含裂紋懸臂梁的振動與疲勞耦合分析

劉文光 ，陳國平

(1.南京航空航天大學 航空宇航學院，南京 210016;2.南昌航空大學 航空制造工程學院，南昌 330063)

含裂紋懸臂梁的振動與疲勞耦合分析

劉文光1，2，陳國平1

(1.南京航空航天大學 航空宇航學院，南京 210016;2.南昌航空大學 航空制造工程學院，南昌 330063)

基于Paris方程和同步分析方法考慮振動與疲勞裂紋擴展耦合之影響，提出一種含裂紋梁的振動疲勞壽命分析思路。振動分析過程中，利用線性彈簧等效裂紋段，復彈性模量引入阻尼損耗因子，得到考慮裂紋擴展、激勵頻率和阻尼等因素影響的動應力響應。結果表明:裂紋擴展、激勵頻率和阻尼等因素對疲勞壽命具有重要的影響。通過振動分析與疲勞裂紋擴展壽命估算同步進行，可進一步提高疲勞壽命估算精度。

振動疲勞;分段分析;裂紋擴展;裂紋懸臂梁

絕大多數工程結構在使用過程中都不可避免要受到振動載荷的作用，諸如飛機、火箭、汽車、化工容器以及建筑橋梁，等等。振動不僅影響工程結構的正常工作，還會引起振動疲勞破壞，嚴重地影響結構的安全可靠性，直接威脅人類的生命安全，并造成重大的經濟損失。因此，一般的工程結構都把抗振動疲勞作為結構的重要設計準則。

梁是工程中廣泛使用的一種結構，由于各種原因導致梁不可避免地存在各種損傷，大部分以裂紋的形式存在。長期處于振動環境中，結構裂紋會不斷擴展并導致斷裂。為保證裂紋不發生疲勞失效，必須對工程結構進行定期檢查。生產實際中，通常根據經驗確定裂紋可檢測長度，而非靠預測方法來確定。

隨著斷裂力學的發展，提出了很多估算疲勞壽命的方法［1－3］。已知裂紋位置的名義應力或應力場，就能確定從起始裂紋擴展到某一臨界值所要經歷的振動次數。然而，盡管裂紋擴展是因強迫振動引起，疲勞壽命分析中仍然采用靜力學方法計算應力，應力被內在地假定與激勵頻率、阻尼無關，且常忽略裂紋擴展引起的動響應變化。工程實際中，大量結構服役于寬頻激勵的振動環境中，使結構可能一直處于共振狀態并導致共振疲勞。由于涉及振動響應，所以研究此類問題時必須考慮阻尼和激勵頻率對疲勞壽命的影響。

為此，有關激勵頻率對結構振動疲勞壽命的影響已有不少研究［4～9］。例如，1981年 Valanis利用內時理論推導了結構疲勞壽命與加載頻率之間的關系;1993年毛罕平和陳翠英推導了全面反映加載頻率影響的裂紋擴展速率公式。隨后，Dentsoras和Kouvaritakis研究了軸向共振條件下激勵頻率對聚合物材料疲勞裂紋擴展壽命的影響;Shih和Chen分析了激勵頻率對304不銹鋼疲勞裂紋擴展速率的影響，并提出一種考慮激勵頻率的疲勞裂紋擴展模型。

但是，上述研究只考慮了激勵頻率的影響，忽略了阻尼以及裂紋擴展對疲勞壽命的作用。另外，由于裂紋擴展會改變結構動態特性，所以結構動響應分析時也須考慮裂紋擴展與振動的耦合作用。

因此，本文在結構振動分析時，考慮裂紋擴展對振動的影響，得到考慮激勵頻率、結構阻尼以及裂紋擴展的動態應力;基于Paris方程和同步分析方法使振動分析與疲勞壽命估算同步進行，進一步提高結構疲勞裂紋擴展壽命估算精度。

1 振動分析

1.1 結構裂紋的處理

圖1 裂紋梁振動系統 (梁長l，寬b，高h，裂深a)Fig.1 Cracked Cantilever Beam(Length:l，Width:b;Height:h;Crack Depth:a)

圖1(a)所示為受橫向加載的單邊裂紋懸臂梁。在橫向簡諧振動載荷作用下，裂紋擴展會引起結構單元剛度發生退化，并改變其動態特性［10］。為便于結構動力學分析，需要對結構裂紋作近似處理。通常采用線性扭轉彈簧與拉壓彈簧等效裂紋段，如圖1(b)所示。等效彈簧的剛度由結構材料、裂紋類型以及裂紋位置等參數確定。根據斷裂力學的方法［13］，可推導結構裂紋引起的局部柔度

式中:kT為扭轉剛度;kb為拉壓剛度;FⅠ2(x)為I型裂紋修正系數;FⅡ(x)為Ⅱ型裂紋修正系數;ζ=a/h為相對裂紋深度;E'=E/(1－v2)對應于平面應變情況。

根據裂紋類型以及加載形式［11］，裂紋修正系數為:

將上述裂紋修正系數分別代入公式(1)和(2)，可得到等效彈簧剛度的具體表達式。通過變剛度可以把裂紋擴展引進到結構振動分析中。

1.2 結構振動分析

結構共振時，振幅及內力值等驟增，此時必須考慮阻尼的影響。若采用復數阻尼理論，則等截面梁彎曲自由振動微分方程為:

如圖1，當裂紋在結構根部時，結構自由振動邊界條件修改為:

根據以上邊界條件得到考慮裂紋擴展變化的修正的固有頻率方程:

求解上述方程時，彈性模量只取其中的儲能模量部分。方程(6)表達了結構固有頻率與裂紋深度之間的一一對應關系，對結構裂紋的監測具有十分重要的理論意義。

橫向力激勵下，結構強迫振動邊界條件應修改為:

根據上述邊界條件可求得結構位移響應:

由于Ⅰ型裂紋是工程中最常見的裂紋形式，且其破壞程度比較嚴重，故以Ⅰ型裂紋為研究重點。根據HOOKE定律得到結構動應力響應:

結構裂紋位置的動應力表達式為:

按靜力學方法，激勵頻率為0時應力為σ0=F0ly/I，則最大動應力可表示為:

式中:β為動應力放大系數，它反映了激勵頻率、結構阻尼以及裂紋擴展對動應力的影響。

2 結構振動疲勞裂紋擴展

2.1 動應力強度因子的確定

動應力強度因子KI是振動載荷作用下表征裂紋尖端應力場分布的物理量，通常而言，動應力強度因子與裂紋長度的關系可按下式確定:

式中:F(ζ)為裂紋修正因子;Δσd為動應力振幅;ΔKI是動應力強度因子的振幅。

假設加載為脈動循環，裂紋為開放式裂紋，則動應力強度因子可表示為:

把公式(12)代入公式(15)并依據裂紋及加載類型，可得到考慮裂紋擴展、激勵頻率和阻尼綜合作用的動應力強度因子

2.2 振動疲勞裂紋擴展速率方程

研究表明，在中等應力狀態且平均應力很低時，使用Paris方程［12］能很好地描述直裂式裂紋的疲勞擴展速率。Paris方程表示式如下:

式中:C，n是材料常數;其余參數同上述公式。

把動應力強度因子表達式(16)代入Paris方程得到振動疲勞裂紋擴展速率模型:

2.3 振動疲勞裂紋擴展分析

相同結構內含不同大小的裂紋時，其動態特性必然不同，必定改變結構的動應力響應并導致裂紋尖端應力場強發生變化。分析認為:結構振動會引起裂紋擴展，而裂紋擴展也會改變結構振動特性，進而影響裂紋擴展特性，兩者之間存在耦合關系。傳統的疲勞裂紋擴展理論卻忽略了這種耦合作用。為此，本文采用同步分析方法，使結構振動分析與疲勞裂紋擴展壽命估算同步進行，考慮耦合作用對疲勞裂紋擴展壽命的影響，進一步提高疲勞壽命估算精度。

動應力作用下，不能直接采用Paris方程估算結構疲勞壽命。為此，必須采用同步分析近似處理。具體做法是，把每振動一周得到的動應力幅值近似為恒定值，代入公式(20)積分得到每振動一次產生的裂紋擴展量。結構受到變振幅載荷的作用時，最終的裂紋深度可由疊加法計算，表示如下:

式中，a0為初始裂紋深度;Δaj是第 j次循環的裂紋增量;i為總振動循環次數;a為振動i次后的裂紋總深度。

利用公式(18)積分可計算恒幅值激勵下結構疲勞裂紋擴展增量:

振動循環的增量可表示為:

考慮 ΔNj很小(本文取 ΔNj=1)，則:

因此，在裂紋中心點的裂紋擴展量可被方程式(23)近似計算出:

2.4 疲勞裂紋擴展失效判據

為了判斷結構是否失效，文中采用以下判據

準則1:如果結構裂紋擴展至梁的中面就認為結構已經破斷，此時裂紋的擴展不再適合用裂紋尖端的SIF來進行估算。

式中:ac為臨界裂紋長度，本文取ac=h/2。

準則2:如果裂紋尖端應力強度因子大于材料的斷裂韌性時，則認為結構發生失穩斷裂。

式中:Kmax為最大應力強度因子;KC為材料斷裂韌性。

3 結構振動疲勞分析算例

假設結構幾何尺寸 l=300 mm、h=20 mm、b=2 mm;材料為AISI1050低碳合金鋼［14］，材料參數為E=2.1E11Pa、ρ=7 860 kg/m3、σb=723.45E6、KC=1.172 2 E9 N/m3/2、ΔKth=9.3241E5 N/m3/2;試驗常數為 C=3.0 093E －32、m=3.3。初始裂紋深度 a0=2 mm;計算步長取ΔN=1周;激勵幅值為50 N，保持不變。

強迫振動分為共振和非共振兩種形式，影響其破壞的主要因素也有所變化。圖2～圖5分別表明了激勵頻率跟蹤結構固有頻率、共振區固定激勵頻率、非共振區固定激勵頻率三種激勵狀態下結構振動循環次數與裂紋擴展之間的內在規律。結果表明，激勵頻率和阻尼對結構疲勞壽命具有重要的影響，在共振環境下尤其明顯。相同幅值的外部激勵作用下，第一階模態共振引起的疲勞破壞更為嚴重，小阻尼對疲勞裂紋擴展速率影響不是很明顯。激勵頻率跟蹤結構固有頻率時的結構疲勞壽命遠遠小于其它強迫振動下的結構疲勞壽命。固定激勵頻率時，激勵頻率越接近結構固有頻率，結構疲勞裂紋擴展壽命越短。圖4、圖5中α表示激勵頻率與無裂紋結構第一階固有頻率之比。

圖2 激勵頻率跟蹤固有頻率的疲勞裂紋擴展曲線(不同模態)Fig.2 Crack Growth vs.Fatigue Life with Resonance Frequency Tracking(Different Mode)

4 結束語

為便于分析，用線性彈簧近似取代裂紋單元、復彈性模量引入阻尼;通過結構振動分析，得到考慮裂紋擴展、阻尼以及激勵頻率等影響的動應力，與常規疲勞裂紋擴展分析相比，應力的計算更符合實際;基于疲勞裂紋擴展方程和同步分析方法，考慮振動與裂紋擴展的耦合關系對疲勞壽命的影響，使振動分析與疲勞裂紋擴展壽命估算同步進行，提出了一種含裂紋結構的振動疲勞分析思路，進一步提高結構疲勞壽命估算精度。分析結果表明，裂紋擴展、結構阻尼以及激勵頻率對疲勞壽命具有重要的影響，在共振區尤其明顯;跟蹤第一階共振頻率的結構疲勞裂紋擴展過程十分迅速，小阻尼對疲勞擴展影響不顯著;跟蹤固有頻率的結構疲勞裂紋擴展壽命遠小于其它強迫振動作用下的結構疲勞裂紋擴展壽命;遠離共振環境后，阻尼對結構疲勞裂紋擴展壽命的影響可以忽略不計，但疲勞裂紋擴展速率隨激勵頻率離固有頻率越近疲勞壽命越短。

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Coupling analysis for vibration and fatigue of a cracked cantilever beam

LIU Wen-guang1，2，CHEN Guo-ping1

(1.College of Aerospace Engineering，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 20016，China;2.School of Aeronautical Manufacturing Engineering，Nanchang Hangkong University，Nanchang 330063，China)

An analytical method about vibration and fatigue of a cracked cantilever beam was proposed based on timing analysis and Paris equation.Coupling relationship between vibration and fatigue crack growth was considered by using timing analysis methods.Crack part was replaced with a linear spring and damping loss factor was introduced with complex elastic modulus during vibration analysis.So crack growth，excitation frequency and damping were considered in vibration analysis.Results indicated that crack length，excitation frequency and damping have important effects on the fatigue life of the beam;in the resonance region，the rate of crack growth is obvious and the speed decreases with increase in damping.The prediction precision of fatigue life could be further improved using this new analytical method.

vibration and fatigue;piecewise analysis;crack propagation;cracked cantilever beam

V216.3;V224

A

南昌航空大學校基金資助(EC200906236)

2009－12－02 修改稿收到日期:2010－03－22

劉文光 男，博士生，講師，1978年5月生