考慮啟動壓力和二次梯度的壓裂井穩態滲流模型

張 強，王永清，章雙龍，楊玲智，蔣 睿

(油氣藏地質及開發工程國家重點實驗室 西南石油大學，四川 成都 610500)

考慮啟動壓力和二次梯度的壓裂井穩態滲流模型

張 強，王永清，章雙龍，楊玲智，蔣 睿

(油氣藏地質及開發工程國家重點實驗室 西南石油大學，四川 成都 610500)

從質量守恒原理出發，推導了考慮啟動壓力梯度和二次壓力梯度非線性單向滲流微分方程。并通過變量代換，將滲流方程線性化，獲得單向穩定滲流模型的解析解。再利用保角變換將壓裂井復雜的平面流動轉化為簡單的單向流動，最終獲得考慮啟動壓力梯度和二次壓力梯度的壓裂井產量公式。通過對比分析可知:只考慮啟動壓力梯度或二次梯度項所得產能公式都是文中公式的特例;忽略二次梯度項將使計算所得產能偏低，忽略啟動梯度項將使計算所得產能偏高，且誤差隨二次梯度項系數和啟動壓力梯度的增大而增大。

啟動壓力梯度;二次梯度;非線性滲流;壓裂井;產能

引 言

近幾年來，隨著油氣勘探開發的逐步深入，已經把勘探開發重點逐步轉移到低滲透油氣藏。一方面，理論研究、室內實驗以及生產經驗均表明低滲透儲層中具有啟動壓力梯度，即只有生產壓差大于某個數值，儲層流體才會流動［1－2］;另一方面，公式推導中曾經忽略的二次梯度作用帶來的理論誤差可達20% 以上［3－6］。針對該問題，本文從低速非達西滲流理論入手，同時考慮高階梯度項，推導出了綜合考慮2種因素的壓裂井產能評價公式。通過比較分析可知，只考慮單一因素的產能公式是本文公式的特殊形式。

1 一維滲流模型的建立

假設條件:水平均質等厚條帶狀地層;地層一端有一直線供給邊緣，另一端有一排液道，孔隙介質及滲透率均勻，各向同性;流體微可壓縮且黏度是常數;忽略重力和毛管力。

低滲透油藏低速非達西滲流方程為:

式中:V為流體滲流速度，m/s;K為地層滲透率，10－3μm2;μ為原油黏度，mPa·s;p為地層壓力，MPa;λ為啟動壓力梯度，MPa/m;x為距井底距離，m。

液體的狀態方程為:

式中:ρ為液體密度，kg/m3;ρo為原始地層壓力下液體密度，kg/m3;pi為原始地層壓力，MPa;Cρ為液體等溫壓縮系數，MPa－1。

由質量守恒原理可得連續性方程為:

由▽算子的定義可得:

對液體狀態方程先取對數再求導可得:

聯立式(1)、(3)、(4)、(5)可得:

式(6)就是考慮二次梯度項和啟動壓力梯度的非線性滲流控制偏微分方程。

若對式(2)用麥克勞林級數展開并忽略所有高階項，得:

二次梯度項出現的原因在于上述推導滲流控制微分方程的過程中沒有對狀態方程(2)做任何的簡化處理。如果對狀態方程用麥克勞林級數展開，用式(7)對滲流控制方程進行推導，導出的滲流控制方程不含二次壓力梯度項。由于二次壓力梯度項的存在，使得描述多孔介質、微可壓縮液體流動的壓力分布的微分方程呈現非線性特征。故常規線性滲流控制方程是非線性控制方程的近似與簡化。

式中:q為井底產油量，m3/d;h為油層厚度，m;w為油層寬度，m;pe為油藏外邊界壓力，MPa;pw為生產井底的壓力，MPa;L為油層長度，m;B為原油壓縮系數。

當λ趨于零時，式(12)、(13)出現數學上求解%型的極限，應用洛必達法則可得到不考慮啟動壓力梯度的解式:

當Cρ趨于零時，式(12)出現數學上求解%型的極限，應用洛必達法則可得到不考慮二次壓力梯度項的解式:

如果λ和Cρ同時趨于零，式(14)利用洛必達法則得到常規一維油藏產量公式:

2 壓裂井滲流模型的建立

假設條件:均質等厚圓形油藏中心1口橢圓形裂縫井穩定生產;裂縫對稱分布，無限導流，裂縫半長為Lf;產層全部打開，厚度為h;地層泄油半徑為re，其壓力為pe，井底壓力為pw;地層均質且各向同性;壓縮系數和黏度是常值;流體單相微可壓縮;忽略重力和毛管力。

取保角變換為［9］:

式中:Lf為裂縫半長，m;Z、W為坐標平面。

變換后，圖1(a)中的Z平面被映射為圖1(b)中的W平面(W平面為寬度為π的帶狀地層)。

圖1(a)中的裂縫AB經過保角變換映射成圖1(b)中的A'B'。此時，Z平面內垂直裂縫井的復雜滲流問題就轉變為W平面內簡單的單向滲流問題。

可得相應的對應關系為:

式中:(X，Y)為Z平面的坐標，(U，V)為W平面的坐標。

3 產能誤差分析

有關計算參數為:油藏有效厚度為20 m，滲透率為5 ×10－3μm2，供給半徑為 1 000 m，裂縫半長為400 m，地層原油黏度為20 mPa·s，生產壓差為10 MPa，原油壓縮系數為 1.2。λ的值分別取0.001、0.050、0.100、0.500 MPa/m;Cρ的值分別取0.000 1、0.003 4、0.006 7、0.010 0 MPa－1。對應的誤差如表1、2所示。其中誤差的獲得是以產量公式(25)為基準。由式(25)求得的產量為14.031 8 m3/d。

由表1、2可知，忽略二次梯度項將使計算所得產能偏低，忽略啟動壓力梯度項將使計算所得產能偏高，且誤差隨啟動壓力梯度和二次梯度項因子的增大而增大。

表1 二次壓力梯度引起的誤差

表2 啟動壓力梯度引起的誤差

4 結論

(1)此次推導的單向流動壓力分布公式(12)和產量公式(13)以及壓裂井產量公式(22)綜合考慮了啟動壓力梯度和二次梯度項的影響，貼近生產實際，應用范圍更廣泛。

(2)只考慮啟動壓力梯度或者只考慮二次梯度項的單向流動產量公式和壓裂井產量公式分別是所推導公式(13)、(22)的特例。

(3)忽略二次梯度項將使計算所得產能偏低，而忽略啟動梯度項將使計算所得產能偏高，且誤差隨啟動壓力梯度和二次梯度項因子的增大而增大。

［1］馮文光，等.單一介質、雙重介質中非定常非達西低速滲流問題［J］.石油勘探與開發，1985，11(1):56－62.

［2］賈振岐，等.低滲透油藏非線性滲流下的油井產能［J］.大慶石油學院學報，2006，30(1):101－103.

［3］賈永祿，等.考慮二次梯度影響的滲流模型與試井樣板曲線［J］.西南石油大學學報，2007，29(5):69－71.

［4］聶仁仕，等.二次壓力梯度非線性滲流理論與應用［J］．大慶石油地質與開發，2010，29(5):96－103.

［5］同登科，鄭利，王清河.考慮二次梯度影響的雙重介質垂直裂縫井壓力動態分析［J］.力學季刊，2010，31(3):395－400.

［6］張偉東，楊鐵軍，蔣廷學，等.保角變換法用于計算壓裂井產能［J］.油氣地質與采收率，2003，10(增刊):81－82.

Steady state flow model of fractured wells considering kickoff pressure gradient and secondary pressure gradient

ZHANG Qiang，WANG Yong － qing，ZHANG Shuang– long，YANG Ling– zhi，JIANG Rui
(State Key Laboratory of Oil and Gas Reservoir Geology and Exploitation，Southwest Petroleum University，Chengdu，Sichuan 610500，China)

Based on the principle of mass conservation，a differential equation for the nonlinear unidirectional flow considering the kickoff pressure gradient and secondary pressure gradient has been derived in the paper．An analytical solution was obtained for the unidirectional steady state flow model by linearizing the flow model through substituting the variants．The complicated plane flow of fractured wells was then converted to a simple unidirectional flow by conformal transformation，resulting in a production formula for fractured wells considering the kickoff pressure gradient and secondary pressure gradient．It can be learned by comparative study that the production formulas considering only the kickoff pressure gradient or secondary pressure gradient are special cases of the formula．Ignoring secondary pressure gradient will result in lower calculation values of production while ignoring kickoff pressure gradient will result in higher calculation values of production and the errors will increase with the increase of the secondary gradient coefficient and the kickoff pressure．

kickoff pressure gradient;secondary gradient;nonlinear flow;fractured well;productivity

TE312;TE348

A

1006－6535(2011)06－0089－03

20110323;改回日期20110802

國家科技重大專項“火山巖氣藏完井優化與產能評價”(2008ZX05054)

張強(1985－)，男，2009年畢業于大慶石油學院信息與計算科學專業，現為西南石油大學油氣田開發專業在讀碩士研究生，從事油氣田開發方面的研究。

編輯 孟凡勤