含圓周非貫穿裂紋懸臂管道的振動分析與裂紋識別

胡家順，孫文勇，周 晶

(1.中國石油集團安全環保技術研究院安全技術研究所，北京 100083;2.大連理工大學 海岸和近海工程國家重點試驗室，大連 116024)

含圓周非貫穿裂紋懸臂管道的振動分析與裂紋識別

胡家順1，孫文勇1，周 晶2

(1.中國石油集團安全環保技術研究院安全技術研究所，北京 100083;2.大連理工大學 海岸和近海工程國家重點試驗室，大連 116024)

根據線性斷裂力學理論和應變能釋放原理，推導了含圓周非貫穿裂紋管道在軸力、剪力和彎矩等荷載作用下的局部柔度系數方程，利用適應性Simpson方法編寫了數值積分程序進行局部柔度系數求解，建立了含裂紋管道的二維有限元模型進行含裂紋懸臂管道的振動特性分析，應用等值線圖原理進行了懸臂管道的裂紋識別。研究結果表明:裂紋模型克服了當前裂紋模型僅針對特定的荷載模式或非空心截面的缺陷，基于等值線圖法能有效識別含裂紋懸臂管道的裂紋位置、深度。

振動分析;裂紋識別;局部柔度;管道;裂紋

海洋結構如海底管道、海洋平臺通常是由金屬管道焊接而成，隨著服役年限的增長，管道在靜力和交變的動力荷載作用下將出現裂紋。結構的初始裂紋是不易被發現的，但裂紋擴展往往導致重大災難性事故的發生，如管道斷裂、平臺倒塌。裂紋的存在某種程度上決定著結構的安全性，而安全性是工程結構最基本的要求。因此，含裂紋管道的力學分析和裂紋識別應受到足夠重視。

荷載作用下，結構中裂紋尖端附近區域出現應變能集中，引起了結構局部柔度的變化。早期，Irwin提出了局部柔度的概念從宏觀上量化荷載與裂紋尖端應力集中的關系［1］。Dimarogonas［2］用無質量轉動彈簧模擬裂紋，依據斷裂力學原理計算彈簧的等效剛度，建立了基于局部柔度的Euler-Bernoulli裂紋梁模型。此后，Papadopoulos和 Dimarogonas［3－5］提出了完整的 6 ×6 局部裂紋柔度陣求解理論，該理論不僅適合Euler-Bernoulli裂紋梁，也適用于任意荷載條件下Timoshenko裂紋梁的力學分析［6］。上述基于局部柔度建立的裂紋模型是以含裂紋的矩形、圓形實心結構為研究對象，不適合含裂紋管道的力學分析。然而，目前基于局部柔度的管道裂紋模型、裂紋識別只有少量文獻報道［7－9］。

本文根據線性斷裂力學理論，推導了含圓周方向外表面非貫穿裂紋(以下簡稱“圓周非貫穿裂紋”)管道在軸力、剪力和彎矩作用下的局部柔度方程，采用適應性Simpson數值積分計算得到相應的局部柔度系數，在此基礎上建立了含裂紋管道的二維有限元模型。基于建立的含裂紋管道有限元模型，進行了含裂紋懸臂管道的振動分析，并應用等值線圖法進行了裂紋位置、深度的識別。本文將管道視為梁－桿模型，避免了建立三維殼模型進行理論分析的難度，同時又有較高的精確度，可以滿足工程需要。

1 局部柔度方程的理論推導

圓周非貫穿裂紋是管道的一種典型裂紋形式。本文研究的圓周非貫穿裂紋如圖1(b)所示，環形方向裂紋深度為 ，管壁厚為 ，管外徑為 ，管內徑為 。假設軸力方向與管軸重合;剪力和彎矩方向如圖1(a)所示，位于平面內。與梁類結構裂紋不同，管類結構圓周非貫穿裂紋區域是一個環形區域，無法直接獲得其應力強度因子求解其局部柔度系數。根據Dimarogonas［2］建立裂紋轉軸局部柔度的思想，把裂紋區域離散為一序列近似于梯形的微小條帶，如圖1(b)所示。各個條帶裂紋區域按照平面裂紋梁理論求解其附加應變能，把各個條帶的應變能進行累加得到裂紋引入的總應變能，然后對各荷載進行求導即可獲得含圓周非貫穿裂紋管道的局部柔度系數。

假設外力作用下，結構中裂紋區域處于彈性階段，根據線彈性斷裂力學理論，裂紋出現所產生的附加應變能［2］表示為:

式中，J為應變能釋放率，Ac為有效裂紋面積。裂紋引起的附加應變能釋放率可表示為:

式中，KⅠ1、KⅠ2、KⅠ3分別為軸力、剪力、彎矩引起的Ⅰ型裂紋的應力強度因子;KⅡ2為剪力引起的Ⅱ型裂紋的應力強度因子。在平面應力狀態下E'=E;在平面應變狀態下E'=E/(1－υ2)。其中:E為彈性模量，υ為泊松比。

根據卡氏定理，裂紋引入的附加位移ui表示為:

式中，Pi(i=1，2，3)分別對應裂紋單元的軸力、剪力和彎矩。則裂紋引起的局部柔度系數可表示為:

式中，cij為裂紋引入的局部柔度系數。

圖1 (a)裂紋管單元;(b)圓周非貫穿裂紋截面幾何尺寸;(c)裂紋微元體;(d)微元體應力分解Fig.1(a)Cracked pipe element.(b)A circumferential part-through crack section geometry.(c)The strip of crack section.(d)The stress decomposition of the strip.

對于圖1(b)所示的圓周非貫穿裂紋截面，可以把裂紋截面部分等分成2n個微元體，每個微元體的圓心角為Δθ=θ/n，如圖1(c)所示。如果每個微元體的寬度足夠小，環形的微元體截面可以等效為梯形截面，為了方便積分求解每個微元體的附加應變能，進一步把等效梯形截面近似為同高且面積相等的矩形，寬度為RΔθ，其中R管道的平均半徑，R=(Di+De)/4。每個微元體中裂紋引起的附加應變能表示為:

式中，UkT為第k個微元體裂紋引入的應變能，Jk為第k個微元體的應變能釋放率。ε、η分別為微元體沿著圓心方向和垂直圓心方向的積分變量。

對于裂紋截面的第個微元體，考慮裂紋微元體在C－C軸上應力分量，如圖1(d)所示，則在軸力、剪力和彎矩作用下的應力強度因子可表示［10］為:

式中，γ=Di/De，θk為微元體中心線與C－C軸之間的夾角，如圖1(d)所示，F1、F2、FⅡ為裂紋應力強度因子的修正系數［10］，表達式如下:取微元體的寬度RΔθ無窮小，則含裂紋管道的總應變能可以表示為全部微元體應變能的積分格式:

由式(4)和式(15)可求得含裂紋管道的局部柔度系數，表示為:

式(22)－式(27)是關于x、θ內積分限為函數的雙重積分，且內部積分函數十分復雜，無法通過直接積分給出無量綱柔度方程的解析表達式。為了獲得較為精確的局部柔度系數，本文采用適應性Simpson數值積分方法對柔度方程進行求解，適應性Simpson算法具有求解速度快，精度高等特性，詳細算法可參考文獻［11］。

2 含裂紋懸臂管道的振動分析

求得含裂紋管道的局部柔度系數后，可建立用扭轉彈簧模擬的“彈簧鉸模型”或用局部柔度矩陣構建的“有限元模型”。本文以含裂紋管道的有限元模型為技術手段，求解裂紋管道結構的動力特性。如圖1(a)所示裂紋管單元的總體柔度等價于單元無裂紋時柔度與裂紋引起局部柔度的代數和［10］:含裂紋管道的動力特征方程表示為:

式中:K、M分別為含裂紋管道的總剛度矩陣和質量矩陣;ωn、Φn分別為固有圓頻率和振型。

假設裂紋不引起結構質量矩陣的變化，則無裂紋管單元剛度矩陣和管單元一致質量矩陣分別表示為:

圖2 含裂紋懸臂管道示意圖Fig.2 Sketch of cracked pipe with cantilever constraints

表1 管道的物理參數和幾何尺寸Tab.1 Physical parameters and geometrical sizes

含裂紋懸臂管道尺寸如圖2所示，管道的物理參數和幾何尺寸見表1。假設圓周非貫穿裂紋的圓心角θ為π/2，分析裂紋位置、裂紋深度變化條件下結構前三階固有頻率的變化規律。令fui(i=1，2，3)為無裂紋管道的固有頻率計算值，fci(i=1，2，3)為含裂紋管道的固有頻率計算值。定義無量綱參數固有頻率變化率Fr:

圖3－圖5給出了含圓周非貫穿裂紋懸臂管道的前三階固有頻率隨裂紋位置、深度的變化率，圖中d/L、a/t分別為裂紋相對位置和相對深度。

從圖3－圖5中可以看出:(1)對于懸臂管道，在裂紋位置相同條件下裂紋越深，其Fr值越大，固有頻率降低越明顯。(2)在裂紋深度相同條件下，不同裂紋位置、不同階次固有頻率的Fr值也不相同。結構一階固有頻率呈現單調變化，裂紋距離固定端越近，裂紋越深Fr值越大，反之越小;而結構二階、三階固有頻率的Fr值并不隨著裂紋位置的改變呈單調性變化，二階固有頻率Fr值出現兩處局部最大值，三階固有頻率Fr值出現三處局部最大值。

3 含裂紋懸臂管道的裂紋識別

目前存在的基于固有頻率的裂紋識別方法主要有:(1)頻率變化(平方)比法［12］，通常只能識別裂紋存在與裂紋位置。(2)等值線圖法［13］，根據裂紋深度和裂紋位置與各階頻率變化曲線之間的關系，尋找各曲線的交點坐標從而達到裂紋參數的識別目的，可確定裂紋深度、位置。優點在于測量系統存在一定誤差情況下，仍然可以給出滿足工程需要的識別結果，而且方法簡單，容易應用于工程實踐。(3)基于頻率的參數反演方法［14］，雖然具有較高的精度，但是在進行參數反演時無論應用何種優化算法其識別效率是很低的，往往因為反演響應曲面的復雜性和參數選擇的不當出現誤判。考慮到工程實用性，本文根據等值線圖法的原理研究管道的裂紋識別問題。

基于裂紋位置與固有頻率變化之間的關系，可繪制等值線圖，基本步驟為:首先，計算無裂紋結構的固有頻率，根據已知裂紋管固有頻率計算前三階固有頻率變化率Fr;其次，尋找與上述前三階固有頻率變化率相等的裂紋位置和深度;最后，繪制前三階固有頻率變化率與裂紋位置和深度的等值線圖，根據等值線圖上交叉節點判別出裂紋位置和深度。

下面以含圓周非貫穿裂紋的懸臂管道為例，利用等值線圖法進行裂紋識別研究。仍取表1中數據作為含裂紋管道的模型參數，由本文方法計算得到無裂紋懸臂管道的前三階固有頻率 fu1、fu2、fu3分別為62.28 Hz、390.3 Hz和 1 092.8 Hz。

圖6 含裂紋懸臂管道的等值線圖Fig.6 Contour diagram for cracked cantilever pipe

假設圖2所示懸臂管道裂紋位置d/L為0.09，裂紋深度a/t為0.7，裂紋弧度θ/π恒為1/2。根據裂紋管有限元模型計算結構前三階頻率變化率分別為0.169%、0.068%和 0.017%，繪制的等值線圖如圖 6所示。圖中前三階頻率變化率完全相交點的坐標為(a/t=0.69，d/L=0.89)，裂紋位置和深度識別誤差 ε為1%。可以看出，在裂紋弧度一定條件下，根據等值線圖，能有效辨識懸臂管道中圓周非貫穿裂紋的位置和深度。

4 結論和展望

根據線性斷裂力學理論和應變能釋放原理，首次推導了含圓周非貫穿裂紋管道在軸力、剪力和彎矩作用下的局部柔度系數方程，并基于得到的局部柔度系數建立了含裂紋管道的有限元模型，進行了含裂紋管道的振動分析與裂紋識別。本文工作彌補了已有裂紋模型在含裂紋管道力學分析方面的不足。

本文將管道視為梁－桿模型，避免了建立三維殼體或三維實體有限元模型進行理論分析的難度，能夠進行含裂紋管道的振動分析，計算速度快、精確度滿足工程需要，本文建立的含裂紋管道二維有限元模型，為裂紋識別研究提供了模型基礎，便于裂紋識別研究工作的開展。

研究結果表明，含裂紋管道的裂紋位置、裂紋深度明顯影響結構的固有頻率。根據完好管道、裂紋管道的前三階固有頻率，繪制固有頻率變化率與裂紋位置、裂紋深度的等值線圖，可以有效辨識懸臂管道中的裂紋位置、裂紋深度，識別精度較高。

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Vibration analysis and crack identification of a
cantilever pipe with a circumferential part-through crack

HU Jia-shun1，SUN Wen-yong1，ZHOU Jing2

(1.Research Department of Safety Technology，CNPC Research Institute of Safety＆ Environment Technology，Beijing，100083，China;2.State key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering，Dalian University of Technology，Dalian 110624，China)

The local flexibility coefficient equations of a pipe with a circumferential part-through crack subjected to axial force，shearing force and bending moment were derived by using theories of linear fracture mechanics and strain energy release principle.An adaptive Simpson quadrature method was used to conduct numerical integrations to obtain the flexibility coefficients.A finite element model was established to conduct the vibration analysis of a cracked cantilever pipe.In addition，the crack identifiation for the cracked cantilever pipe was investigated based on contour plots of frequency ratio as a function of crack location and crack depth.The results showed that the proposed model overcomes the shortcoming that the existing crack models are suitable only for calculating special loads or structures with non-hollow cross-section，and the contour diagram can identify crack location and depth effectively.

vibration analysis;crack identification;local flexibility;pipe;crack

O346

A

中國石油安全環保技術研究院基金(D－03－2010－2－021);國家自然科學基金重點項目(50439010)

2010－01－18 修改稿收到日期:2010－02－22

胡家順 男，博士，1981年生