大學數學中美學的研究與應用

摘 要： 本文對大學數學基礎課中出現的一些美學進行了研究，并用實際例子作了討論。從這些美學思想中，學生不僅可以利用美學思想更好地掌握大學數學知識，而且可以從中接受美的熏陶，將美的思想帶入到其他學科的學習當中。

關鍵詞： 數學美學 大學數學 美學教育

1.引言

自然科學及人文科學中的美，也都能在數學中體現出來，并且顯示出它獨有的特點。數學家克萊因認為:“數學是人類最高超的智力成就，也就是人類心靈最獨特的創作。音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目。詩歌能動人的心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質生活，但數學能給予以上的一切。”具體地說，數學美的特征主要有統一美、對稱美、簡潔美、奇異美。大學數學的基礎課程一般是指微積分、線性代數、概率論與數理統計。雖然數學美是客觀存在的，但要在具體的數學課程，尤其是大學數學課程中體現出來，與教學相結合，卻并非容易的事情。這主要是因為兩個原因：1.大學數學是高度抽象、具有嚴密邏輯性的科學，要體現具體的美學思想不容易切入；2.大學數學的教學時間安排一般都十分緊湊，如果從教學內容中引入美學思想，就有可能導致教學進度受影響，因此往往難以深入。正因為這些原因，要求教師在處理教材時，從內容本身出發，找出其中蘊含的美學思想，吸引學生進一步學習的濃厚興趣。已有一些文獻做了這方面的工作。如錢雙平提出了對稱美在微分學和積分學教學中的運用［１］；我在文獻中從費馬原理出發，討論了對稱美在運籌學中的應用，提出了一些巧妙的算法；劉學鵬論及了非齊次線性方程組解的優美的逆向問題［３］。這些都是數學美在大學數學中的具體體現。

本文從以下幾個方面討論了數學美，為數學美學的研究提供了很好的素材。

2.從差分方程看數學的形與數的統一美

高等數學里有差分方程這一章節。教材里一般是給出一個差分方程，就有一個相應的解析解。但事實上有一類差分方程，即混沌方程，是沒有解析解的，即使給出數值解也是不可能的。它是無限不循環的，卻有著確定的概率分布，在圖形的點集上可清楚地顯示出來，因此是形與數的美妙統一。

概率統計教程中，教師總是難以找到較好的隨機數據來進行統計檢驗。其實我們可利用這個差分方程來作為良好的偽隨機數生成器。方法是：將x的值按順序置于［0，1］的線段上，并分成2n個子區間，區間循環取0、1，便得到隨機性能良好的偽隨機序列。這個方法已由我在文［４］中得到論述。現在我們便可用它來驗證概率論與數理統計中的大數定律，對于二項分布，只須檢驗De Moivre-Laplace定理。這是確定性與不確定性、偶然與必然的統一美。

De Moivre-Laplace定理：設隨機變量?耷（n=1，2，…）為具有參數n，p（0＜p＜1）的二項分布，則對于任意區間［a，b）恒有：

p{a≤＜b}=?蘩edt

驗證步驟：

步驟1：取一段用x=1-2x生成的長度為N的“0－1”偽隨機數{x}。取{x}的長度為n的不同子集A（k=1，2，…），n＜N；

步驟2：對不同的A，計算頻數?耷，即A中1的個數。取任意區間［a，b），計算落入［a，b）頻率，記為F；

步驟3：查表計算?蘩edt，比較它與F的誤差；

步驟4：對不同的［a，b），重復上述步驟。

3.矩陣與幻方的形數統一美、奇異美

線性代數教程里提到應用的實例較少，是因為專業知識所限。課本里涉及到的矩陣，大多有很好的對稱性與規律性，解答結果也有一種簡潔美。利用這些知識可以解決一些問題，如幻方。這就是數與形的統一美。

這個增廣矩陣是一個很有規律的矩陣，可筆算或利用Matlab軟件就可以方便地計算出來。同理也可以算得四階幻方。

4.結語

大學數學里的許多章節知識里都蘊含著數學美，但這些美不僅需要教師去挖掘，而且要能舉出實際例子使之具體體現出來。本文所論述的數學美主要是形與數的統一美、確定性與不確定性的統一美，它對數學的美學教學能起到良好的輔助作用。

參考文獻：

［1］錢雙平.對稱性在高等數學解題中的應用. 云南電大學報，2004，6，（2）：61.

［2］王福來.對稱原理在有條件極值問題中的運用與研究. 考試周刊，2010.4，（17）：66.

［3］劉學鵬.對稱矩陣和諧的外在美和內在美［J］.高等理科教育，2004，（2）：80.

［4］Wang Fulai.A universal algorithm to generate pseudo-random numbers based on uniform mapping as homeomorphism.Chinese physics B，2010，19，（9）：0905051―0905056.

基金項目：浙江省新世紀高等教育教學改革項目；浙江財經學院教改項目。