微分方程的應(yīng)用教學(xué)探討

摘 要： 本文通過一些簡單的實例來說明建立微分方程的方法，使學(xué)生明確建立微分方程時如何找等量關(guān)系，提高其應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。

關(guān)鍵詞： 微分方程 等量關(guān)系 應(yīng)用

在許多實際問題中，當直接導(dǎo)出變量之間的函數(shù)關(guān)系比較困難，但導(dǎo)出包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式較為容易時，可用建立微分方程模型的方法來研究該問題。在連續(xù)變量問題的研究中，微分方程是十分常用的數(shù)學(xué)工具之一。

建立微分方程的一般步驟：（1）建立方程：對所研究的問題根據(jù)已知定律或公式以及某些等量關(guān)系列出微分方程。（2）求解問題：用所學(xué)知識或用數(shù)學(xué)軟件求解。（3）分析問題：通過已求得的解的性質(zhì)，分析實際問題。

經(jīng)驗表明，對初學(xué)者來說，多數(shù)問題出在第一步，不知如何建立方程，其中一個重要原因是不知如何找出具體問題的等量關(guān)系。下面以分類的方式總結(jié)微分方程的應(yīng)用。

一、幾何問題

這類問題常用到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在某點的切線的斜率就是函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)。

例1：一曲線通過點（4，8）且在該曲線上任意點M（x，y）處的切線斜率為3x，求這條曲線的方程。

解：設(shè)所求曲線方程為y=f（x），由題意有，=3x，并且y|=8，于是y=?蘩3xdx=x+c，將y|=8代入上式，得8=64+C，故C=-56，從而得到所求曲線方程為：y=x-56.

二、動力學(xué)問題

動力學(xué)的基本定律是牛頓第二定律f=ma，這是微分方程解決力學(xué)問題的基本關(guān)系式。它的右端明顯地含有加速度a，而a是位移對時間的二階導(dǎo)數(shù)。列出微分方程的關(guān)鍵在于找出外力f和位移對時間的導(dǎo)數(shù)與速度的關(guān)系。同時，求解動力學(xué)問題時，要特別注意力學(xué)問題中的定解條件，如初值條件等。

例2：設(shè)降落傘從跳傘塔下落，所受空氣阻力與速度成正比，降落傘離開塔頂（t=0）時的速度為零，求降落傘下落速度與時間t的函數(shù)關(guān)系。

解：設(shè)降落傘下落速度為v（t），它在下落過程中同時受到重力P與阻力R的作用。重力P=mg，方向與v一致，阻力R=kv（k＞0為常數(shù)），方向與v相反，從而降落傘所受外力的合力為F=P-R=mg-kv，由牛頓第二定律F=ma，即v=（1-e）m=mg-kv，且有初始條件v|=0.

將方程分離變量，得=，兩邊積分得-ln（mg-kv）=+C.

整理得：v=-Ce（C=e），將初始條件v|=0代入，得C=，故所求速度與時間的函數(shù)關(guān)系為v=（1-e）.

三、光學(xué)問題

這類問題常用到光學(xué)反射定律α=α（入射角=反射角），其中α、α分別是入射光線、反射光線與入射法線間的夾角。

例3：有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡（假設(shè)由旋轉(zhuǎn)軸上一點O發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行，求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程。

解：設(shè)此凹鏡是由xOy面上曲線l：y=y（x）（y＞0）繞x軸旋轉(zhuǎn)而成，光源在原點。在l上任取一點M（x，y），作l的切線交x軸于A，點O發(fā)出的光線經(jīng)點M反射后是一條平行于x軸射線。

由光學(xué)及幾何原理可以證明OA=OM，因為OA=AP-OP=PMcotα-OP=-x，而OM=，于是得微分方程-x=，整理得=+，這是一個齊次方程。

問題歸結(jié)為解齊次方程=+，令=v，即x=yv，得v+y=v+，即y=，分離變量得=，兩邊積分得ln（v+）=lny-lnC?圯v+=?圯（-v）=v+1?圯-=1，以yv=x代入上式，得y=2C（x+）.

這是以x軸為軸、焦點在原點的拋物線，它繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為y+z=2C（x+），這就是所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程。

四、電學(xué)問題

這類問題常用到基爾霍夫定律：在閉合回路中，全部元件的電壓降的代數(shù)和為0。

例4：在RLC電路中（如下圖），接有電源E，交流電動勢為Esinωt，不斷地供給能量，當開關(guān)K合上后，電路在電動勢作用下，不斷產(chǎn)生振蕩，試建立描述電路中電振動的微分方程。

解：設(shè)電容器上電量Q=Q（t），則電流I=，由回路電壓定律有：

于是得電量Q滿足的微分方程：L+R+=Esinωt

它是一個關(guān)于未知函數(shù)Q（t）的二階常系數(shù)線性非齊次方程，它描述了在交流電壓的作用下，RLC電路中的電振蕩，這種振蕩稱為強迫振蕩。

五、經(jīng)濟學(xué)問題

新產(chǎn)品的推廣模型設(shè)有某種新產(chǎn)品要推向市場，t時刻的銷量為x（t），由于產(chǎn)品性能良好，每個產(chǎn)品都是一個宣傳品，因此t時刻產(chǎn)品銷售的增長率與x（t）成正比。同時，考慮到產(chǎn)品銷售存在一定的市場容量N，統(tǒng)計表明與尚未購買該產(chǎn)品的潛在顧客的數(shù)量N-x（t）也成正比，于是有=kx（N-x）（1.1）

其中k為比例系數(shù)，分離變量積分，可以解得x（t）=（1.2）

由=，=

當x（t）＜N時，則有＞0，即銷量x（t）單調(diào)增加；當x（t）=時，=0；當x（t）＞時，＜0；當x（t）＜時，即當銷量達到最大需求量N的一半時，產(chǎn)品最為暢銷，當銷量不足N一半時，銷售速度不斷增大，當銷量超過一半時，銷售速度逐漸減少。

國內(nèi)外許多經(jīng)濟學(xué)家調(diào)查表明，許多產(chǎn)品的銷售曲線與公式（1.2）的曲線（邏輯斯諦曲線）十分接近。根據(jù)對曲線性狀的分析，許多分析家認為，在新產(chǎn)品推出的初期，應(yīng)采用小批量生產(chǎn)并加強廣告宣傳；在產(chǎn)品用戶達到20%到80%期間，產(chǎn)品應(yīng)大批量生產(chǎn);在產(chǎn)品用戶超過80%時，應(yīng)適時轉(zhuǎn)產(chǎn)，可以達到最大的經(jīng)濟效益。

例5：某商場的銷售成本y和存貯費用S均是時間t的函數(shù)，隨時間t的增長，銷售成本的變化率等于存貯費用的倒數(shù)與常數(shù)5的和，而貯存費用的變化率為存貯費用的-倍。若當t=0時，銷售成本y=0，存貯費用S=10試求銷售成本與時間t的函數(shù)關(guān)系及存貯費用與時間t的函數(shù)關(guān)系。

解答：由已知=+5，=-S。解微分方程得S=Ce，由S|=10得C=10，故存貯費用與時間t的函數(shù)關(guān)系為S=10e將上式代入微分方程，得=e+5，從而y=e+5t+C，由y|=0，得C=-，從而銷售成本與時間t的函數(shù)關(guān)系為y=e+5t-.

六、流體混合問題

例6：有高為1m的半球形容器，水從它的底部小孔流出，小孔橫截面面積為1cm。開始時容器內(nèi)盛滿了水，求水從小孔流出過程中容器里水面高度h隨時間t變化的規(guī)律。

解：由水力學(xué)知道，水從孔口流出的流量Q可用下列公式計算：Q==0.62S，其中0.62為流量系數(shù)，S為孔口橫截面面積，g為重力加速度。現(xiàn)在孔口橫截面面積S=1cm，故=0.62或dV=0.62dt.

設(shè)在微小時間間隔［t，t+dt］內(nèi)，水面高度由h降至h+dh（dh＜0），則又可得到dV=-πrdh，其中r是時刻t的水面半徑（右端置負號是由于dh＜0而dV＞0的緣故，又因r==，所以dV=-π（200h-h）dh.

通過比較得到0.62dt=-π（200h-h）dh，這就是未知函數(shù)h=h（t）應(yīng)滿足的微分方程。

此外，開始時容器內(nèi)的水是滿的，所以未知函數(shù)h=h（t）還應(yīng)滿足下列初始條件：h|=100.

將方程0.62dt=-π（200h-h）dh分離變量后得dt=-（200h-h）dh，兩端積分得t=-?蘩（200h-h）dh，即t=-（h-h）+C，其中C是任意常數(shù).由初始條件得t=-（×100-×100）+C，C=（-）=××10，因此t=（7×10-10h+3h）.

上式表達了水從小孔流出的過程中容器內(nèi)水面高度h與時間t之間的函數(shù)關(guān)系。

參考文獻：

［1］潘家齊.常微分方程［M］.北京：中央廣播電視大學(xué)出版社，２００２，７.

［2］同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編.高等數(shù)學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，２００２，７.