探析斜繩加速度問題的解法

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 凌源 122500)

有關(guān)細(xì)繩跨過定滑輪牽連兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)問題，如果其中一個(gè)物體沿水平方向運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)物體沿豎直方向運(yùn)動(dòng).由于那段傾斜繩的一個(gè)分運(yùn)動(dòng)是繞定滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)，將對(duì)牽連物體產(chǎn)生向心加速度;因此求解平行于斜繩方向的縱向加速度不僅要考慮因速度大小變化而產(chǎn)生的沿繩加速度即速度變化率，還要考慮因速度方向變化而產(chǎn)生的向心加速度.下面舉例分析.

【例1】如圖1所示，水平面上有一個(gè)玩具電動(dòng)車自靜止開始由A點(diǎn)向左做加速度為a的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，到B點(diǎn)時(shí)速度為v，此時(shí)繩子BC與水平方向的夾角為θ，已知繩子BC長(zhǎng)度為L(zhǎng)，重物的質(zhì)量為m，求此時(shí)繩子受到的拉力.

圖1

錯(cuò)誤解法:小車沿繩方向的速度為

vr=vcosθ

由于繩子不可伸長(zhǎng)，則繩上各點(diǎn)沿繩方向的分速度處處相等，所以此時(shí)重物的速度為

v2=vr=vcosθ

與速度正交分解類比可知小車沿繩方向的加速度為

ar=acosθ

由于繩子不可伸長(zhǎng)，則繩上各點(diǎn)沿繩方向的加速度分量處處相等，所以此時(shí)重物的加速度為

a2=ar=acosθ

對(duì)重物由牛頓第二定律得

T-mg=ma2

所以此時(shí)繩子受到的拉力為

T=m(g+acosθ)

在此解法中，求得的加速度a2實(shí)際是平行于繩方向的合加速度，并非由繩子縱向位移的變化而產(chǎn)生的沿繩加速度.由于沒有考慮到由繩子的轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生的向心加速度，因此把繩端縱向加速度ar作為重物沿豎直方向運(yùn)動(dòng)的加速度是錯(cuò)誤的.

下面給出兩種正確解法.

解法1:矢量合成與分解法

由正交分解法可知小車平行于繩方向的縱向加速度為

ar=acosθ

此加速度與重物的加速度不相等，由于小車有垂直于繩且沿順時(shí)針方向的分速度v⊥=vsinθ，則產(chǎn)生向心加速度大小為

方向平行于繩指向滑輪.

小車平行于繩方向的縱向加速度ar由兩部分組成.一個(gè)是由于繩端繞滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)即因速度方向變化而產(chǎn)生的平行于繩方向的向心加速度a′；一個(gè)是由于沿繩方向的分速度的大小變化而產(chǎn)生的沿繩加速度，即重物的加速度a2，二者的矢量和等于ar，以ar方向?yàn)檎较颍瑒t有

ar=a2-a′

即得

由牛頓第二定律得

T-mg=ma2

所以拉力為

值得注意的是，雖然圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度不會(huì)引起另一端牽連物體的速度變化，但不能認(rèn)為向心加速度與牽連加速度無關(guān)，即不能認(rèn)為a′與a2無關(guān).若不考慮a′，而直接得a2=ar，這是錯(cuò)誤的.

解法2 ：求導(dǎo)數(shù)法

對(duì)關(guān)聯(lián)速度v2=vcosθ求導(dǎo)數(shù)，得

設(shè)繩BC與豎直方向的夾角即圓心角為β，則

因此

a2=acosθ+ωvsinθ

討論：下面分析幾種特殊情形，看是否與實(shí)際相符.

【例2 】 如圖2所示，一條跨過定滑輪的細(xì)繩一端系在小球A上，另一端系在小球B上，小球A可沿光滑水平桿移動(dòng)，兩球質(zhì)量分別為M,m，定滑輪到水平桿的高度為h.開始時(shí)系球A的繩與水平桿的夾角為30°，當(dāng)小球B由靜止下落帶動(dòng)小球A運(yùn)動(dòng)使系球A的繩與水平桿的夾角為θ時(shí)，求:

(1)兩小球的瞬時(shí)速度;

(2)在此過程中，兩小球的加速度如何變化;

(3)若M=m，則B球的速度何時(shí)最大.

圖2

解析:(1)把球A的速度分解為vA1=vAcosθ，vA2=vAsinθ，則vB=vA1=vAcosθ.由機(jī)械能守恒定律得

解得

而球A平行于繩方向的加速度aA1=aAcosθ由兩部分組成，一部分是沿繩方向的分速度vA1大小的變化率，另一部分是垂直于繩方向的分速度vA2方向變化產(chǎn)生的向心加速度;二者的矢量和等于aA1.以aA1方向?yàn)檎较颍瑒t

對(duì)兩球分別由牛頓第二定律有

Tcosθ=MaAmg-T=maB

解得

以上是兩小球的速度和加速度與夾角θ的關(guān)系式.

(3)當(dāng)A球運(yùn)動(dòng)到滑輪的正下方時(shí)，θ=90°，代入以上各式得

aB為負(fù)值表示球B在后來做減速運(yùn)動(dòng)，而在初始階段做加速運(yùn)動(dòng)，因此速度存在最大值.即當(dāng)加速度為零時(shí)速度最大.令aB=0,得

把M=m代入，整理得

(1+4sinθ-sin2θ)sin2θ=2

用試值法解得sinθ≈0.76.查數(shù)學(xué)用表得θ≈49.5°.

所以在M=m的情況下，當(dāng)連接球A的繩與水平桿的夾角為θ≈49.5°時(shí)，球B的加速度為零，速度最大.在此位置兩邊，球B先后做加速運(yùn)動(dòng)和減速運(yùn)動(dòng).由于球A一直受動(dòng)力作用，故球A一直做加速運(yùn)動(dòng).

總之，在加速度矢量的合成與分解中，要注意哪個(gè)是合加速度，哪個(gè)是分加速度.對(duì)于傾斜繩牽連物體運(yùn)動(dòng)的加速度即繩端運(yùn)動(dòng)的加速度，其水平方向的加速度即牽連物體的加速度為合加速度，而其平行于繩方向的分量和垂直于繩方向的分量為分加速度，這兩個(gè)分加速度是由繩在這兩個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)效果產(chǎn)生的；對(duì)于平行于繩方向的加速度也可根據(jù)繩的運(yùn)動(dòng)效果進(jìn)行分解，等于沿繩方向的速度大小變化而產(chǎn)生的縱向加速度與垂直于繩方向的速度方向變化而產(chǎn)生的向心加速度的矢量和.即對(duì)于傾斜繩的運(yùn)動(dòng)，平行于繩方向的加速度即縱向加速度由兩部分組成，其一是由繩的縱向移動(dòng)而產(chǎn)生的沿繩加速度即縱向速度變化率，其二是由繩的橫向轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生的向心加速度.