°。另外，由于滿足可導性和連續性的邊界條件，30°≤φ≤60°和90°≤φ≤φcl的局部柔度系數可通過B樣條曲線插值得到［11］。至此，當方向角φ為任意值時，含非貫穿直裂紋管道的無量綱柔度AF(3，3)均可通過計算得到。

2 無量綱柔度的求解與驗證

式(14)～式(19)是關于 x、y內積分限為函數的雙重積分，且內部積分函數表達式十分復雜，無法通過直接積分給出無量綱柔度方程的解析表達式。因此，本文采用數值積分方法求解局部柔度系數。根據文獻［14］中給出的適應性Simpson積分算法的思想和建議，本文應用Matlab軟件編寫了無量綱柔度方程求解的數值積分算法程序(Local Flexibility Integral Program-LFIP)，計算流程如圖4所示。對于已知物理參數和截面尺寸的管道，根據LFIP可以計算任意深度a、任意方向角φ含非貫穿直裂紋管道的無量綱柔度系數。

圖4 無量綱柔度的求解流程圖Fig.4.Flow chart of the nondimensional flexibility

對于含任意方向角φ非貫穿直裂紋的管道，由上述內容可知，相對軸力、剪力荷載，彎矩作用引起的無量綱柔度AF(3，3)的計算較為復雜，計算過程中涉及裂紋表面拉壓區域面積的判斷以及利用B樣條插值求解其余方向角φ的AF(3，3)值。限于篇幅，本文則重點討論任意方向角φ管道的無量綱柔度 AF(3，3)特點。假定 γ =0.5，選取三組 φ1、φ2、φ3共 12 個不同的角度進行計算，如表1所示。首先根據式(21)、式(22)計算a/De取不同值時的臨界角φcr與閉合角φcl，結果如表2所示。

表1 方向角φ取值Tab.1 Values of the angle φ

表2 各裂紋深度對應的φcr和φcl值Tab.2 Values of φcrand φclwithin different crack depth

根據表2的計算結果可知，φ3＞φcr時裂紋完全位于受壓區，即裂紋完全閉合，無量綱柔度系數AF(3，3);φ1＜φcr時裂紋完全位于受拉區，裂紋張開;φ2＞φcr時裂紋部分位于受壓區，部分位于受壓區，本文主要討論 φ1、φ2兩組管道的無量綱柔度 AF(3，3)，其余方向角φ的AF(3，3)可通過B樣條曲線插值獲得。用本文方法求解得到AF(3，3)結果如圖5所示。

從圖5可以看出:① 在裂紋角φ相同情況下，隨著裂紋深度的增加，AF值隨之增大;② 在裂紋深度相同條件下，隨著方向角φ的增加，AF值隨之減小;③根據B樣條曲線插值可求得其余方向角φ時的AF(3，3)值。

Naniwadekar［10］等人利用試驗研究了含裂紋鋼制管道因裂紋出現而引入的附加等效剛度。為了驗證本文得到的含任意方向角非貫穿直裂紋管道局部柔度系數的正確性，選取Naniwadekar等人的試驗管道模型作為基準模型。Naniwadekar等人在試驗中使用線切割制作裂紋，當方向角φ＞φcr(即一部分裂紋進入受壓區)時，因為線切割裂紋存在2 mm切口寬度，試驗中進入受壓區的裂紋表面并不會閉合，這與真實裂紋是有所區別的。因此，Naniwadekar等人試驗中 φ 為0°、10°、20°、30°的結果與本文具有可比性。模型物理參數為:外徑 De為0.037 8 m，內徑 Di為 0.027 8 m，密度 ρ為7 860 kg/m3，彈性模量E為173.8 GPa;相對裂紋深度a/t分別取 0.2、0.4、0.6、0.8;方向角 φ 分別取:0°、10°、20°、30°。

由式(19)，得到彎矩作用下的局部柔度系數c33:根據本文方法計算得到φ為0°、30°時局部柔度系數c33值，與 Naniwadekar等人的試驗結果對比如圖 6所示。

從圖6可以看出，使用本文理論求解的局部柔度系數與試驗結果基本吻合，誤差較小。誤差的主要來源:① 理論與試驗中的裂紋形式。Naniwadekar等人在試驗中使用線切割制作裂紋，雖然裂紋切口較小，但與實際裂紋還是存在差異，真實裂紋與線切割裂紋的應力場分布特點不同。② 理論計算中存在近似成分。管道裂紋截面并非完全的平面應變或平面應力，計算中E'取值對計算結果有影響。另外，利用離散的矩形條帶進行積分求解也存在近似成分。相對于文獻［10］，本文避免了獲得局部柔度系數所進行的大量試驗工作，求解結果滿足實際要求，便于工程應用。總而言之，本文方法滿足含任意方向角，且直裂紋深度a＜t管道的局部柔度系數求解，為含裂紋管道的振動分析和裂紋識別提供了模型參數保障，完善了現有工作的缺失和不足。

3 結論

本文利用線性斷裂力學理論中的應變能釋放率原理，推導了含任意方向角非貫穿直裂紋在軸力、剪力和彎矩作用下的局部柔度系數方程，考慮了裂紋表面拉壓區域變化對局部柔度系數的貢獻，采用適應性Simpson數值積分算法編寫了局部柔度系數計算程序，并給出了方向角φ=0°～180°范圍內局部柔度系數的計算原則:在0°≤φ≤180°范圍內，彎矩引起的局部柔度系數分為0°≤φ≤30°、60°≤φ≤90°、φcl≤φ≤180°計算。30°≤φ≤60°和90°≤φ≤φcl的局部柔度系數通過 B 樣條曲線插值得到。

利用Naniwadeker等人的試驗結果作為基準，對本文推導的含任意方向角裂紋管道局部柔度系數進行驗證。結果表明，本文計算值與Naniwadeker等人試驗值基本吻合，從而驗證了本文局部柔度系數推導和求解的正確性。本文發展的含任意方向角非貫穿直裂紋管道的局部柔度求解方法具有理論性強、應用范圍廣、具有實際工程應用價值。本文研究結果為含裂紋管道的力學分析、裂紋識別提供了基礎和參考。

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General solution to local flexibility of a pipe with a part-through straight crack

HU Jia-shun1，SUN Wen-yong1，LIU Duo2，ZHOU Jing2

(1.Research Department of Safety Technology，CNPC Research Institute of Safety＆ Environment Technology，Beijing 100083，China;2.State key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering，Dalian University of Technology，Dalian 110624，China)

The crack model based on local flexibility has

attractive attentions in engineering.However，the theoretical studies on local flexibility of a pipe with a crack with an arbitrary direction are less conce rned.The local flexibility equations of a pipe with a part-through crack subjected to axial force，shear force and bending moment were deduced using theories of linear fracture mechanics and taking into the effect of the direction angle of the crack on the local flexibility of the pipe into account.An adaptive Simpson method was used to obtain the flexibility coefficients of the cracked pipe and the results were compared with those of Naniwadekar's test to validate the proposed approach.The results demonstrated that the proposed approach is correct，it is suitable for vibration analysis of pipe-like structures with an arbitrary direction angle crack.

vibration analysis;local flexibility;pipe;crack;direction angle of crack

O346

A

中國石油安全環保技術研究院基金(D－03－2010－2－021);國家自然科學基金重點項目(50439010)

2010－01－28 修改稿收到日期:2010－04－12

胡家順 男，博士，1981年生