拋物線的一個(gè)幾何性質(zhì)的探究與應(yīng)用

【摘要】拋物線是圓錐曲線的重要組成部分。是高考的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。拋物線有很多幾何性質(zhì)，它的幾何性質(zhì)在社會(huì)生產(chǎn)活動(dòng)和國(guó)民經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中有很大的使用價(jià)值。如果掌握了這些性質(zhì)，學(xué)生很容易解決有關(guān)拋物線的問(wèn)題。對(duì)拋物線的一個(gè)性質(zhì)加以探究并做了推廣。

【關(guān)鍵詞】拋物線 幾何性質(zhì)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）18-0-01

隨著新課程的改革和實(shí)施，拋物線幾何性質(zhì)的學(xué)習(xí)對(duì)文科學(xué)生的要求有所降低，只要求掌握有關(guān)焦點(diǎn)弦的問(wèn)題，不要求學(xué)生掌握直線與拋物線的一般關(guān)系問(wèn)題。學(xué)生更深入學(xué)習(xí)拋物線的性質(zhì)有很大的限制。拋物線有很多幾何性質(zhì)，它的幾何性質(zhì)在社會(huì)生產(chǎn)活動(dòng)和國(guó)民經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中有很大的使用價(jià)值。除了新教材上講的幾何性質(zhì)外，他還有很多幾何性質(zhì)。下面我對(duì)其中的一個(gè)幾何性質(zhì)加以探究并推廣。

性質(zhì)：直線AB經(jīng)過(guò)拋物線y2 =2px （ p>0 ）的焦點(diǎn)F，與拋物線相交于A， 兩點(diǎn)。其中 A（ x1 ， y1 ） ， B（ x2 ， y2 ） ， 則A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積為定值。即 ，y1 y2=-p2。

證明：直線AB的方程為x=my+，

與拋物線 y2=2 px聯(lián)立得

∴ y1 y2=-p2 .

∵ y12=2px1， y22=2 px2

∴ （y1 y2）2=4 p2 x1 x2

∴

探究：若直線AB經(jīng)過(guò)拋物線 y2=2 px （ p>0）的軸上的一點(diǎn)P（n，0），A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積是否為定值？

設(shè)直線AB的方程為 x = my + n，

與拋物線y2 =2 px聯(lián)立得

即A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積為定值。

推廣：直線A，B經(jīng)過(guò)拋物線 y2 =2 px （p>0）的軸上的一點(diǎn)P（2， 0），與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，其中 A （x1，y1），B （x2， y2） ，則A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積為定值。即 x1 x2 =n2， y1 y2 =-2 pn 。

例題. 直線AB經(jīng)過(guò)拋物線 y2 =2 px （p>0） 軸上的一點(diǎn)P（2，0），與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，并且 =0， 則拋物線的方程為_(kāi)_____________.

分析：設(shè) A （x1，y1）， B （x2， y2） ，則由性質(zhì)的推廣可知n=2，

所以 x1 x2 =4， y1 y2 =-4 p。又因?yàn)?=0，

所以 x1 x2 + y1 y2 =0，即 4-4 p =0.所以 p=1 。

因此拋物線的方程為 y2 =2 x。

點(diǎn)評(píng)：性質(zhì)推廣的應(yīng)用可以使解題過(guò)程簡(jiǎn)單，避免了繁雜的運(yùn)算。

作者簡(jiǎn)介：費(fèi)小林（1970.5-），男，中學(xué)高級(jí)教師，大學(xué)本科，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)，2014年12月獲得甘肅省中小學(xué)農(nóng)村骨干教師。長(zhǎng)期擔(dān)任高三數(shù)學(xué)教學(xué)。