數學教學中直線與平面基本概念的教學方法

摘要：掌握直線與平面的基本概念是學好立體幾何的關鍵。教學中要消除學生的學習顧慮，激發學習興趣，用生動、形象、有趣的語言講清概念，抓住關鍵性的詞匯，用反例圖形澄清錯誤認識，借助模型和實物，善于歸納總結找出規律，加強對概念的理解與記憶。

關鍵詞：立體幾何；直線與平面；基本概念；教學方法

立體幾何中的概念、公理、定理是進行邏輯推理的基礎，尤其是“直線與平面”這一章的內容，它系統地研究了線線、線面、面面的位置關系及判定、性質，是整個立體幾何主要的基礎知識。因此，掌握好這一章內容是學好立體幾何的關鍵。為了加強學生對基本概念的理解、記憶，為整個立體幾何學習打下堅實的基礎，現就以下幾個方面談幾點個人的教學體會。

消除思想顧慮，激發學習興趣

近幾年來，技工學校的學生數學基礎普遍較差，缺乏空間想象力與邏輯推理能力，由平面幾何轉入立體幾何，學生會感到很不適應，總是習慣于用平面圖形的思維來考慮空間圖形，對學好立體幾何信心不足。針對這些情況，在教學中首先要鼓起學生學好立體幾何的勇氣，向學生介紹立體幾何的研究對象、學習方法，指出立體幾何與平面幾何是緊密相聯的，很多立體幾何的問題，都可以轉化為平面幾何的問題來解決，鼓勵學生只要認真學習，抓住每個概念的本質，做到深刻地理解就能學好立體幾何，從而消除學生學習中的顧慮。為了引起學生的學習興趣，充分認識學習立體幾何知識的現實意義，可以列舉一些現實生活中的實例，并提出一些有啟發性的問題，如三條腿的凳子為什么是平穩的？怎樣判定墻面與地面垂直？怎樣檢驗鉆床的鉆頭是否與工作面垂直？等等，使學生認識到立體幾何知識在日常生活中無處不在，原理無時不用，從而產生學習興趣，激發求知欲望。

用生動、形象、有趣的語言講清概念

教師的語言要直觀、生動、形象，既活潑有趣，又淺顯易懂、深入淺出。這樣才能把抽象的事物具體化，把深奧的理論形象化，使學生易于理解、易于產生聯想。例如“平面”是一個原始的概念，無法下定義，只能舉實例給出“平面”的形象。數學中的平面在空間是無限延展的，讓學生體會到平面的延展性往往很難。有的學生總會誤認為桌面、鏡面等就是數學中的平面，把生活中的平面與幾何中的平面混為一談。教師可以先從“直線”的概念講起，提出類似“直線有端點嗎？你能否畫出一條完整的直線？”等問題，引起學生的興趣，接著教師可進一步指出：直線是沒有端點的，一個人從生下來就開始，直到死為止，也畫不出一條完整的直線。畫不出完整的直線那么我們怎么表示直線呢？只能用直線上的一段來表示，決不能認為直線就是這么長，直線是向兩方無限延伸的。趁學生的興趣正濃，教師可緊接著指出：“平面”的概念也是如此，數學中的平面在空間是向各個方向無限延展的，它很平，沒有厚薄、沒有邊界。而日常生活中常見到的玻璃面、黑板面、平靜的水面等，只是數學里“平面”的一部分。既然平面是無限的，它也無法畫出來，只能用有限的圖形——平行四邊形來表示。生動有趣的教學語言，調動了學生學習的積極性，加深了對平面概念延展性的理解與記憶。

抓住關鍵性的詞匯

在學生作業中，常會看到這樣的推理：

∵AB在平面α內，AC在平面β內

∴∠BAC是二面角α-MN-β的平面角。

這位同學推理錯誤，對二面角的平面角的概念沒有理解，缺少條件“AB⊥MN，AC⊥MN”。每個定義中都存在著關鍵性的詞語，抓住了關鍵詞就抓住了事物的本質屬性。因此，在講述概念的過程中，要著重分析定義中的關鍵詞，使學生明確地掌握概念。如二面角的平面角定義，經過分析，可以分解為三個要點：（1）過棱上一點；（2）在兩個面內；（3）垂直于棱。并指出這三個條件必須同時滿足，只要有一條不滿足，就不是二面角的平面角。隨后畫出各種圖形或舉實例，讓學生判定哪些是二面角的平面角，學生在充分理解的基礎上按照上述三條可以做出正確答案。

用反例圖形澄清錯誤的認識

圖形是用來描述幾何原理最直觀的形象語言，幾何中多以圖形的正面形式來刻畫點、線、面之間的結構關系，而反面形式不易被人們重視。反例圖形就是用來說明某種關系或結論不成立的特殊圖形。恰當地舉出反例，對明辨是非、糾正錯誤會起到重要作用。例如“不共面的兩條直線稱為異面直線”，學生會誤認為不同在某個特定平面內的直線是異面直線，為了讓學生理解“不共面”的含義，教師可以提出問題：“分別畫在兩個平面內的直線是異面直線嗎？”部分學生會認為答案是肯定的，當教師畫出反例圖1時，學生會立刻明白，畫在兩個平面內的直線不一定是異面直線。又如針對學生立體幾何與平面幾何容易混淆的知識，可以通過反例圖形加強它們性質的比較，使學生加深對知識本質的區別，強化對知識的理解。如“平行于同一條直線的兩條直線互相平行”在平面幾何中成立，在立體幾何中也成立。“垂直于同一直線的兩條直線互相平行”，在平面幾何中成立，而在立體幾何中不成立，要說明這一點畫一個反例圖形就可以了。可見指出錯誤最有力也是最有效的辦法就是畫出反例圖形。

借助模型和實物

數學中的許多概念都是從實際生活、生產中抽象出來的，但數學化了的概念與實際感受有較大距離，所以在立體幾何教學開始階段困難很大。克服困難的辦法是遵循教學規律，使立體幾何的教學盡可能與學生的認知過程靠近，注重直觀思維的作用，逐步把直觀思維引導到分析思維。因此，教學中充分利用模型與實物，為學生獲取知識創造條件。例如要講清楚公理“不在同一條直線上的三點確定一個平面”，可以舉例：一扇門有兩個合頁和一把鎖，門可以看作一個平面，兩個合頁和鎖看作三個點，當打開時門轉動一個位置，就可以看作是一個平面，可見經過兩點有無數個平面，當門鎖上時門被固定不能轉動了，觀察這三點是不在同一直線上的三點，因此得到：經過不在同一直線上的三點能作也只能作一個平面。這樣，學生對公理容易理解與接受。再如公理“如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條經過這個點的公共直線。”學生對兩平面相交為什么會是條直線不易理解，可以用硬紙板演示給學生看，如圖2，就可使學生明白了這一道理。接著可以提問學生，若平面有兩個公共點A、B，是否它們有兩條公共直線呢？突出強調兩個平面相交只有一條交線，這條交線就是通過A、B的直線，從而使學生加深了對公理的理解。

善于歸納總結找出規律

在適當的階段，要引導學生對所學的概念穿針引線，使學生把握概念的脈絡、抓住要點，便于理解記憶。如平面一節結束后，讓學生歸納確定平面的方法；直線與平面一章結束后，讓學生談談從線線平行、線面平行、面面平行的定義中有什么發現，判定線線、線面、面面平行或垂直有哪些方法，它們的距離問題有什么規律等等。只有學生掌握了概念的本質及概念之間的區別、聯系，才能正確地使用概念。