初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)與APOS理論運用

摘要：APOS理論是近年來美國數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基提出的一種建構(gòu)主義學(xué)說。他將數(shù)學(xué)概念的建立分為：活動，過程，對象，圖式四個階段，并用于指導(dǎo)教學(xué)實踐。本文主要對該理論的認(rèn)識和在數(shù)學(xué)概念教學(xué)實踐中的應(yīng)用作了一點嘗試。

關(guān)鍵詞：APOS；活動；過程；對象；圖式階段

中圖分類號：G623.5 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1006-3315(2011)2-025-002

一、傳統(tǒng)教學(xué)觀念與APOS理論

世界著名教育家夸美紐斯在提出班級授課制的教學(xué)組織形式時，曾有這樣一種教育理想：“找出一種教育方法，使教師因此可以少教，但是學(xué)生可以多學(xué)。”為了讓教學(xué)過程簡明，學(xué)生可以比較直接地學(xué)習(xí)概念、節(jié)省時間，教師常常采用“屬＋種差”的概念同化方式進行教學(xué)。其步驟大致為：(1)揭示概念的本質(zhì)屬性，給出定義、名稱和符號；(2)對概念進行特殊分類，提示概念的外延；(3)鞏固概念，利用概念的定義進行簡單的識別活動；(4)概念的應(yīng)用與聯(lián)系，用概念解決問題，并建立所學(xué)概念與其它概念間的聯(lián)系。這種教學(xué)模式往往是由教師代替學(xué)生快體驗、快抽象出數(shù)學(xué)概念，并且僅僅從形式上做邏輯分析讓學(xué)生理解概念。然而，這在概念教學(xué)中，過快的抽象過程使得只有一少部分學(xué)生進行有意義的學(xué)習(xí)，難以引發(fā)全體學(xué)生的學(xué)習(xí)活動，大部分學(xué)生理解不了數(shù)學(xué)概念只靠死記硬背，即使能跟隨教師進行有意義學(xué)習(xí)的學(xué)生其學(xué)習(xí)活動也是不連貫的，建構(gòu)的概念缺乏完整性。

近年來，美國的杜賓斯基等人在數(shù)學(xué)教育研究實踐中發(fā)展起來一種APOS理論，對數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程進行解釋。杜賓斯基認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念要經(jīng)歷操作(Action)、過程(Prooess)、對象(Object)、圖式(scheme)四個階段，取這四個階段英文單詞的第一個字母，定名為APOS理論模型。APOS理論集中于對特定的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程的研究，對數(shù)學(xué)概念所特有的思維形式“過程和對象的雙重性”做出了切實分析，它揭示了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的本質(zhì)，它是解釋數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理活動的核心概念和概念框架。

APOS理論的四個階段是循序漸進的。它反映了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過程中真實的思維過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識形成的規(guī)律性，而在教學(xué)方面體現(xiàn)了一種教學(xué)規(guī)律，為教師如何進行數(shù)學(xué)教學(xué)提供了一種具體而實用的教學(xué)策略。它的最大優(yōu)點是增加了“活動”階段，讓學(xué)生對概念的形成過程有一個充分體驗，知其產(chǎn)生的現(xiàn)實背景和豐富寓意。通過“活動”喚起學(xué)生的興趣，啟發(fā)他們通過親身體驗主動尋找和建立數(shù)學(xué)概念、法則和技巧，全面理解一個數(shù)學(xué)概念，準(zhǔn)確把握一個數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。

二、APOS理論在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的運用

APOS理論當(dāng)中的活動階段相當(dāng)于觀察、呈現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的具體實體階段，通過活動讓學(xué)生親身體驗、感受直觀背景和概念間的關(guān)系。過程階段則是學(xué)生對具體實體進行思維概括并描述得出數(shù)學(xué)概念的階段。但要對概念有真正的理解，要使數(shù)學(xué)概念真正在學(xué)生頭腦中建立起來，還必須上升到對象、圖式階段。對象階段即是將概念作為一個已知對象應(yīng)用到它生存的土壤或背景中，并將它作為一個工具，在以后的學(xué)習(xí)中以此為對象進行新的活動。對象階段過后，概念建立還要進人圖式階段，能夠區(qū)分、評價此概念與彼概念，這時概念以一種完整的心理圖式儲存于學(xué)生的大腦當(dāng)中，其中包括具體的實例、抽象的過程，完整的定義及與其他概念的區(qū)分與聯(lián)系等等。APOS理論的四個階段是循序漸進，逐級升華、抽象，不斷地形式化，最后完成數(shù)學(xué)概念的建立。

下面是本人在教學(xué)《平面直角坐標(biāo)系》的實踐中運用APOS理論進行教學(xué)的一點嘗試。考慮到八年級學(xué)生思維還處于由形象思維向抽象思維的過渡階段，從一維的數(shù)軸轉(zhuǎn)向二維的平面直角坐標(biāo)系是學(xué)生認(rèn)識上的一次跨越，因此設(shè)計教案時力圖突破這種跨越。

1.創(chuàng)設(shè)情境，使學(xué)生在“活動”中思考問題

創(chuàng)設(shè)“找位置”的問題情景，開展活動過程。師：同學(xué)們，你們走進教室后，是怎樣找到自己的座位的?生1：我的座位在第3行第5列。師：很好!其他同學(xué)還有什么想法?生2：我從教室前門先橫走3排再豎走4排，能找到自己的坐位。師：可行的!下面我發(fā)給每一位同學(xué)一張地圖，請大家仔細觀察地圖并回答問題：(1)向你的同桌描述建筑物A(動物園)、B(青少年宮)、C(電影院)的位置；(2)假設(shè)你在另一處D(學(xué)校)，你將怎樣找到A、B、C?結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗，創(chuàng)造適合學(xué)生思考與想象的環(huán)境，給予學(xué)生充分表達自己看法的機會，讓他們在自主思考、自由交流中，在與同學(xué)觀點交鋒中，撞擊出思維的火花!

2.通過活動，讓學(xué)生經(jīng)歷思維概括“過程”

通過“找位置”的活動，讓學(xué)生親身經(jīng)歷在找位置的時候所經(jīng)歷的一切過程，體驗“直角坐標(biāo)系”這一概念形成的成因。老師在聽取學(xué)生的看法后，因勢利導(dǎo)，總結(jié)、概括大家的意見，引導(dǎo)學(xué)生得出確定平面某一位置(即要找到某一地點)的方法，以及這些方法的共同之處。接下來，老師與學(xué)生共同回顧之前學(xué)過的數(shù)軸的內(nèi)容——數(shù)軸上的每一個點都對應(yīng)著一個實數(shù)值，也即找到那一點，以此誘發(fā)學(xué)生思考平面上一個點的位置確定。結(jié)合先前活動的經(jīng)驗(有關(guān)橫走、豎走的經(jīng)驗)，抽象得出平面上確定位置的過程，也是尋找、設(shè)置兩條數(shù)軸(兩個方向)的過程。將平面直角坐標(biāo)系這一概念的形成過程歸結(jié)于兩條數(shù)軸的出現(xiàn)過程，這應(yīng)該是一種全新的視角。

3.集中討論，讓學(xué)生賦予“對象”定義

通過學(xué)生的集體討論、集思廣益，對“直角坐標(biāo)系”這一“對象”進行表述：“平面上互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系”，這是對象階段的目標(biāo)。因此，這一階段老師要繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生探討平面直角坐標(biāo)系的特點、存在意義(平面上的一個點與一對有序?qū)崝?shù)對之間的一一對應(yīng)關(guān)系)等，并進行課堂練習(xí)，加深對此概念的認(rèn)識：練習(xí)(1)請你在先前的地圖中，建立平面直角坐標(biāo)系；(2)寫出各點的坐標(biāo)；(3)寫出與B點關(guān)于坐標(biāo)軸相對稱的點的坐標(biāo)；(4)現(xiàn)有點(4，5)和點(-1，7)，請你在自己建立的直角坐標(biāo)系中描寫這些點。第(1)小題用于加固平面直角坐標(biāo)系的概念；第(2)、(3)小題皆在聯(lián)系通過點寫坐標(biāo)；第(4)小題解決坐標(biāo)描點。而這一切都將學(xué)生的動手嘗試放在教師講解之前，也是考慮到知識內(nèi)容本身的難易程序和學(xué)生已有的知識背景的。

4.抽象概括，使學(xué)生建立起心理“圖式”

通過以上三個階段的教學(xué)，學(xué)生在頭腦中應(yīng)該比較深刻地建立起平面直角坐標(biāo)系的心理表征：具體的實例(直觀的)，概念形成過程，定義形式(抽象的)，三者之間的聯(lián)系與區(qū)別。例如進電影院找座位、到公園找景點等、直角坐標(biāo)系的作用(刻畫平面上點的位置)、在直角坐標(biāo)系中確定點的過程及其與數(shù)軸的區(qū)別和聯(lián)系等等。老師帶領(lǐng)學(xué)生訂正課堂練習(xí)，并在其中嘗試區(qū)分平面直角坐標(biāo)系與數(shù)軸的不同，認(rèn)識它的優(yōu)越性。然后進行反映概念特例的練習(xí)：(1)請大家在自己的平面直角坐標(biāo)系中找出點(3，0)和點(0，-5)；(2)大家觀察一下這兩個點有什么關(guān)系呢?……，這樣看來，這兩個點既表示平面上的點，也可表示平面當(dāng)中直線上的點!老師引導(dǎo)學(xué)生思考平面直角坐標(biāo)系與數(shù)軸的關(guān)系，明確它們的區(qū)別、聯(lián)系和知識間的應(yīng)用，幫助學(xué)生建立起“平面直角坐標(biāo)系”這一概念完整的心理圖式。

三、運用APOS理論實施教學(xué)時，需要注意的問題

數(shù)學(xué)以抽象作為一個重要特點，形式化的表述方式使數(shù)學(xué)更加抽象，教師和學(xué)生都在經(jīng)受“抽象”的考驗，如果不能過“抽象”這一關(guān)，是不能說理解數(shù)學(xué)的。但是，如果我們以“抽象”為由，抹去數(shù)學(xué)生動、鮮活的現(xiàn)實背景，那也是認(rèn)識上的誤區(qū)。一方面，我們要為學(xué)生營造體驗數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展過程的平臺；另一方面，我們也不可為了創(chuàng)造學(xué)習(xí)的情境，只停留在活動層面，而放棄對數(shù)學(xué)“抽象”之美的追求。

1.教師要把“教”建立在學(xué)生“學(xué)”的活動中

教師在設(shè)計學(xué)生活動時，常需要創(chuàng)設(shè)問題情境，設(shè)計的問題情境要注意能提示數(shù)學(xué)知識的現(xiàn)實背景和形成過程，要適合學(xué)生的學(xué)習(xí)水平和心理建構(gòu)能力，學(xué)生要有充足的活動體驗，能引起全體學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.要體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識形成中的數(shù)學(xué)思維方法

數(shù)學(xué)思維方法是知識產(chǎn)生的靈魂，是學(xué)生展開思維和構(gòu)建概念的主線，教師在學(xué)生學(xué)習(xí)中要給予提示、建議，并在總結(jié)中歸納，巧妙設(shè)計能引起學(xué)生反思的提問，使學(xué)生能順利完成由“活動”、“過程”到“對象”的過渡。

3.數(shù)學(xué)對象的建立需經(jīng)多次反復(fù)，不能一蹴而就

一個數(shù)學(xué)概念由“過程”到“對象”的建立，有時需要經(jīng)過多次反復(fù)，循序漸進，“對象”的建立要注意簡練的文字形式和符號表示，使學(xué)生在頭腦中建立起數(shù)學(xué)知識的直觀結(jié)構(gòu)形象。APOS理論的四個階段并非一定體現(xiàn)在一堂數(shù)學(xué)課當(dāng)中，也不是每一課都必須遍歷四個階段，它適用于數(shù)學(xué)概念在學(xué)生頭腦中建立的一段時期，并不局限于某一堂課。

APOS理論是一種數(shù)學(xué)概念教學(xué)論，通過學(xué)習(xí)和實踐。讓我深切地體會到教師的角色從“獨奏者”過渡到“伴奏者”，教師的任務(wù)不再是傳授知識，而是幫助學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、組織和管理知識，師生關(guān)系成為探究真理的伙伴關(guān)系，學(xué)生能在輕松愉快的氣氛下表現(xiàn)自己，表達自己的思想和情感，從而有效地培養(yǎng)了他們的創(chuàng)新能力。

參考文獻：

[1]張奠宙，李士，李俊，數(shù)學(xué)教育學(xué)導(dǎo)論北京：高等教育出版社，2003，4

[2]王學(xué)沛，李尚瑩數(shù)學(xué)教育實踐中實施素質(zhì)教育的問題及其解決，數(shù)學(xué)教育學(xué)報2003，1

[3]劉兼，黃翔，張丹，數(shù)學(xué)課程設(shè)計北京：高等教育出版社，2003，8