對麥克斯韋方程組的理解

陳宜生 楊曉龍

(天津大學 天津 300072) (天津大學仁愛學院 天津 300072)

1 引言

數學是研究物理的有力工具，數學描述的概括性和抽象性令人敬畏，也令人敬佩.物理是一門定量的科學，必然大量使用數學；物理上出現的數學公式反映自然現象的規律和本質.學習物理時，既要弄清數學公式的數學意義，更要弄清物理內涵，這樣才能對數學公式由敬畏變成敬佩，并產生學習的愉悅.以下將以學習麥克斯韋方程組為例談談個人體會.

法拉第在物理學中引入“場”的概念，這是物理學的一大進步.法拉第又把這個抽象的、不可見的、在物體相互作用中起至關重要“作用” 的“場”，以形象的、易理解的、可用數學來操作計算的“場線”來描述，為麥克斯韋方程組的產生奠定了基礎.

麥克斯韋方程組全面地反映了電磁基本規律，支配著一切電磁現象，它在電磁學中的地位可與力學中的牛頓定律的地位相比擬.

2 麥克斯韋方程組積分式隱含著什么

以下給出的是麥克斯韋方程組的積分形式

(1)

(2)

(3)

(4)

這四個式子不僅描述了電場、磁場各自的性質，還表達了它們之間密不可分的聯系.初次見面,這四個式子會使你不知所云，忐忑不安,不過你不用太失望, 讓我來一一介紹吧!

2.1 電場 磁場高斯定理積分式訴說什么

依靜電場的高斯定理

(5)

依感生渦旋電場的高斯定理

(6)

這樣, 將式(1)分成了(5)、(6)兩式, 兩個原因產生的電場特性分開表示了.式(5)和式(3)不同,說明靜電場和磁場性質有差別，靜電場通過閉合面Σ的電位移通量等于面內自由電荷代數和，自由電荷代數和是正，電位移通量為正，有電位移線穿出閉合面Σ；面內自由電荷代數和為負，電位移通量為負，有電位移線穿進閉合面Σ.

圖1

式(1)和式(3)是數學中的高斯定理在物理學中的具體表現，他們分別單獨描述了電場和磁場的一種性質；式(2)和式(4)是數學中的斯托克斯定理在物理學中的具體表現，他們表達了電場和磁場的另一種性質，更為重要的是表明電場和磁場可互相轉化.

2.2 電場 磁場環路定理積分式訴說什么

(7)

兩種電場的環量即沿同一閉合路徑其電場力做的功一樣嗎?

對于靜電場，由靜電場環路定理

(7a)

式(7a)表明靜電場力的功與路徑無關，僅與初末位置有關.我們便說靜電力是保守力，靜電場是保守場.

(7b)

式(7b) 是感生渦旋電場的環路定理，它表明感生渦旋電場E(2)是非保守電場, 渦旋電場力是非保守力, 它所做的功不僅與初末位置有關, 也與路徑有關.

按照法拉第電磁感應定律, 又有感生電動勢

(8)

式(8)中的Φ是通過由閉合環路L所圍開面S的磁通量

(9)

式(7)、(7a) 、(7b) 、(8) 、(9)聯立, 便可得麥克斯韋方程組的式(2).由此可知,式(2) 包含了法拉第電磁感應定律, 靜電場、渦旋電場的環路定理, 說明了兩種電場性質的另一個不同, 靜電場是保守場； 感生渦旋電場是非保守場, 存在環量, 這環量便是感生電動勢.

(10)

(10a)

兩種方式產生的磁場性質相同,磁場強度H沿閉合曲線L的環流

(10b)

(10c)

S是閉合曲線L所圍的面.式(10b)、(10c)聯立便得麥克斯韋方程組的 (4) 式.

麥克斯韋方程組的積分形式側重從大范圍累積得到的結論.使用一些間接的量如電通量、電位移通量、磁通量、電荷代數和、電場的環量、磁場的環量、電流強度等，從而得到整體的場性質描述.由于積分, 場中任意點的電磁量與鄰域點電磁量的時空關聯難于表露.為了看清電磁現象背后的本質，我們需要得到麥克斯韋方程組的微分式.為此利用數學上的高斯定理和斯托克斯定理，引入散度、旋度的概念就能做到.

3 麥克斯韋方程組微分式隱含著什么

3.1 電場 磁場的散度和高斯定理的微分式

數學上，一個矢量場可用一個矢量函數A(x,y,z)表示.若該矢量函數的三個分量分別為Ax(x,y,z),Ay(x,y,z),Az(x,y,z)，則A(x,y,z)=Ax(x,y,z)i+Ay(x,y,z)j+Az(x,y,z)k，矢量場A(x,y,z)在數學上的高斯定理可表為

(11)

式中

如果矢量場是靜電場A=D(1), 將物理上靜電場高斯定理式(5) 與數學上的高斯定理式(11) 聯合便得

▽·D(1)=ρ0

(11a)

如果矢量場是感生渦旋電場A=D(2)，將物理上感生渦旋電場高斯定理式(6) 與數學上的高斯定理式(11) 聯立，有

▽·D(2)=0

(11b)

D=D(1)+D(2)

由式(11a)、(11b)得電場高斯定理微分形式

▽·D=ρ0

(12)

圖2 靜電場和渦旋電場的散度

由 (11a) 式, 并參照圖2(a) 可知,靜電場電位移在某點的散度等于該點自由電荷的密度ρ0,哪點有ρ0,哪點就能發射或吸收電位移線； 哪點ρ0越大, 發射或吸收電位移線越多,哪點在空間其他點產生靜電場的能力越強.所以,一點的靜電場散度, 表明該點在空間其他點產生靜電場的能力.散度函數表明有源場場源的分布, 對于隨時間變化的磁場產生的渦旋電場, 式(11b)和圖2(b) 表明渦旋電場的散度是零, 它的電位移線是自閉合的, 是無源矢量場.

而對于磁場來說，A=B, 由式(3) 和式(11) , 可得

▽·B=0

(13)

磁場的散度是零, 故磁場是無源矢量場.

3.2 電場 磁場的旋度和環路定理的微分式

在急流的水中我們見過旋渦，那是一個有旋的速度場；平穩流動的水，速度場是無旋的.電流周圍存在渦旋磁場，隨時間變化的磁場周圍存在渦旋電場.靜電場卻是無旋的.為了判斷矢量場是否有旋, 并量度某點激起渦旋場的能力,引入旋度概念.

若矢量場A(x,y,z)=

Ax(x,y,z)i+Ay(x,y,z)j+Az(x,y,z)k

其中Ax(x,y,z),Ay(x,y,z),Az(x,y,z)具有一階連續偏導數，則數學上矢量場的斯托克斯定理可表為

(14)

旋度是對某個點而言的，存在旋度的點具備在空間其他點激起有旋場的能力，旋度可認為是由該點在其周圍激起渦旋矢量場的能力，某點旋度為零,則該點不會在其他點激起渦旋矢量場.若矢量場A處處的旋度為零(▽×A=0)，則稱A為無旋場.

由一般到特殊,當矢量場A=E,由式(14)、(2)有

(15)

因E=E(1)+E(2)，上式可分為兩個式子

▽×E(1)=0

(15a)

(15b)

當矢量場A=H，由式(4)、(14)有

必有

(16)

如圖3所示, 某點p的傳導電流密度j,位移電流密度jd都能在空間其他點激起渦旋磁場.所以某點H的旋度表明該點在空間其他點產生磁場的能力.因H=H(1)+H(2)，(16)式可以分解成兩個式子，分別表示兩個原因產生的磁場

▽×H(1)=j

(16a)

(16b)

圖3 某點磁場的旋度等于該點的電流密度

式 (15b)、(16b)表明磁場、電場可以相互轉化,說明電磁波能脫離電荷和電流傳播的內在機制.(15b)式右邊是某點磁場隨時間的變化,左邊是渦旋電場的旋度，即電場如何隨空間變化，該點磁場隨時間的變化向前激起電場.式(16b)右邊是某點電場隨時間的變化,左邊是磁場的旋度, 即磁場如何隨空間變化，該點電場隨時間的變化向前激起磁場.式(15b)、(16b)真切地指明了電磁波中的電場、磁場如何手拉手相互鼓勵著向前進.

綜合前面所述，麥克斯韋方程組的微分形式為

(17a)

(17b)

(17c)

(17d)

解一切電磁學問題，其出發點就是該微分形式麥克斯韋方程組，再輔以具體系統的物態方程，如對于各向同性系統，物態方程是D=εE,B=μH,j=σE及電場、磁場的邊界條件和初始條件等.解此微分方程組便可得到系統中各電磁量的時空函數，從而得知電磁場的分布，并判斷系統功能.