談小學數學中的難點教學

一、教學難點的含義

什么是教學難點？有學者認為，教學的難點一般是指教師較難講清楚、學生較難理解或容易產生錯誤的知識內容。也有的學者認為，數學中的難點是指學生不易理解的知識，或不易掌握的技能技巧。按筆者的理解，教學難點可以從基礎知識和基本技能兩方面來確定，也就是學生不容易理解的概念、原理、定律法則、公式等知識可以認為是難點，對于那些應用基礎知識去解決某些實際問題而感到困難，或是通過反復訓練學生難以內化的知識也可以認為是難點。

需要說明的是，難點不一定是重點，重點也不一定是難點，而有些內容既是難點又是重點。難點要根據學生的實際水平來定，同樣一個問題，在這個班級是難點，而在另一個班級則不一定是難點。

二、教學難點的產生

現代認知發展理論認為，學生認知結構的發展是在認識其新知識的過程中，伴著同化和順應，使原有的認知結構不斷再構的過程。

從認知發展理論來分析，在教學時，如果所學習的內容能通過學生的思考把外在的信息納入到已有的認知結構中，從而豐富和加強已有的思維傾向和行為模式，這樣的學習內容學生容易理解。如果所學的內容與學生已有的認知結構與新的信息產生沖突，引起原有認知結構的調整，需要建立新的認知結構，這種通過順應而建立新的認知結構的知識則比較困難。因為認知結構本身也有一種定式，這種定式的消極作用會阻礙認知的飛躍，從而造成學習新知識的困難，形成教學難點。因此，教學難點在一定程度上決定于作為認識客體的教材內容，然而它還決定于作為認識主體的學生和指導主體認識客體而在教學中起主導作用的教師，即決定于教師、學生的素質和能力。

當然，在同一個內容的學習過程中，同化和順應往往同時進行，難以截然分開。由于學生個體數學認知結構的差異，教學難點的形成也必然存在差異，在實際操作時，要根據學生的實際水平來靈活確定教學難點。

三、教學難點的突破

1?郾啟發講解法。就是對學生不容易理解的知識，教師有必要進行有意義的“講”。要特別注意的是，這里的“講”不是“灌輸”，而是“啟發講解”，使學生在比較短的時間內理解知識。這是我們常用的一種方法。

例如，蘇教版課改實驗教材四年級上冊“找規律（植樹問題）”，學生比較難理解的是植樹的棵數與間隔之間的關系。為此，我運用啟發講解的方法進行教學，效果比較好。

師：（多媒體出示例題中的兔子和蘑菇圖）我們一起來看這幅圖，圖中的兔子和蘑菇是怎樣排列的？

生：按一只兔子接著一個蘑菇的規律排列。

師：你說得真好！這是一種間隔排列問題，第一是兔子，最后也是兔子，像這樣兔子排在開始和最后，我們把兔子看作“兩端的物體”，蘑菇排在中間，我們把蘑菇看作“中間的物體”。

師：誰來說說兔子有幾只？蘑菇有幾個？

生：兔子有8只，蘑菇有7個。

師：（出示籬笆圖）我們再來看這里的籬笆圖，仔細觀察，這幅圖中兩端的物體是什么？中間的物體是什么？

生：兩端的物體是木樁，中間的物體是籬笆。

師：數一數，木樁和籬笆各是多少。

生：木樁有13根，籬笆有12塊。

師：（出示手帕圖）我們再來看看這幅圖中兩端的物體和中間的物體分別是什么？

生：兩端的物體是夾子，中間的物體是手帕。

師：夾子和手帕各有多少？

生：夾子有10個，手帕有9塊。

師：請同學們將剛才觀察的三幅圖中兩端的物體和中間的物體的個數分別填在下面的表格中。

（教師出示下面的表格，表格中的數讓學生填寫。）

師：請大家仔細觀察表格，從中你能發現什么規律嗎？

生：我發現兩端的物體比中間的物體多1。

師：反過來，還可以怎么說？

生：中間的物體比兩端的物體少1。

在教師的啟發引導下，學生找到了規律，教學難點也由此突破。

2?郾演示實驗法。即運用演示實驗的方法來攻破教學難點。演示實驗，可以讓學生從動態的操作過程中觀察思考，從而達到理解知識的目的。

例如：“在一只底面半徑是30厘米的圓柱形水桶中，有一段半徑是10厘米的圓柱形鋼材完全浸沒在水中，當鋼材從水中取出時，桶里的水面下降5厘米。這段鋼材有多長？”這道題的教學難點是讓學生理解鋼材的體積實際上就是水下降的體積。如何在“鋼材的體積”與“水下降的體積”這兩者之間建立起聯系，對學生來說是一個比較困難的問題。為此，我在教學時引導學生觀察實驗：將一段圓柱形鋼材放進一個盛水的圓柱形燒杯里，使圓柱形鋼材完全浸沒在水中，讓學生觀察演示過程，教師將鋼材從燒杯中取出，讓學生觀察水面的變化過程，并思考下面的問題：在沒有拿出鋼材時，水面在什么位置？當拿出鋼材后，水面發生了怎樣的變化？為什么會有這樣的變化？鋼材的體積與水下降的體積有怎樣的關系？

學生通過觀察思考，發現鋼材取出后，燒杯里的水下降了的那一部分是一個小圓柱，而這個小圓柱的體積與圓柱形鋼材的體積相等。這樣學生順利解決了圓柱形鋼材的體積問題，進而迅速求出了鋼材的長：3?郾14×302×5÷（3?郾14×102），問題迎刃而解。

3?郾運用比喻法。有些基礎知識，學生雖然能記住，也能運用已學的知識解決一些簡單的問題，但是讓他們說出其中的道理，有時往往表述不清楚，這說明學生還是沒有真正理解。為此，我在教學時常常運用比喻的方法幫助學生理解知識。

例如，對于“方程的解”和“解方程”這兩個概念，學生在理解上有一定的困難，有時還會混淆。為使學生理解這兩個概念，我先讓學生求出x+20=100，23x=69，x-13=50中x的值，并將求得的x的值代入原方程檢驗，引導學生觀察各等式的左右兩邊是否相等，抽象出“方程的解”這一概念，與此同時，說明像剛才求未知數（x）的過程，就叫做“解方程”。最后啟發學生說出完整的概念。接著邊打比方邊演示，將一塊（重10克）小石子放在天平的一邊，要想知道它的重量是多少，就需要打開砝碼盒，找出與小石子重量相等的砝碼放在天平的另一邊，使之左右平衡。那么，10克砝碼便是“方程的解”，而開盒找砝碼的過程就是“解方程”。

4?郾變換敘述法。即運用變換敘述形式的方法來降低難度，攻破難點。我們經常說“思維定式”，確實，學生有時會有一種固化的思維，對于某些“標準形式”的問題，都能順利解決，而對稍有變化的材料則出現困難。當遇到這樣的情況時，教師如果能及時變換敘述形式，讓學生在比較中感悟，他們就會從中得到啟示，從而解決問題。

例如：“一項工程，由甲工程隊修建，需要20天完成，由乙工程隊修建，需要30天完成。兩隊先合修若干天，剩下的工程甲隊又用了5天完成了全工程。甲乙兩隊合修了多少天？”學生對題中的表述比較難理解，給解題思路帶來了干擾。為攻破難點，可將此題的敘述形式變為：“一項工程，由甲工程隊修建，需要20天完成，由乙工程隊修建，需要30天完成。現在由甲工程隊先修5天，剩下的由甲乙兩隊合修，甲乙兩隊合修了多少天？”

顯然，盡管這兩道題的表述形式不一樣，但是實質是一樣的。因此，問題很快得到解決：

設數計算法。即運用設數舉例的方法，通過計算來解決問題。有些題，看上去似乎缺少條件，從而給解決問題帶來了難度，這時如果運用設數的方法，便可以很快找到解決問題的辦法。

例如：“甲數比乙數多25%，乙數比甲數少百分之幾？”可以設乙數為100，則甲數為100×（1+25%）=125，這樣乙數比甲數少的百分率很快可以求出：（125-100）÷125=0?郾2=20%。

當然，有些題我們還可以直接用字母來表示要設的數。

如：“一個班在一次數學考試中，平均成績是78分，男女生的平均成績分別是75?郾5分和81分。這個班男女生人數的比是多少？”

我們可以設男生為x人，女生為y人，則75?郾5x+81y=78(x+y)化簡得3y=2?郾5x，也就是x∶y=6∶5，即這個班男女生人數的比是6∶5。

6?郾畫圖觀察法。讓學生通過畫線段圖來攻破難點，這是一種解決問題的策略。

如：“甲乙兩人各用一定的速度從AB兩地同時相向而行，第一次相遇在離甲出發點A地500處。相遇后各人再繼續前進，到達對方的出發點后再折回，第二次相遇在離乙出發點B地300米處。兩地相距多少米？”

畫出下面的線段圖，就會很快找到解決問題的方法。從圖中可以看出，甲乙兩人走一個全程，甲行了500米，在整個過程中，甲乙兩人共走了3個全程，也就是甲走了（500×3）米，還多300米，所以兩地相距500×3-300=1200米。

7?郾比較分析法。“比較是一切理解和思維的基礎，我們正是通過比較來了解世界上的一切的。”（烏申斯基語）小學數學中有許多內容既有聯系又有區別，在教學中充分運用比較的方法，有助于突破教學難點，防止知識的混淆，提高辨別能力。

例如：求下面（圖1）這個圖形的周長（單位：厘米）

許多學生覺得這道題還缺少條件，一時無法解決這個問題。這時，可呈現一個長方形（圖2），讓學生對比兩個圖形觀察思考：比較這兩個圖形，你覺得要求原來這個圖形的周長，可以怎么求？然后進行動態演示，將兩條水平的線段上移，使之與最上面的一條水平線段相連，再將兩條豎著的線段右移，使之與最右邊的一條豎線段相連。到此，學生茅塞頓開：這個圖形的周長可以這樣求出：（10+5）×2。

8?郾巧用轉化法。所謂轉化，就是把原問題盡可能轉化為能解決或較易解決的問題。它的特點是化難為易，化一般為特殊，化特殊為一般，化復合為單一，化隱蔽為外顯。因此，適時恰當運用轉化的方法，不但可以攻破難點，還可以幫助學生形成正確而靈活的思路，提高學生的分析和解決問題能力。

例如，有一個古代經典題：“傳說阿拉伯有一個富商，臨終時留下遺囑：我死后把17匹馬分給三個兒子。大兒子分得馬總數的，二兒子分得馬總數的，三兒子分得馬總數的，但不允許將馬殺掉，也不允許將馬賣掉。富商去世后，三個兒子和親屬都無法分這些馬。現在請你幫分一分這些馬。

解決這個問題，如果沒有想到“借來一匹馬分”的思路，將會出現分到的結果不是整只數的結果。為此，我作了如下提示：能否將題中的三個分率轉化成與比有關的形式呢？接著組織學生合作探究，在大家的努力下想到了假如借來一匹馬則可將這個題中的三個分率轉化為比，即三個兒子分得的馬匹數的比是∶∶=9∶6∶2，再用按比例分配思路解決問題：大兒子得17×=9（匹），二兒子分得17×=6（匹），三兒子分得17×=2（匹）

在數學教學中，攻破難點的方法是多方面的，我們只要善于思考，依據學生的認知特點進行教學，就會攻破教學中的難點。

作者單位

江蘇省蘇州工業園區新城花園小學

◇責任編輯：曹文◇

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