從靜液壓強的形成解讀阿基米德原理和帕斯卡定律

王紹符 張喜榮

(河北大學 河北 保定 071002) (保定學院 河北 保定 071000)

阿基米德原理和帕斯卡定律是我們再熟悉不過的了，但是對這些知識的認識，從概念的界定(何為“浮力”，何為“加在”液體上的壓強等等)，到定律(原理)的適用條件，卻一直存在著歧見.筆者也曾對此進行過探討[1～2]，但都比較孤立，缺少系統地聯系.現在從靜液壓強形成的知識系統高度來審視，這些問題突然都變得簡單、明朗起來.

1 靜液壓強的形成

液體(包括氣體，以下同)的壓強是怎樣形成的？中外教科書歷來(直到現在)對此的描述都存在一些瑕疵與疏漏，正因為如此才造成了方方面面的混亂.

我們從教科書上得到的印象是，“重力是使液體產生壓強的唯一原因”，即所謂壓強的“重力解釋”.很多版本教科書對液體壓強的描述都是與固體相類比，說：“液體在容器里，就像一摞書放在桌子上一樣，書有重量對桌子有壓力和壓強；液體也有重量，因而對容器的底也有壓力和壓強；又因為液體能流動，所以對器壁也有壓力和壓強”.就這樣，液體的“壓強是由重量產生的”在人們的頭腦中就深深地扎下了根，因而也就埋下了后患無窮的種子[3].

其實這種謬誤并不難破解，你只要認真思考“沒有重量，液體就真的沒有壓強了嗎？”答案是顯然的；“沒有重量，液體也會有壓強.”在失重狀態下的水滴，表面張力會將其束縛成球形，發生擠壓而產生壓強.對于封閉在針管里的藥液，活塞和管壁等作用在藥液表面上的力，也會使藥液發生擠壓而產生壓強.玩具氣球中的氣體受氣球橡膠膜對氣體表面的束縛作用，也會使氣體發生擠壓而產生壓強(此例中重力的作用微乎其微).很明顯除了重力以外表面力也是液體形成壓強的因素.可見上述教科書的描述是不恰當的，至少說是片面的.

液體屬于彈性體，彈性體在發生形變時要產生應力.一般彈性體的形變有多種形式，如拉伸、壓縮、彎曲、扭轉、剪切等等，各種形變的發生，都會伴隨著在彈性體內產生相應的應力.然而液體只有體形變，也就是擠壓形變，相應產生的應力就是壓強.宏觀地說壓強所描述的是液體的“擠壓程度”，這就是對液體壓強的“彈性解釋”.其實，早在200多年以前，玻意耳(1627～1791年)就提出了氣體壓強的彈性解釋.

只要是能使液體發生擠壓，就能使之產生壓強，重力是一種因素，但不唯一，表面力也是一種因素(還有其他如離心場力等，但已不是本文討論的范圍).但是不管是重力還是表面力首要的是要使液體發生擠壓形變才能產生壓強， 即

“力”與“擠壓(形變)”以及“壓強(應力)”在概念上是三個層階，“力”與“壓強”之間還隔著一個“擠壓”層階，也就是說重力并不直接導致壓強(同樣，表面力也不能直接導致壓強).如此說來所謂的液體壓強的“重力解釋”與“彈性解釋”也不在一個層階上.

2 壓強的形成與壓強的計算

初中各種版本教科書在講解液體壓強時，幾乎無例外地都是借助于圖1所示裝置的實驗得出如下結論.

圖1

各向同性——靜止的液體內部各點，向各個方向都有壓強，且在同一點上向各方向的壓強大小相等.

水平分布均勻——同一深度(同一水平)各點壓強大小相等.

豎直分布不均——隨著深度的增加壓強增大.

上述實驗是定性的，下面將從形成液體壓強的表面力和重力等因素分層次地、循序地來探討液體壓強的定量計算.

2.1 只考慮重力(不考慮表面力)

如圖2所示，在密度為ρ的液體中， 劃出了一個上下粗細均勻，截面積為S的豎直液柱.液柱由液面至深h處.深h處的壓強設為p.不考慮表面力，只考慮重力.已知液柱在側面所受各方向液體的水平壓力，大小相等相互平衡.在豎直方向受向下的重力G和向上的液體的壓力pS，由于液體處于靜止平衡狀態，故而可知

pS=G

即

pS=ρghS

從而可得

p=ρgh

(1)

這也就是各種版本初中教科書中所給出的唯一的液體壓強計算公式.這樣一個不考慮表面力的公式，具有片面性(只是相對壓強)，使用不慎就會落入陷阱[3].

但是，這個公式卻說明了液體壓強的“豎直分布不均——隨著深度的增加壓強增大”，正是重力作用的結果，這也是浮力存在和阿基米德原理成立的根源所在.

圖2

重力與表面力不同，重力作用的特點是分散作用于物體組成的每個細小部分，這就是說重力屬于徹體力，也叫體積力或質量力.重力使液體沿豎直方向層層擠壓，越往下擠壓程度越甚，而在水平方向則擠壓程度相同.其結果是在同一水平各處壓強大小相等，而沿豎直方向越往下壓強越大.

計算式(1)體現了壓強形成的重力因素.

2.2 只考慮表面力(不考慮重力)

圖3

假設液體不受重力，從而可以只考慮表面力的作用.如圖3所示，所劃出來的上下粗細均勻，截面積為S的豎直液柱，在側面水平方向所受周圍液體的壓力相互平衡.豎直方向受兩個力：一個是上表面所受外力向下的壓力，大小為p外S，另一個是下表面所受液體向上的壓力，大小為pS.液體靜止，則此二力為平衡力，故有

pS=p外S

從而可得

p=p外

(2)

不難想到，所劃液柱不論在什么深度，所得結果都是一樣的.

這就是說表面外力使液體內部產生的壓強“分布均勻，處處大小相等，且與外力作用在表面上的壓強大小相等”.這也正是帕斯卡定律的實質所在.

計算式(2)體現了壓強形成的表面力因素.

2.3 既考慮重力又考慮表面力

真實液體(有重力存在，也有表面力存在)的情景如圖4所示.密度為ρ的液體靜止在容器中，1與2是在豎直方向高度差為h的兩個點.

圖4

想像在液體中劃出一個上下粗細均勻、截面積為S的豎直液柱.液柱的上底面在點1處，下底面在點2處，且都與液體表面平行.液柱在側面水平方向所受液體的壓力相互平衡.在豎直方向受三個力： 一是受重力，其大小為G=ρghS，二是上底面所受液體向下的壓力，大小為p1S，三是下底面所受液體向上的壓力，大小為p2S.由于液體靜止，根據平衡條件可知

p2S-p1S=ρghS

即p2-p1=ρgh

(3)

式(3)叫做歐拉靜液平衡方程或壓強差公式.壓強差公式對靜止平衡的液體普遍適用，式(1)和式(2)是壓強差公式在一定條件下的應用.只可惜在我國初高中教科書中不講這個公式，只講在特定條件下成立的式(1).

不難想像，即使點1取在液面上，式(3)依然成立.若只考慮重力不考慮表面力，即令p1=0，則

p2=ρgh

此即式(1).

若只考慮表面力不考慮重力，即令g=0，則

p2=p1

此即式(2).

若在同一水平面上，即令h=0則

p2=p1

這表示“水平分布均勻——同一深度(同一水平)各點壓強大小相等.”

計算式(3)全面體現了壓強形成的重力因素和表面力因素.

3 對帕斯卡定律的解讀

審視這個全面反映靜液壓強形成的壓強差公式，即式(3)，若保持液體內任意兩點的高度差h不變(這意味著靜止、平衡、不流動)，則ρgh=恒量，即

p2-p1=恒量

在此條件下，在點1處另外再增加一個壓強Δp1,則在點2處跟著也會增加一個壓強Δp2，根據(3)式，有

(p2+Δp2)-(p1+Δp1)=ρgh

比較以上各式，則可知

Δp2=Δp1

這就是帕斯卡定律.這個定律通常表述為：“加在密閉液體上的壓強，能夠大小不變地傳遞到液體內各處.”

這個表述很含糊以致引起了不少麻煩.但是與液體壓強的形成聯系起來，問題就變得非常簡單，一些混亂也就迎刃而解了.

3.1 適用條件

靜止平衡的液體.靜止平衡的液體才符合“任意兩點的高度差h不變”這個條件，上述定律表述中的“密閉液體”當屬此意.像虹吸現象等流動的液體不適于應用此定律.

3.2 傳遞的壓強

對于已經處于靜止平衡的液體，“另外再”增加的壓強才是被傳遞的壓強，定律表述中的“加在……上的壓強”當屬此意.形成平衡的原有壓強不在此列.“傳遞……”只是通俗說法，實際是在液體內各處都各自“增加……”

3.3 忽略重力

在表面力遠大于重力的情況下(如萬噸水壓機)，帕斯卡定律可以表述為：“由表面外力產生的壓強，能夠按照它原來的大小‘傳遞’到液體內各處.”[4]這里所說‘傳遞’的壓強，不再限于 “另外”所加， “原有”的形成平衡的壓強也在此列；液體在密閉的容器內可以移動，不再限制“任意兩點的高度差h不變”，這里的“密閉”又有了新意.

如果重力不能忽略，在水壓機的小活塞上加向下的壓力，若大活塞不動，則在大活塞處增加的壓強遵從帕斯卡定律；若大活塞上升，則不能應用帕斯卡定律；如果重力能夠被忽略，則不管大活塞是否移動，都適用帕斯卡定律.

這些問題，如果不是從靜液壓強形成的系統知識高度來審視是很難說清楚的.

4 對阿基米德原理的解讀

當初阿基米德在他所著《論浮體》中的表述是：“物體在液體中減輕的重量,等于排去液體的重量.” 在現在的教科書中阿基米德原理通常表述為：“浸在液體(或氣體)里的物體，受到向上的浮力作用，浮力的大小等于被該物體排開的液體所受的重力.” 這些表述都是來自實驗，直到今天在初中物理的教學中仍然是通過實驗來驗證這一原理的成立，并根據原理的表述寫出下列表達式

F浮=ρV排g

(4)

這里不涉及浮力產生的機理.

4.1 浮力的本質與浮力產生的原因

浮力概念最初來自生活中的感受，人的直覺感知物體在水中受到向上托的力，或說減輕了重量.

從液體壓強形成的系統探討可知，物體在液體中所以會受到浮力，是因為液體壓強豎直分布不均.在液體中的物體，下面所受到的向上的壓力大于上面所受到的向下的壓力.這個液體的向上的壓力與向下的壓力之差(或者說液體壓力的合力)就是浮力.這就是浮力的本質所在.

從液體壓強的形成來看，壓強豎直分布不均完全是重力作用的結果，所以說產生浮力的根本原因是重力——這是多數教科書中始終沒有說清楚的問題.

4.2 浮力的計算

既然浮力是液體對物體的向上的壓力與向下的壓力之差，那么我們就可以很容易根據式(3)也就是壓強差公式對浮力進行計算.

可以設想，一個規則的立方體物塊，豎直放在液體中，其高度為h,上下底面(橫截面)與液面平行，大小為S.則此物塊所受浮力

F浮==p下底S-p上底S=(p下底-p上底)S

由壓強差公式

p下底-p上底=ρgh

可得

F浮=(p下底-p上底)S=ρghS==ρgV

V為物塊排開液體的體積, 此即上述式(4).對于不規則物體，根據壓強差公式，用積分的方法，亦可以得到同樣的結果[5].

4.3 浮力的界定與阿基米德原理的適用條件

浮力的嚴格界定應該是符合阿基米德原理所規定的力.與液體壓強的形成聯系起來，有關浮力的界定和阿基米德原理的適用條件得以澄清.

(1)并非物體所受液體壓力的合力都是浮力——浮力的方向是豎直向上的，物體受液體壓力的合力不是豎直向上的，不能認作浮力.

下列情形可以認定物體受浮力，并適于應用阿基米德原理：物體浮在液面上，一部分在液面以上，另一部分在液面以下；物體完全浸沒在液體之中，或浮于兩種液體的界面處，而周圍被液體所包圍.

水底的樹樁、橋墩以及固著于岸壁上凸入水中的巖石等等，均不能認為受到了浮力，也不能應用阿基米德原理計算.

(2)并非物體所受液體向上向下壓力差都是浮力——用水封閉在豎直管子中的氣泡，雖然上下都有水，但周圍不是被水包圍，所受向上向下壓力差也不符合阿基米德原理所規定的浮力.由此可知，現在教學中流傳的“乒乓球漏斗實驗”并不能說明浮力的產生原因.

(3)阿基米德原理的適用條件——阿基米德原理屬于流體靜力學范疇，適用于靜止狀態的液體(或氣體)，且在液體(或氣體)中的物體對液體(或氣體)無明顯相對運動.對于游動的魚等只能近似地應用阿基米德原理.

從歷史上來說，阿基米德原理和帕斯卡定律原本都是實驗定律，當時只講其當然，不問其所以然，在理論上并不清晰，在應用上也存在著一些混亂[6].

自阿基米德(公元前287～前212年)以來，1 800多年以后到17～18世紀相繼出現了帕斯卡(1623～1662年),牛頓(1643～1727年)，伯努利(1700～1782年)以及歐拉(1707～1783年)等人，使流體力學發展成了內容豐富、系統完整的一門學科，阿基米德原理和帕斯卡定律也就得到了從系統理論上的整合.然而我們的基礎教育教科書還在重演著古老的歷史.須知，知識的積累是無限的，現在的知識總量越來越多，然而人的生命的增長是極其有限的.人的一生中受教育，接受前人留下的知識的時間可以說是不好再延長的，因此教學改革應當追求知識的系統整合和簡化更新.在這方面趙凱華、羅蔚茵的《新概念物理教程》已有些嘗試，德國的KPK物理教材的理念也值得借鑒，而提倡重復歷史上走過的繁復的路途，甚至嘗試前人的錯誤，是不符合社會現實的.

參考文獻

1 王紹符.初中物理靜流體壓強宏觀解釋的思考.物理通報，1996(9)，1996(10)

2 王紹符.基礎物理課程中的缺陷.物理教學參考，2000(1～2)

3 王紹符.我從錯誤中走出來.物理教學，2001(2)

4 (蘇)Г.C.Лaндсбрга主編.王子昌譯.初等物理學(第一卷第二分冊).上海：上海教育出版社，1962

5 趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程力學.北京：高等教育出版社，1995

6 黃敦.阿基米德原理.中國大百科全書物理學Ⅰ.北京：中國大百科全書出版社，1987