一類非線性耦合時滯泛函微分系統的振動性準則

李連忠，李曉雯，陳 燕

(1.泰山學院數學與系統科學學院，山東泰安 271021;2.泰山學院附屬中學，山東泰安 271000)

可將系統(1)分為四種情況進行討論，再由對稱性的考慮，可按以下兩種情況進行討論，

從而對任意的β＞1，由(10)可得

本文考慮下列非線性耦合時滯泛函微分系統

的振動性問題，其中函數a，b，σ，f，g滿足:

(H2)f∈C1(R，R)，g∈C(R，R)，且對任意的u≠0，有:

在一定的假設條件下，系統(1)存在連續解，我們的研究限制在系統(1)在右半區間［T0，∞］內存在連續解的情況，其中T0≥t0為依賴于系統具體解的數.通常的，一個定義在區間［T0，∞］上的實值連續函數如果存在任意大的零點，則稱之為振動的，否則稱為非振動的.系統(1)的解(x(t)，y(t))稱為是振動的，如果x(t)和y(t)都是振動的，否則就稱(1)的解是非振動的.

由系統(1)是否滿足條件

可將系統(1)分為四種情況進行討論，再由對稱性的考慮，可按以下兩種情況進行討論，

本文僅討論(2)成立的情況，關于條件(3)成立的情況我們將另行撰文討論.

1 預備知識

系統(1)的一種特殊情況是

對于系統(4)的振動性及非振動性研究，已經取得了若干優秀成果，讀者可以參考Kordonis與Philos文［1］，Kwong與Wong文［2］，Mirzov文［3－5］，以及Li與Cheng文［6］中的結果.

首先，由Philos文［7］，我們定義函數H=H(t，s)屬于函數類W，記為H∈W，如果D={(t，s)∶t≥s≥t0}，H∈C(D，R+)滿足:

(H3)H(t，t)=0，當t0≤s＜t＜+∞時H(t，s)＞0;

(H4)H(t，s)關于s具有連續非正的偏導數?H/?s，且存在某個h∈Lloc(D，R)，p∈C1(［t0，∞)，(0，∞))使得

其次，我們還將用到下面引理.

引理1［8］假設條件(H1)、(H2)成立，再設函數a(t)在任意形如［T0，∞)的區間內不恒為零，(x(t)，y(t))為系統(1)的非振動解，則作為解的組成部分的函數x(t)亦是非振動的.

同樣，如果函數b(t)在任意形如［T0，∞)的區間內不恒為零，(x(t)，y(t))為系統(1)的非振動解，則作為解的組成部分的函數y(t)亦是非振動的.

因此，若下列假設條件(H5)成立，

(H5)函數a(t)和b(t)都在任意形如［T0，∞)的區間內不恒為零，T0≥t0.

則系統(1)的任一非振動解(x(t)，y(t))的組成部分x(t)與y(t)皆最終定號，且從系統(1)的第一個方程，由x(t)的振動性可推出y(t)的振動性.

Saker在文［8］中研究了微分系統(1)，給出了系統振動的若干充分條件，我們列出文［8］的主要結果如下(文［8］中的函數p(t)≡1):

定理A［8］設條件成立，記r(t)=，如果存在函數ρ(t)∈C1(［t0，∞)，(0，∞))滿足

其中，q(t)=kk1b(σ(t))σ'(t)，Q(t，s)=h(t，s)

則系統(1)的任意解是振動的.

定理B［8］設函數r，H，h，q，Q，W，ρ同定理A，且條件(H1)－(H3)成立，設下列條件(C2)與(C3)成立，

再設存在函數m∈C(［t0，∞)，R)滿足條件(C4)和(C5):

其中，m+(t)=max{m(t)，0}.則系統(1.1)的任意解是振動的.

定理C［8］在定理B中將條件(C3)替換為

其它條件不變，則系統(1.1)的任意解同樣是振動的.

2 主要結果

下面，應用Philos文［7］和Li文［9］處理二階方程的方法，同時利用廣義Riccati技巧和積分平均技巧，我們給出系統(1)振動的新準則，本文的結論推廣和改進了Kwong與Wong文［2］，Li與Cheng文［6］，以及Saker文［8］中的結論.

定理2.1設條件(H1)－(H5)成立，記r(t)=，如果存在兩個函數ρ(t)，p(t)∈C1(［t0，∞)， (0，∞))，對某個β≥1和H∈W，下式成立，

證明 采用反證法，假設系統(1.1)在區間［T0，∞)內存在一個非振動解(x(t)，y(t))，其中T0≥t0.于是由條件(H5)和引理1，函數x(t)亦是非振動的，更進一步，我們發現在變量替換u=－x，v=－y之下，系統(1)在相同的假設條件下變換為與其自身相同形式的系統.不失一般性，我們假設x(t)和x(σ(t))在區間［T0，∞)內恒為正.

定義函數

由Saker文［8］定理2.1的證明知ω(t)＞0且滿足下面微分不等式，

于是有

特別的，

從而下式成立，

于是可得

上式與假設條件(5)式矛盾，這樣就完成了定理2.1的證明.

推論2.2 在定理2.1中將條件(5)替換為

和

其它條件不變，則系統(1)的任意解是振動的.

注2.3 在定理2.1的式(5)和推論2.2的式(8)中，將“lim sup”替換為“lim inf”，其它條件不變，仍可得到系統(1)的解振動的結論.

定理2.4 設條件(H1)－(H5)成立，函數r，H，h，p，q，ρ，Q，W，ω同定理2.1，并假設H∈W滿足

并且，

如果存在函數m∈C(［t0，∞)，R)，對某個β＞1，對所有的t≥T≥t0，有

其中，m+(t)=max{m(t)，0}.則系統(1.1)的任意解是振動的.

證明 采用反證法，假設系統(1.1)在區間［T0，∞)內存在一個非振動解(x(t)，y(t))，其中T0≥t0.由定理2.1前半部分的證明，對于某個β＞1和所有的t≥T≥T0，我們有

于是我們有

從而對任意的β＞1，由(10)可得

所以有

特別的下式成立，

下面證明

若不然，將有

由(9)，存在常數ξ＞0，滿足

令η為任意大的一個正數，由(15)，存在t1＞t0，當t≥t1時，有

則當t≥t1時，

由(16)，存在t2≥t1，對所有的成立，這意味著對所有的t≥t2，有z(t)≥η，由η的任意性，我們有)=∞，于是，

而這與(13)矛盾，所以(14)成立，由(12)與(14)易得

這與(11)矛盾，于是定理得證.

推論2.5在定理2.4中，將條件(10)和(11)中的“lim sup”替換為“lim inf”，其他條件不變，定理結論仍成立.

注2.6 定理2.4中我們去掉了Saker定理B、C中的限制條件(C3)和(C6)，仍然得到了系統(1)振動的結論，所以我們的結果要優于Saker文［8］的結果.

注2.7 對H，h，p的不同取法可以給出系統(1)振動的若干準則.例如令β=1，取p(t)≡1，t∈［t0，∞)，本文定理2.1退化為Saker定理A;在此基礎上再取H(t，s)=(t－s)λ，其中λ≥0為常數，則當λ=n為整數時，我們的定理2.1退化為Saker文［8］中的定理2.1;當λ=0時，我們的定理2.1退化為Saker文［8］中的定理2.2;

另外取p(t)≡1，H(t，s)=(t－s)λ，t≥s≥t0，則h(t，s)=，其中λ≥0為常數，并且對任意的s≥t0，有

即定理2.4中的條件(9)自然成立，于是由定理2.4，我們有以下討論.

推論2.8 設條件(H1)、(H2)和(H5)成立，函數r，q，ρ，Q，W，ω同定理2.1，λ≥0為常數，如果存在函數m∈C(［t0，∞)，R)，對某個β＞1，對所有的t≥T≥t0，

與(11)成立.則系統(1)的任意解是振動的.

再分別取λ=2，0，我們有:

推論2.9 推論2.8中的條件(17)替換為

其他條件不變，仍可得系統(1)的任意解是振動的.

推論2.10 推論2.8中的條件(17)替換為

其他條件不變，仍可得系統(1)的任意解是振動的.

例2.11 考慮下列簡單的微分系統

并且有

即(11)與(19)式成立，從而由推論2.10知微分系統(20)的任意解是振動的.

例2.12 考慮下列非線性時滯泛函微分系統

其中，

于是有

又容易驗證(11)式成立，從而由推論2.9知系統(21)的任意解是振動的.

然而，可以驗證下列兩式成立，

即Saker定理B、C中的限制條件(C3)和(C6)不成立，定理B、C不能應用于非線性時滯泛函微分系統(2.21)，這也說明了我們的結論要優于以往的結論.

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