粘彈性人工邊界的有限元分析

徐 浩

粘彈性人工邊界的有限元分析

徐 浩

采用數值方法集中比較了工程中廣泛應用的幾種人工邊界在 SSI體系分析中的動力反應,研究結果表明：粘性邊界能較好的模擬土的邊界但計算的位移會發生整體的飄逸,精度也不如粘彈性邊界;粘彈性邊界能很好的模擬土—結構相互作用體系中土的邊界問題,但實現過程比較麻煩。

人工邊界,SSI體系,粘彈性人工邊界,有限元法

0 引言

土木工程中有許多涉及彈性半無限地基的振動及波動問題,諸如土—結構動力相互作用(SSI)問題、地震波的傳播問題、動力機器基礎的振動問題、打樁及道路交通引起的振動問題等。對這類問題用有限元法求解與用其他計算方法相比具有可靈活地適用于地基物性的不均勻性并可考慮地基的非線性特性等優點。但由于有限元法必須對求解對象的全領域進行離散,故在分析彈性半無限地基問題時必須截取一定范圍的計算模型,這就要求在切取的邊界上建立人工邊界,用于模擬切除的無限域影響。目前人工邊界主要分為兩類：一類是全局人工邊界條件,如邊界元法等;另一類是局部人工邊界條件,如旁軸近似人工邊界、透射人工邊界、粘彈性人工邊界等。局部人工邊界具有時空解耦的特點,得到了廣泛的應用。其中粘彈性人工邊界是通過沿人工邊界設置一系列由彈簧和阻尼器組成的簡單物理元件來吸收射向人工邊界的波動能量和反射波的散射,其模型簡單,物理意義清晰,便于在大型通用有限元計算軟件中得到實現。ANSYS是一功能強大的有限元計算軟件,其中的 ANSYS中的 Combin14單元和 LSDYNA中的Combin165單元,是彈簧與阻尼器的元件,易于實現粘彈性人工邊界。本文在 ANSYS中實現了粘彈性邊界并進行了驗證和對比。

1 粘彈性人工邊界

粘彈性人工邊界作為一種應力邊界條件,該應力是邊界結點位移和速度的函數,一般形式寫為：

由式(1)可以看出,粘彈性邊界相當于在邊界結點每個方向施加一個一段固定的單向彈簧—阻尼元件,而且該彈簧—阻尼元件的剛度和阻尼系數僅與該邊界結點在該方向該時刻的反應相關,從而通過粘性阻尼的吸能作用和彈簧的剛性恢復作用模擬無限域對廣義結構的影響。

1.1 二維粘彈性切向人工邊界

當粘彈性人工邊界為二維情況時,剪切邊界條件利用平面內極坐標剪切波動方程,給出柱面剪切波的近似位移表達,從而建立平面應變剪切邊界條件。

極坐標中出平面柱面波運動方程為：

其中,u為出平面位移;Cs為剪切波速,由公式 Cs=G/ρ確定,G為剪切模量,ρ為質量密度。

對于從坐標原點射出的柱面波可以采用如下形式的近似解：

可以看出,式(4)等價于一個阻尼系數為 ρCs的阻尼器并聯上一個剛度系數為G/2ra的線性彈簧。這說明如果在半徑 ra處截斷介質,同時施加相應的邊界元件后,在邊界上可以得到與式(4)相同的形式,也即可以完全消除滿足式(4)的出平面剪切波在邊界處產生的反射波。

1.2 二維粘彈性法向人工邊界

膨脹波邊界利用平面內極坐標膨脹波波動方程,給出柱面膨脹波的近似位移勢函數表達式,從而建立平面應變膨脹波邊界條件。根據膨脹波的定義,設膨脹波位移函數為 u(r,t),并滿足下式的納維方程(忽略體力分量)：

其中,λ,G均為介質拉梅常數;Cp為介質膨脹波波速;ra為波源到人工邊界點的距離;σr為人工邊界節點ra在 t時刻的法向應力,σr=σr(ra,t);u為人工邊界節點 ra在 t時刻的法向位移,u≈u(ra,t)。由于膨脹波是用位移勢表達的,所以膨脹波邊界是關于邊界應力的一階微分方程。圖 1給出了膨脹波邊界力學模型。

對比式(14)和式(9),可得各個物理元件的參數分別為：m=2ρra,C=ρCp,K=2G/ra。在實際運用中可以假定阻尼的質量端為固定,同時以上推導的二維粘彈性人工邊界的彈簧和阻尼系數均需要乘以每個物理元件實際控制的單元長度。

1.3 三維粘彈性法向人工邊界

三維情況是由球面波為基礎推導的,其過程與二維情況大致一樣,結論也非常類似。在三維情況下得到各個物理元件的相關參數為：m=2ρra,C=ρCp,K=4G/ra。在實際運用中可以假定阻尼的質量端為固定,同時以上推導的二維粘彈性人工邊界的彈簧和阻尼系數均需要乘以每個物理元件實際控制的單元面積。

2 數值算例

力學模型如圖 1所示,介質的剪切模量和密度取 G=1和ρ=1,泊松比取 0.25,剪切波和膨脹波的波速分別為和S(x)表達式如下：

為了使結果更具對比性,文章以同樣的力學模型,將邊界分別取為粘性邊界和固端做了計算,以A點(0,2)為基準點,計算結果如圖 2所示。

從圖 2可以看出：粘彈性邊界是所有邊界中最接近精確解的,具有很好的精度;粘性邊界大致趨勢也符合精確解,但如前面所述,有明顯的漂移現象;使用固定邊界計算有明顯的誤差,故在以后的計算分析中應該極力避免使用固定邊界。

3 結語

粘彈性人工邊界在實際應用中能夠結合通用有限元軟件ANSYS等實現,通過編制命令流建模、求解,程序編制簡單,修改方便,計算精度能夠滿足要求。但是針對較復雜的邊界情況,編制粘彈性人工邊界程序仍然有很大的難度,如何更好的去適應各種復雜的邊界情況是以后的工作重點。

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The finite element analysis of viscoelastic artificial boundary

XU Hao

Concentrated compared the dynam ic response of several kinds of engineering extensive application artificialboundary usingnumerical method in SSI system analysis.Research results showed thatviscoelastic boundary can simu lation soil boundary well,overall d rift of calcu lation disp lacement will happen the precision is worse than viscoelastic boundary.Viscoelastic boundary can be a very good simulation for the problem of earth boundary in the soil structure interaction system,however,the realization p rocess is so troub lesome.

the artificialboundary,SSIsystem,viscoelastic artificial boundary,finite elementmethod

TU411.3

A

1009-6825(2011)09-0072-02

2010-12-04

徐 浩(1986-),男,同濟大學土木工程學院建筑工程系碩士研究生,上海 200092